8. 若α为锐角,且cosα= $\frac{1-3m}{2}$,则m的取值范围是.

-$\frac{1}{3}$＜m＜$\frac{1}{3}$

∵α为锐角，
∴$0 ＜ \cos\alpha ＜ 1$，
∵$\cos\alpha = \frac{1 - 3m}{2}$，
∴$0 ＜ \frac{1 - 3m}{2} ＜ 1$，
$0 ＜ 1 - 3m ＜ 2$，
$-1 ＜ -3m ＜ 1$，
$\frac{1}{3} ＞ m ＞ -\frac{1}{3}$，
即$-\frac{1}{3} ＜ m ＜ \frac{1}{3}$。
$-\frac{1}{3} ＜ m ＜ \frac{1}{3}$

9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为E.若DE= 2,CD= $\sqrt{13}$,则sin∠DEB的值为.

3/5

∵D是斜边AB中点，∠ACB=90°，∴CD=1/2AB=√13，AB=2√13。
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，∴DE//BC，D为AB中点，∴DE是△ABC中位线，DE=1/2BC，BC=4。
设EC=x，DE⊥AC，∴△DEC为Rt△，DE=2，CD=√13，由勾股定理：2²+x²=(√13)²，x=3，即EC=3。
在Rt△ECB中，EC=3，BC=4，∴EB=√(3²+4²)=5。
D为AB中点，AB=2√13，∴DB=√13。
在△DEB中，DE=2，EB=5，DB=√13，由余弦定理：cos∠DEB=(DE²+EB²-DB²)/(2·DE·EB)=(4+25-13)/(2×2×5)=16/20=4/5。
∴sin∠DEB=√(1-(4/5)²)=3/5。

10. 如图,在矩形ABCD中,E是边BC上的点,AE= BC,DF⊥AE,垂足为F,连接DE.
(1)求证：△ABE≌△DFA；
(2)如果AD= 10,AB= 6,求sin∠EDF的值.

(1)见证明过程；(2)√10/10。

(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD//BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵AE=BC，
∴AE=AD，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
在△ABE和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠B=∠AFD\\ ∠AEB=∠DAF\\ AE=AD\end{array}\right. $，
∴△ABE≌△DFA(AAS)；
(2)
∵AD=10，AB=6，
∴BC=AD=10，CD=AB=6，
由
(1)得：△ABE≌△DFA，
∴AF=BE，DF=AB=6，
设AF=BE=x，则EF=AE-AF=10-x，EC=BC-BE=10-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²+BE²=AE²，
即6²+x²=10²，
解得：x=8，
∴EF=10-x=2，EC=10-x=2，
在Rt△DCE中，DE=$\sqrt{CD²+EC²}=\sqrt{6²+2²}=2\sqrt{10}$，
在Rt△DFE中，sin∠EDF=$\frac{EF}{DE}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。

11. 如图,在三角形纸片ABC中,AB= 9,BC= 6,∠ACB= 2∠A,如果将△ABC沿过顶点C的直线折叠,使点B落在边AC上的点D处,折痕为CM,那么cos∠DMA= .

31/32

设AC=x，∠A=α，则∠ACB=2α，∠B=180°-3α。
由正弦定理：$\frac{AB}{\sin2\alpha}=\frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{AC}{\sin(180^\circ-3\alpha)}$。
$\frac{9}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{6}{\sin\alpha}$，解得$\cos\alpha=\frac{3}{4}$。
$\sin\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha=3×\frac{\sqrt{7}}{4}-4×(\frac{\sqrt{7}}{4})^3=\frac{5\sqrt{7}}{16}$。
$\frac{6}{\sin\alpha}=\frac{x}{\sin3\alpha}$，$x=\frac{6×\frac{5\sqrt{7}}{16}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{15}{2}$。
折叠后，CD=BC=6，DM=BM，∠CDM=∠B=180°-3α。
AD=AC-CD=$\frac{15}{2}-6=\frac{3}{2}$。
∠ADM=180°-∠CDM=3α。
在△ADM中，∠DMA=180°-∠A-∠ADM=180°-α-3α=180°-4α。
$\cos∠DMA=\cos(180^\circ-4\alpha)=-\cos4\alpha$。
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2×(\frac{3}{4})^2-1=\frac{1}{8}$。
$\cos4\alpha=2\cos^22\alpha-1=2×(\frac{1}{8})^2-1=-\frac{31}{32}$。
$\cos∠DMA=-(-\frac{31}{32})=\frac{31}{32}$。
$\frac{31}{32}$

12. 如图,半径为13的⊙O内有一点A,OA= 5,点P在⊙O上,当∠OPA最大时,S△OPA等于.

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在△OPA中，由正弦定理得$\frac{OA}{\sin\angle OPA}=\frac{OP}{\sin\angle OAP}$。
因为$OP = 13$，$OA=5$，所以$\sin\angle OPA=\frac{OA\sin\angle OAP}{OP}=\frac{5\sin\angle OAP}{13}$。
当$\sin\angle OAP = 1$，即$\angle OAP=90^\circ$时，$\sin\angle OPA$最大，此时$\angle OPA$最大。
此时$PA=\sqrt{OP^2 - OA^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
$S_{\triangle OPA}=\frac{1}{2}× OA× PA=\frac{1}{2}×5×12 = 30$。
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