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例1 如图3-1所示,$\odot O的直径AB垂直于弦CD$,垂足$P是OB$的中点,$CD= 6\ cm$,求直径$AB$的长.
【思路点拨】连结$OC$,$BC$,由$PC垂直平分OB$,可得$\triangle OBC$是等边三角形,根据垂径定理得$CP= \frac{1}{2}CD= 3\ cm$,从而求得直径$AB$的长.
【解】如图3-2所示,连结$OC$,$BC$,则$OC= OB$.
$\because PC垂直平分OB$,$\therefore OC= BC$,
$\therefore OC= OB= BC$,$\therefore \triangle OBC$是等边三角形,$\therefore \angle BOC= 60^\circ$.
由垂径定理,得$CP= \frac{1}{2}CD= 3\ cm$.
在$Rt\triangle POC$中,$CP= \sqrt{3}OP$,$\therefore OP= \sqrt{3}\ cm$,$\therefore AB= 2OB= 4\sqrt{3}\ cm$.
【反思】解决此类题的关键是建构由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形这一几何模型.
【思路点拨】连结$OC$,$BC$,由$PC垂直平分OB$,可得$\triangle OBC$是等边三角形,根据垂径定理得$CP= \frac{1}{2}CD= 3\ cm$,从而求得直径$AB$的长.
【解】如图3-2所示,连结$OC$,$BC$,则$OC= OB$.
$\because PC垂直平分OB$,$\therefore OC= BC$,
$\therefore OC= OB= BC$,$\therefore \triangle OBC$是等边三角形,$\therefore \angle BOC= 60^\circ$.
由垂径定理,得$CP= \frac{1}{2}CD= 3\ cm$.
在$Rt\triangle POC$中,$CP= \sqrt{3}OP$,$\therefore OP= \sqrt{3}\ cm$,$\therefore AB= 2OB= 4\sqrt{3}\ cm$.
【反思】解决此类题的关键是建构由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形这一几何模型.
答案
解：连结OC，设⊙O的半径为r cm，则OC=OB=r cm。
∵P是OB的中点，∴OP=PB= $\frac{r}{2}$ cm。
∵AB⊥CD，CD=6 cm，由垂径定理得CP= $\frac{1}{2}$CD=3 cm。
在Rt△POC中，∠OPC=90°，根据勾股定理：OC²=OP²+CP²，
即$r²=(\frac{r}{2})²+3²$，解得r=2$\sqrt{3}$（负值舍去）。
∴直径AB=2r=4$\sqrt{3}$ cm。
答：直径AB的长为4$\sqrt{3}$ cm。
∵P是OB的中点，∴OP=PB= $\frac{r}{2}$ cm。
∵AB⊥CD，CD=6 cm，由垂径定理得CP= $\frac{1}{2}$CD=3 cm。
在Rt△POC中，∠OPC=90°，根据勾股定理：OC²=OP²+CP²，
即$r²=(\frac{r}{2})²+3²$，解得r=2$\sqrt{3}$（负值舍去）。
∴直径AB=2r=4$\sqrt{3}$ cm。
答：直径AB的长为4$\sqrt{3}$ cm。
【变式】如图3-3所示为一条直径为2 m的通水管道的轴截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中的水最深为______
0.4
m.答案
1. 首先，设圆的圆心为$O$，半径$r = 1m$，水面宽$AB=1.6m$，过圆心$O$作$OC\perp AB$于点$C$，交圆于点$D$：
根据垂径定理，$AC=\frac{1}{2}AB$（垂直于弦的直径平分弦）。
已知$AB = 1.6m$，则$AC=\frac{1}{2}×1.6 = 0.8m$。
2. 然后，在$Rt\triangle AOC$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c$为斜边，$a$、$b$为直角边）：
设$OC = x$，$OA=r = 1m$，$AC = 0.8m$，由勾股定理$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}$。
即$x=\sqrt{1^{2}-0.8^{2}}=\sqrt{(1 + 0.8)(1 - 0.8)}$（利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$）。
计算$\sqrt{(1 + 0.8)(1 - 0.8)}=\sqrt{1.8×0.2}=\sqrt{0.36}=0.6m$。
3. 最后，求水的深度：
水的深度$CD=OD - OC$，因为$OD=r = 1m$，$OC = 0.6m$。
所以$CD=1 - 0.6=0.4m$。
故这条管道中的水最深为$0.4m$。
根据垂径定理，$AC=\frac{1}{2}AB$（垂直于弦的直径平分弦）。
已知$AB = 1.6m$，则$AC=\frac{1}{2}×1.6 = 0.8m$。
2. 然后，在$Rt\triangle AOC$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c$为斜边，$a$、$b$为直角边）：
设$OC = x$，$OA=r = 1m$，$AC = 0.8m$，由勾股定理$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}$。
即$x=\sqrt{1^{2}-0.8^{2}}=\sqrt{(1 + 0.8)(1 - 0.8)}$（利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$）。
计算$\sqrt{(1 + 0.8)(1 - 0.8)}=\sqrt{1.8×0.2}=\sqrt{0.36}=0.6m$。
3. 最后，求水的深度：
水的深度$CD=OD - OC$，因为$OD=r = 1m$，$OC = 0.6m$。
所以$CD=1 - 0.6=0.4m$。
故这条管道中的水最深为$0.4m$。
例2 如图3-4所示,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC与\angle ABC的角平分线AE$,$BE相交于点E$,延长$AE交\triangle ABC的外接圆于点D$,连结$BD$,$CD$,$CE$,已知$\angle BDA= 60^\circ$.
