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8. 如图所示,D 是$\triangle ABC$的边 BC 上的一点,且$DA= DB$,$AB= AC= CD$,求$\angle CAD$的大小。
答案
设∠B=∠C=x。
∵AB=AC，∴∠B=∠C=x（等腰三角形两底角相等）。
∵DA=DB，∴∠DAB=∠B=x（等腰三角形两底角相等）。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-2x（三角形内角和定理）。
∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），∴∠ADC=180°-∠ADB=2x。
∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC=2x（等腰三角形两底角相等）。
在△ABC中，∠BAC=∠BAD+∠CAD=x+2x=3x。
∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理），∴x+x+3x=180°，解得x=36°。
∴∠CAD=2x=72°。
72°
∵AB=AC，∴∠B=∠C=x（等腰三角形两底角相等）。
∵DA=DB，∴∠DAB=∠B=x（等腰三角形两底角相等）。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-2x（三角形内角和定理）。
∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），∴∠ADC=180°-∠ADB=2x。
∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC=2x（等腰三角形两底角相等）。
在△ABC中，∠BAC=∠BAD+∠CAD=x+2x=3x。
∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理），∴x+x+3x=180°，解得x=36°。
∴∠CAD=2x=72°。
72°
9. 如图,$AB= AC= AD$,若$\angle BAD= 80°$,则$\angle BCD$的度数为(
A.$80^\circ$
B.$100^\circ$
C.$140^\circ$
D.$160^\circ$
C
)A.$80^\circ$
B.$100^\circ$
C.$140^\circ$
D.$160^\circ$
答案
C
解析
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∵∠BAD=80°，
∴优弧BD所对的圆心角为360°-80°=280°，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$×280°=140°。
C
10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AE= AF= BE$,$\angle BAE= 40°$,则$\angle FEC$的度数为(
A.$10^\circ$
B.$15^\circ$
C.$20^\circ$
D.$25^\circ$
C
)A.$10^\circ$
B.$15^\circ$
C.$20^\circ$
D.$25^\circ$
答案
C
解析
在$\triangle ABE$中，$AE=BE$，$\angle BAE=40^\circ$，
$\angle ABE=\angle BAE=40^\circ$，
$\angle AEB=180^\circ-\angle BAE-\angle ABE=100^\circ$。
在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，
$\angle ABC=\angle ACB$，
$\angle BAC=\angle BAE+\angle EAC=40^\circ+\angle EAC$，
$\angle ABC=\frac{180^\circ-\angle BAC}{2}=\frac{180^\circ-(40^\circ+\angle EAC)}{2}=70^\circ-\frac{\angle EAC}{2}$。
$\angle EBC=\angle ABC-\angle ABE=70^\circ-\frac{\angle EAC}{2}-40^\circ=30^\circ-\frac{\angle EAC}{2}$。
设$\angle EAC=x$，则$\angle BAC=40^\circ+x$，$\angle ABC=\angle ACB=70^\circ-\frac{x}{2}$，
$\angle AEC=180^\circ-\angle AEB=80^\circ$。
在$\triangle AEC$中，$AE=AF$，
$\angle AFE=\angle AEF$，
$\angle EAF=x$，
$\angle AFE=\angle AEF=\frac{180^\circ-x}{2}=90^\circ-\frac{x}{2}$。
$\angle EFC=180^\circ-\angle AFE=180^\circ-(90^\circ-\frac{x}{2})=90^\circ+\frac{x}{2}$。
在$\triangle EFC$中，$\angle FEC=180^\circ-\angle EFC-\angle ACB=180^\circ-(90^\circ+\frac{x}{2})-(70^\circ-\frac{x}{2})=20^\circ$。
$\angle FEC=20^\circ$。
C
$\angle ABE=\angle BAE=40^\circ$，
$\angle AEB=180^\circ-\angle BAE-\angle ABE=100^\circ$。
在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，
$\angle ABC=\angle ACB$，
$\angle BAC=\angle BAE+\angle EAC=40^\circ+\angle EAC$，
$\angle ABC=\frac{180^\circ-\angle BAC}{2}=\frac{180^\circ-(40^\circ+\angle EAC)}{2}=70^\circ-\frac{\angle EAC}{2}$。
$\angle EBC=\angle ABC-\angle ABE=70^\circ-\frac{\angle EAC}{2}-40^\circ=30^\circ-\frac{\angle EAC}{2}$。
设$\angle EAC=x$，则$\angle BAC=40^\circ+x$，$\angle ABC=\angle ACB=70^\circ-\frac{x}{2}$，
$\angle AEC=180^\circ-\angle AEB=80^\circ$。
在$\triangle AEC$中，$AE=AF$，
$\angle AFE=\angle AEF$，
$\angle EAF=x$，
$\angle AFE=\angle AEF=\frac{180^\circ-x}{2}=90^\circ-\frac{x}{2}$。
$\angle EFC=180^\circ-\angle AFE=180^\circ-(90^\circ-\frac{x}{2})=90^\circ+\frac{x}{2}$。
在$\triangle EFC$中，$\angle FEC=180^\circ-\angle EFC-\angle ACB=180^\circ-(90^\circ+\frac{x}{2})-(70^\circ-\frac{x}{2})=20^\circ$。
$\angle FEC=20^\circ$。
C
11. 如图,O 为$\triangle ABC$内一点,且$OA= OB= OC$,$\angle ABO= 20°$,$\angle BCO= 30°$,则$\angle CAO= $
40
°。答案
40
解析
∵OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心，∠OAB=∠OBA=20°，∠OBC=∠OCB=30°，
设∠OCA=∠OAC=x，
在△ABC中，∠ABC=∠OBA+∠OBC=20°+30°=50°，∠ACB=∠OCB+∠OCA=30°+x，∠BAC=∠OAB+∠OAC=20°+x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴50°+(30°+x)+(20°+x)=180°，
解得x=40°，
即∠CAO=40°。
40
12. 如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,把$\triangle BDE$沿直线 DE 翻折,使点 B 落在点$B'$处,$DB'$,$EB'$分别交 AC 于点 F,G。若$\angle ADF= 70°$,则$\angle BED= $
65
°。答案
65
解析
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°。
∵∠ADF=70°，∠A+∠ADF+∠AFD=180°，
∴∠AFD=180°-60°-70°=50°。
∵∠AFD=∠B'FG，
∴∠B'FG=50°。
由翻折得∠B'=∠B=60°，∠BED=∠B'ED。
∵∠B'FG+∠B'+∠FGB'=180°，
∴∠FGB'=180°-50°-60°=70°。
∵∠FGB'=∠EGC，
∴∠EGC=70°。
∵∠C+∠EGC+∠GEC=180°，
∴∠GEC=180°-60°-70°=50°。
∵∠BED+∠B'ED+∠GEC=180°，∠BED=∠B'ED，
∴2∠BED+50°=180°，
∴∠BED=65°。
65
13. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle A= 36^\circ$,AC 的垂直平分线交 AB 于点 E,D 为垂足,连结 EC,求$\angle ECB$的度数。
答案
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=(180°-36°)/2=72°。
∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠ECA=∠A=36°，
∴∠ECB=∠ACB - ∠ECA=72°-36°=36°。
答：∠ECB的度数为36°。
∴∠B=∠ACB=(180°-36°)/2=72°。
∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠ECA=∠A=36°，
∴∠ECB=∠ACB - ∠ECA=72°-36°=36°。
答：∠ECB的度数为36°。
