5. 已知方程$x^{2}-2x-3= 0的解是x_{1}= -1$,$x_{2}= 3$,现给出另一个一元二次方程$(2x+1)^{2}-2(2x+1)-3= 0$,它的解是()
A.$x_{1}= 1$,$x_{2}= 3$
B.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -1$
C.$x_{1}= -1$,$x_{2}= 3$
D.$x_{1}= -1$,$x_{2}= -3$

B

设$t = 2x + 1$，则方程$(2x + 1)^2 - 2(2x + 1) - 3 = 0$可化为$t^2 - 2t - 3 = 0$。
已知方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的解是$x_1 = -1$，$x_2 = 3$，所以方程$t^2 - 2t - 3 = 0$的解是$t_1 = -1$，$t_2 = 3$。
当$t = -1$时，$2x + 1 = -1$，解得$x = -1$；
当$t = 3$时，$2x + 1 = 3$，解得$x = 1$。
所以方程$(2x + 1)^2 - 2(2x + 1) - 3 = 0$的解是$x_1 = -1$，$x_2 = 1$。
B

6. 如图,数轴上点A代表的数为$3x+1$,点B代表的数为$x^{2}+2x$,已知$AB= 5$,且点A在数轴的负半轴上,则x的值为。

-2

由数轴可知点B在点A右侧，所以$AB = (x^2 + 2x) - (3x + 1) = 5$
整理得$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得$(x - 3)(x + 2) = 0$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -2$
因为点A在数轴负半轴上，所以$3x + 1 ＜ 0$，即$x ＜ -\frac{1}{3}$
$x = 3$不满足$x ＜ -\frac{1}{3}$，舍去
$x = -2$满足$x ＜ -\frac{1}{3}$
故$x = -2$

7. 对于任意实数a,b,定义$f(a,b)= a^{2}+5a-b$,如$f(2,3)= 2^{2}+5×2-3$,若$f(x,2)= 4$,则实数x的值是。

-6或1

由题意得$f(x,2)=x^{2}+5x - 2$，因为$f(x,2)=4$，所以$x^{2}+5x - 2 = 4$，即$x^{2}+5x - 6 = 0$，因式分解得$(x + 6)(x - 1) = 0$，解得$x=-6$或$x=1$。
-6或1

8. 阅读下面的例题：
分解因式：$x^{2}+2x-1$。
解：令$x^{2}+2x-1= 0$,得到一个关于x的一元二次方程。∵$a= 1$,$b= 2$,$c= -1$,∴$x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}= \frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}= -1\pm\sqrt{2}$,解得$x_{1}= -1+\sqrt{2}$,$x_{2}= -1-\sqrt{2}$,∴$x^{2}+2x-1= (x-x_{1})(x-x_{2})= [x-(-1+\sqrt{2})][x-(-1-\sqrt{2})]= (x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})$。
这种因式分解的方法叫作求根法,请你利用这种方法解答下列问题：
(1)已知代数式$x^{2}-2x-k$对应的方程的解为-5和7,则将代数式$x^{2}-2x-k$因式分解后为______；
(2)将代数式$x^{2}-3x-1$分解因式。

(1)
∵代数式$x^{2}-2x - k$对应的方程的解为$-5$和$7$
∴$x^{2}-2x - k=(x + 5)(x - 7)$
(2)
令$x^{2}-3x - 1 = 0$，其中$a = 1$，$b = -3$，$c = -1$
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{9 + 4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
解得$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$
所以$x^{2}-3x - 1=(x-\frac{3+\sqrt{13}}{2})(x-\frac{3 - \sqrt{13}}{2})$
故答案依次为：(1)$(x + 5)(x - 7)$；(2)$(x-\frac{3+\sqrt{13}}{2})(x-\frac{3 - \sqrt{13}}{2})$。