(1)求证：$\triangle BDE$是等边三角形.
(2)若$\angle BDC= 120^\circ$,猜想四边形$BDCE$是何种特殊四边形,并证明你的猜想.
【思路点拨】(1)要说明$\triangle BDE$是等边三角形,已经有一个角是$60^\circ$,再说明还有一个角也是$60^\circ$即可.
(2)猜想四边形$BDCE$是平行四边形,在平行四边形的基础上,再猜想有可能是由两个等边三角形拼起来的菱形,从邻边相等的平行四边形是菱形考虑即可.
【解】(1)证明：$\because \angle BDA= 60^\circ$,$\therefore \angle BCA= 60^\circ$,$\therefore \angle BAC+\angle ABC= 120^\circ$.
又$\because AE$,$BE分别平分\angle BAC与\angle ABC$,
$\therefore \angle BAE+\angle ABE= 60^\circ$,$\therefore \angle BED= 60^\circ$,$\therefore \triangle BDE$是等边三角形.
(2)四边形$BDCE$是菱形.
证明：$\because \angle BDC= 120^\circ$,$\angle BDA= 60^\circ$,$\therefore \angle ADC= 60^\circ$.
又$\because \angle BED= 60^\circ$,$\therefore BE// CD$.
又$\because \triangle BDE$是等边三角形,$\therefore BE= BD$.
$\because AD平分\angle BAC$,$\therefore \angle BAD= \angle CAD$,$\therefore \triangle ABD\cong\triangle ACD(ASA)$,
$\therefore BD= CD$,$\therefore BE= CD$,$\therefore四边形BDCE$是平行四边形.
又$\because BE= BD$,$\therefore四边形BDCE$是菱形.
【反思】在同一个圆中,对于圆心角、弧、弦、圆周角之间的数量相等关系,要学会互相转化,对于圆心角定理、圆周角定理及其推论,要认真研究,学会灵活运用.
(1)求证：$\triangle BDE$是等边三角形.
(2)若$\angle BDC= 120^\circ$,猜想四边形$BDCE$是何种特殊四边形,并证明你的猜想.
【思路点拨】(1)要说明$\triangle BDE$是等边三角形,已经有一个角是$60^\circ$,再说明还有一个角也是$60^\circ$即可.
(2)猜想四边形$BDCE$是平行四边形,在平行四边形的基础上,再猜想有可能是由两个等边三角形拼起来的菱形,从邻边相等的平行四边形是菱形考虑即可.
【解】(1)证明：$\because \angle BDA= 60^\circ$,$\therefore \angle BCA= 60^\circ$,$\therefore \angle BAC+\angle ABC= 120^\circ$.
又$\because AE$,$BE分别平分\angle BAC与\angle ABC$,
$\therefore \angle BAE+\angle ABE= 60^\circ$,$\therefore \angle BED= 60^\circ$,$\therefore \triangle BDE$是等边三角形.
(2)四边形$BDCE$是菱形.
证明：$\because \angle BDC= 120^\circ$,$\angle BDA= 60^\circ$,$\therefore \angle ADC= 60^\circ$.
又$\because \angle BED= 60^\circ$,$\therefore BE// CD$.
又$\because \triangle BDE$是等边三角形,$\therefore BE= BD$.
$\because AD平分\angle BAC$,$\therefore \angle BAD= \angle CAD$,$\therefore \triangle ABD\cong\triangle ACD(ASA)$,
$\therefore BD= CD$,$\therefore BE= CD$,$\therefore四边形BDCE$是平行四边形.
又$\because BE= BD$,$\therefore四边形BDCE$是菱形.
【反思】在同一个圆中,对于圆心角、弧、弦、圆周角之间的数量相等关系,要学会互相转化,对于圆心角定理、圆周角定理及其推论,要认真研究,学会灵活运用.
