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6.如图，在网格中，小正方形的边长均为$1$，点$A,B,O$都在格点上，则$\angle AOB$的正弦值是(
A.$\frac{3}{10}\sqrt{10}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
D
).A.$\frac{3}{10}\sqrt{10}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
答案
6. D
7.如图，在平面直角坐标系中，点$P$的坐标为$(5,12)$，那么$OP$与$x$轴的夹角$\alpha$的正弦值是
$\frac{12}{13}$
.答案
7. $\frac{12}{13}$
解析
解：过点$P$作$PA\perp x$轴于点$A$，则$OA=5$，$PA=12$。
在$Rt\triangle OPA$中，由勾股定理得：$OP=\sqrt{OA^{2}+PA^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$。
$\sin\alpha=\frac{PA}{OP}=\frac{12}{13}$。
$\frac{12}{13}$
在$Rt\triangle OPA$中，由勾股定理得：$OP=\sqrt{OA^{2}+PA^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$。
$\sin\alpha=\frac{PA}{OP}=\frac{12}{13}$。
$\frac{12}{13}$
8.在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ},\sin A=\frac{3}{5}$,则$\frac{BC}{AC}=$
$\frac{3}{4}$
.答案
8. $\frac{3}{4}$
解析
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。设$BC=3k$，则$AB=5k$。由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(5k)^{2}-(3k)^{2}}=4k$。所以$\frac{BC}{AC}=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}$。
$\frac{3}{4}$
$\frac{3}{4}$
B级
9.如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$,在图①、图②中分别求$\sin A$和$\sin B$的值.
9.如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$,在图①、图②中分别求$\sin A$和$\sin B$的值.
答案
9. 在图①中，$\sin A = \frac{3}{5}$，$\sin B = \frac{4}{5}$；在图②中，$\sin A = \frac{5}{13}$，$\sin B = \frac{12}{13}$。
解析
图①：
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。
图②：
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$BC=5$，$AB=13$。
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$。
结论：
图①中，$\sin A=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{4}{5}$；
图②中，$\sin A=\frac{5}{13}$，$\sin B=\frac{12}{13}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。
图②：
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$BC=5$，$AB=13$。
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$。
结论：
图①中，$\sin A=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{4}{5}$；
图②中，$\sin A=\frac{5}{13}$，$\sin B=\frac{12}{13}$。
10.如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，已知$\angle ACB=90^{\circ},CD\perp AB$，垂足为$D$.若$AC=5,BC=4$,求$\sin\angle ACD$的值.
答案
10.
∵ CD ⊥ AB，
∴ ∠ACD + ∠A = 90°。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
∴ ∠ACD = ∠B。在 Rt△ABC 中，AC = 5，BC = 4，由勾股定理，得$ AB = \sqrt{41}，$
∴$ \sin B = \frac{5\sqrt{41}}{41}。$
∴$ \sin ∠ACD = \frac{5\sqrt{41}}{41}。$
∵ CD ⊥ AB，
∴ ∠ACD + ∠A = 90°。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
∴ ∠ACD = ∠B。在 Rt△ABC 中，AC = 5，BC = 4，由勾股定理，得$ AB = \sqrt{41}，$
∴$ \sin B = \frac{5\sqrt{41}}{41}。$
∴$ \sin ∠ACD = \frac{5\sqrt{41}}{41}。$
11.如图，将一张矩形纸片$ABCD$沿$CE$折叠，$B$点恰好落在$AD$边上的$F$点，若$AB:BC=4:5$,求$\sin\angle FCD$的值.
答案
11. 令 BC = 5x，AB = CD = 4x，则 FC = 5x，在 Rt△DFC 中，DF = 3x，$\sin ∠FCD = \frac{3}{5}$。
解析
解：设 $ BC = 5x $，$ AB = 4x $。
∵ 矩形 $ ABCD $，
∴ $ CD = AB = 4x $，$ AD = BC = 5x $，$ ∠D = 90° $。
由折叠性质得 $ FC = BC = 5x $。
在 $ Rt\triangle DFC $ 中，$ DF = \sqrt{FC^2 - CD^2} = \sqrt{(5x)^2 - (4x)^2} = 3x $。
∴ $ \sin ∠FCD = \frac{DF}{FC} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} $。
∵ 矩形 $ ABCD $，
∴ $ CD = AB = 4x $，$ AD = BC = 5x $，$ ∠D = 90° $。
由折叠性质得 $ FC = BC = 5x $。
在 $ Rt\triangle DFC $ 中，$ DF = \sqrt{FC^2 - CD^2} = \sqrt{(5x)^2 - (4x)^2} = 3x $。
∴ $ \sin ∠FCD = \frac{DF}{FC} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} $。
