3. 在平面直角坐标系中,$\odot O$的圆心在原点,半径为 2,则下列各点中,在$\odot O$上的是()
A.(1,1)
B.$(-1,\sqrt {3})$
C.(-2,-1)
D.$(\sqrt {2},-2)$

B

根据点在圆上必须满足点到圆心的距离等于半径，计算各选项点到原点$O(0,0)$的距离：
A. 对于点$(1,1)$，距离为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \neq 2$，故不在圆上；
B. 对于点$(-1,\sqrt{3})$，距离为$\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$，故在圆上；
C. 对于点$(-2,-1)$，距离为$\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \neq 2$，故不在圆上；
D. 对于点$(\sqrt{2},-2)$，距离为$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{2+4} = \sqrt{6} \neq 2$，故不在圆上。

4. 如图,点 A,D,G,M 在半圆 O 上,四边形 ABOC,DEOF,HMNO 均为矩形.设$BC= a,EF= b,NH= c$,则下列各式中,正确的是()

A.$a＞b＞c$
B.$a= b= c$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞c＞a$

B

∵四边形ABOC是矩形，∴对角线BC=AO（矩形对角线相等）.同理，四边形DEOF是矩形，对角线EF=DO；四边形HMNO是矩形，对角线NH=MO.∵点A,D,M在半圆O上，∴AO=DO=MO=半圆半径.∴BC=EF=NH，即a=b=c.

5. 如图,$\angle ABC= 50^{\circ }$,点 D 在 BA 上,以点 B 为圆心、BD 的长为半径作弧,交 BC 于点 E,连接 DE,则$\angle BDE$的度数是.

$65^{\circ}$的度数对应选项（若为填空题，则此处理应直接填写$65^{\circ}$，由于题目未给出选项，故无法选择ABCD）。

由于$BD = BE$（以点B为圆心，BD为半径作弧交BC于点E），
根据等边对等角，所以$\angle BDE = \angle BED$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\bigtriangleup BDE$中，
有$\angle BDE + \angle BED + \angle B = 180^{\circ}$。
已知$\angle ABC = 50^{\circ}$，即$\angle B = 50^{\circ}$，
代入上式得：$2\angle BDE + 50^{\circ} = 180^{\circ}$，
从中解出$\angle BDE = 65^{\circ}$。

6. 如图,AB 是$\odot O$的直径,CD 是$\odot O$的弦,AB,CD 的延长线交于点 E.若$AB= 2DE$,$\angle E= 18^{\circ }$,则$\angle C$的度数为.

$36°$的（填空答案写数字形式）

连接$OD$。
由于$AB$是$\odot O$的直径，所以$OA = OB = R$（$R$为圆的半径）。
根据题意，$AB = 2DE$，则$DE = R$。
由于$OD$也是半径，所以$OD = R$，从而得出$OD = DE$。
根据等边对等角，所以$\angle DOE = \angle E=18°$
根据三角形外角性质，得$\angle ODC=\angle DOE+\angle E= 36°$。
由于$OC = OD$（都是半径），根据等边对等角，所以$\angle C=\angle ODC= 36°$。

7. 如图,在$\triangle ABC$中,BD,CE 是两条高,O 为 BC 的中点.求证:B,C,D,E 四点在以点 O 为圆心的同一个圆上.

证明：
∵ BD，CE是△ABC的高，
∴ ∠BDC=∠BEC=90°。
∵ O为BC的中点，
∴ 在Rt△BDC中，OD=1/2BC；在Rt△BEC中，OE=1/2BC。
又∵ OB=OC=1/2BC，
∴ OB=OC=OD=OE。
∴ B，C，D，E四点在以点O为圆心，OB为半径的同一个圆上。