1. 计算$2x^{2}y\cdot(\frac{1}{2} - 3xy + y^{3})$的结果是()
A.$x^{2}y - 6x^{3}y^{2} + 2x^{2}y^{3}$
B.$x^{2}y - 2x^{2}y^{4}$
C.$x^{2}y - 6x^{3}y^{2} + 2x^{2}y^{4}$
D.$-6x^{3}y^{2} + 2x^{2}y^{4}$

C

根据单项式乘多项式的运算法则，将单项式 $2x^{2}y$ 分别与多项式 $\frac{1}{2} - 3xy + y^{3}$ 中的每一项相乘，即：
$2x^{2}y\cdot\frac{1}{2}=x^{2}y$，
$2x^{2}y\cdot(-3xy)=-6x^{3}y^{2}$，
$2x^{2}y\cdot y^{3}=2x^{2}y^{4}$，
再将所得的积相加，可得：
$2x^{2}y\cdot(\frac{1}{2} - 3xy + y^{3})=x^{2}y - 6x^{3}y^{2} + 2x^{2}y^{4}$。

2. 小章家房子的结构图如图所示(单位：米). 她打算将卧室铺上木地板,其余部分铺上地砖,地砖每平方米$x$元,木地板每平方米$2x$元. 这次改造总共需花费()

A.$15abx$元
B.$20abx$元
C.$25abx$元
D.$35abx$元

D

由图可知，房子总宽5b，总高5a，总面积=5b×5a=25ab。
卧室1：宽2b，高=总高-卧室2高=5a-3a=2a，面积=2b×2a=4ab。
卧室2：宽=总宽-（卧室1宽+餐厅宽）=5b-(2b+b)=2b，高3a，面积=2b×3a=6ab。
卧室总面积=4ab+6ab=10ab，木地板费用=10ab×2x=20abx。
地砖面积=总面积-卧室面积=25ab-10ab=15ab，地砖费用=15ab×x=15abx。
总费用=20abx+15abx=35abx。

3. 有这样一道题：$-3x(-2x^{2} + 3x - 1) = 6x^{3} + □ + 3x$,“$□$”的地方被墨水污染了. 你认为“$□$”内应填()
A.$9x^{2}$
B.$-9x^{2}$
C.$9x$
D.$-9x$

B

首先，根据题目给出的等式：
$-3x(-2x^{2} + 3x - 1) = 6x^{3} + □ + 3x$，
需要展开左边的表达式：
$-3x \cdot (-2x^{2}) = 6x^{3}$，
$-3x \cdot 3x = -9x^{2}$，
$-3x \cdot (-1) = 3x$，
因此，左边展开后为：
$6x^{3} - 9x^{2} + 3x$，
与右边的 $6x^{3} + □ + 3x$ 对比，可知“$□$”内应填 $-9x^{2}$。

4. (1)已知$M$是一个多项式,且$M÷(-2xy) = 3x^{2} - xy + 1$,则$M = $.
(2)如果$4x(3x^{2} - ax) - x(3x + 4)$的展开式中不含$x^{2}$项,则$a = $.

(1)$-6x^{3}y + 2x^{2}y^{2}-2xy$；(2)$-\frac{3}{4}$（题目要求格式，这里若填空题直接填数值）

(1)
根据除法的逆运算，被除数等于商乘以除数，已知$M÷(-2xy)=3x^{2}-xy + 1$，则$M=(3x^{2}-xy + 1)×(-2xy)$。
根据乘法分配律$(a+b+c)× d=a× d+b× d+c× d$可得：
$M=3x^{2}×(-2xy)-xy×(-2xy)+1×(-2xy)$
$=-6x^{3}y + 2x^{2}y^{2}-2xy$
(2)
先对$4x(3x^{2}-ax)-x(3x + 4)$进行展开：
根据单项式乘多项式法则$a(b+c)=ab+ac$，可得$4x(3x^{2}-ax)=12x^{3}-4ax^{2}$，$x(3x + 4)=3x^{2}+4x$。
则$4x(3x^{2}-ax)-x(3x + 4)=12x^{3}-4ax^{2}-(3x^{2}+4x)=12x^{3}-4ax^{2}-3x^{2}-4x=12x^{3}-(4a + 3)x^{2}-4x$。
因为展开式中不含$x^{2}$项，所以$x^{2}$项的系数为$0$，即$-(4a + 3)=0$。
解方程$4a+3 = 0$，移项可得$4a=-3$，解得$a=-\frac{3}{4}$。