答案
【解析】：本题主要考查圆的基本性质，包括圆周角定理、等边三角形和菱形的判定。
（1）已知$\angle BDA = 60^{\circ}$，根据同弧所对的圆周角相等，可得$\angle BCA = 60^{\circ}$，进而推出$\angle BAC + \angle ABC = 120^{\circ}$。
因为$AE$，$BE$分别平分$\angle BAC$与$\angle ABC$，所以$\angle BAE + \angle ABE = 60^{\circ}$，再根据三角形内角和定理求出$\angle BED = 60^{\circ}$，结合$\angle BDE = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定定理证明$\triangle BDE$是等边三角形。
（2）由$\angle BDC = 120^{\circ}$，$\angle BDA = 60^{\circ}$，可得$\angle ADC = 60^{\circ}$，又因为$\angle BED = 60^{\circ}$，所以$BE// CD$。
因为$\triangle BDE$是等边三角形，所以$BE = BD$。
由于$AD$平分$\angle BAC$，根据同弧所对的圆周角相等以及全等三角形的判定定理（$ASA$）证明$\triangle ABD\cong\triangle ACD$，从而得到$BD = CD$，进而推出$BE = CD$，证明四边形$BDCE$是平行四边形。
又因为$BE = BD$，根据菱形的判定定理证明四边形$BDCE$是菱形。
【答案】：
(1)证明：
$\because \angle BDA = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BCA = 60^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore \angle BAC + \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BCA = 120^{\circ}$。
又$\because AE$，$BE$分别平分$\angle BAC$与$\angle ABC$，
$\therefore \angle BAE + \angle ABE = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle ABC) = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BED = 180^{\circ} - (\angle BAE + \angle ABE) = 60^{\circ}$。
又$\because \angle BDE = \angle BCA = 60^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore \triangle BDE$是等边三角形（三个角都是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形）。
(2)四边形$BDCE$是菱形。
证明：
$\because \angle BDC = 120^{\circ}$，$\angle BDA = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC = \angle BDC - \angle BDA = 60^{\circ}$。
又$\because \angle BED = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BED = \angle ADC$，
$\therefore BE// CD$（内错角相等，两直线平行）。
$\because \triangle BDE$是等边三角形，
$\therefore BE = BD$。
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD = \angle CAD$。
又$\because \angle ABD = \angle ACD$（同弧所对的圆周角相等），$AD = AD$，
$\therefore \triangle ABD\cong\triangle ACD(ASA)$，
$\therefore BD = CD$，
$\therefore BE = CD$。
$\because BE// CD$且$BE = CD$，
$\therefore$四边形$BDCE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又$\because BE = BD$，
$\therefore$四边形$BDCE$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
（1）已知$\angle BDA = 60^{\circ}$，根据同弧所对的圆周角相等，可得$\angle BCA = 60^{\circ}$，进而推出$\angle BAC + \angle ABC = 120^{\circ}$。
因为$AE$，$BE$分别平分$\angle BAC$与$\angle ABC$，所以$\angle BAE + \angle ABE = 60^{\circ}$，再根据三角形内角和定理求出$\angle BED = 60^{\circ}$，结合$\angle BDE = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定定理证明$\triangle BDE$是等边三角形。
（2）由$\angle BDC = 120^{\circ}$，$\angle BDA = 60^{\circ}$，可得$\angle ADC = 60^{\circ}$，又因为$\angle BED = 60^{\circ}$，所以$BE// CD$。
因为$\triangle BDE$是等边三角形，所以$BE = BD$。
由于$AD$平分$\angle BAC$，根据同弧所对的圆周角相等以及全等三角形的判定定理（$ASA$）证明$\triangle ABD\cong\triangle ACD$，从而得到$BD = CD$，进而推出$BE = CD$，证明四边形$BDCE$是平行四边形。
又因为$BE = BD$，根据菱形的判定定理证明四边形$BDCE$是菱形。
【答案】：
(1)证明：
$\because \angle BDA = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BCA = 60^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore \angle BAC + \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BCA = 120^{\circ}$。
又$\because AE$，$BE$分别平分$\angle BAC$与$\angle ABC$，
$\therefore \angle BAE + \angle ABE = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle ABC) = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BED = 180^{\circ} - (\angle BAE + \angle ABE) = 60^{\circ}$。
又$\because \angle BDE = \angle BCA = 60^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore \triangle BDE$是等边三角形（三个角都是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形）。
(2)四边形$BDCE$是菱形。
证明：
$\because \angle BDC = 120^{\circ}$，$\angle BDA = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC = \angle BDC - \angle BDA = 60^{\circ}$。
又$\because \angle BED = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BED = \angle ADC$，
$\therefore BE// CD$（内错角相等，两直线平行）。
$\because \triangle BDE$是等边三角形，
$\therefore BE = BD$。
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD = \angle CAD$。
又$\because \angle ABD = \angle ACD$（同弧所对的圆周角相等），$AD = AD$，
$\therefore \triangle ABD\cong\triangle ACD(ASA)$，
$\therefore BD = CD$，
$\therefore BE = CD$。
$\because BE// CD$且$BE = CD$，
$\therefore$四边形$BDCE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又$\because BE = BD$，
$\therefore$四边形$BDCE$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