5. 计算：
(1)$-5x(3x - 4)$；
(2)$3x^{3}y\cdot(2xy^{2} - 3xy)$；
(3)$(m^{2} + \frac{2}{3}m - \frac{5}{9})\cdot(-9m)$.

(1)
$\begin{aligned}&-5x(3x - 4)\\=&-5x×3x+(-5x)×(-4)\\=&-15x^{2}+ 20x\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&3x^{3}y\cdot(2xy^{2}-3xy)\\=&3x^{3}y×2xy^{2}-3x^{3}y×3xy\\=&6x^{4}y^{3}-9x^{4}y^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(m^{2}+\frac{2}{3}m - \frac{5}{9})\cdot(-9m)\\=&m^{2}×(-9m)+\frac{2}{3}m×(-9m)-\frac{5}{9}×(-9m)\\=&-9m^{3}-6m^{2}+5m\end{aligned}$

6. 先化简,再求值：
(1)$x^{2}(x - 3) - x(x^{2} - 2x)$,其中$x = \sqrt{5}$；
(2)$x(x - 3y) + y(3x - 2) - 4$,其中$x$,$y满足x^{2} - 2y + 3 = 0$.

(1)
首先对原式进行化简：
$x^{2}(x - 3)-x(x^{2}-2x)$
$=x^{3}-3x^{2}-(x^{3}-2x^{2})$
$=x^{3}-3x^{2}-x^{3}+2x^{2}$
$=-x^{2}$
当$x = \sqrt{5}$时，代入化简后的式子：
$-x^{2}=-(\sqrt{5})^{2}=-5$
(2)
先对原式进行化简：
$x(x - 3y)+y(3x - 2)-4$
$=x^{2}-3xy + 3xy-2y-4$
$=x^{2}-2y-4$
由$x^{2}-2y + 3 = 0$，可得$x^{2}-2y=-3$。
将$x^{2}-2y=-3$代入化简后的式子：
$x^{2}-2y-4=-3 - 4=-7$
综上，(1)的值为$-5$；(2)的值为$-7$。

7. 某居民小组规划将一长为$5a$米、宽为$2b$米的长方形场地打造成居民健身场所. 计划在场地一角分割出一块长为$(3a + 1)$米,宽为$b$米的长方形场地建篮球场,其余的地方安装各种健身器材. 篮球场铺塑胶地面,安装健身器材的区域铺水泥地面.

(1)用含$a$,$b的式子表示篮球场的面积S_{1}和安装健身器材区域的面积S_{2}$；
(2)当$a = 9$,$b = 15$时,分别求出$S_{1}和S_{2}$的值；
(3)在(2)的条件下,如果铺设塑胶地面每平方米需$100$元,铺设水泥地面每平方米需$50$元,求该居民健身场所的地面建设总费用$M$(元).

(1)
$S_{1}=(3a + 1)b=3ab + b$；
$S_{2}=5a×2b-(3ab + b)=10ab-3ab - b=7ab - b$。
(2)
当$a = 9$，$b = 15$时，
$S_{1}=3×9×15+15=405 + 15=420$（平方米）；
$S_{2}=7×9×15-15=945-15 = 930$（平方米）。
(3)
$M = 100S_{1}+50S_{2}=100×420+50×930=42000 + 46500=88500$（元）。