1. 如图24-2-3-4,直线AB与⊙O相切于点A,⊙O的半径为2,若∠OBA= 30°,则OB的长为()

A.$4\sqrt{3}$

B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.2

B

∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°。
在Rt△OAB中，∠OBA=30°，OA=2，
∵cos∠OBA=AB/OB，sin∠OBA=OA/OB，
∴OB=OA/sin∠OBA=2/sin30°=2/(1/2)=4。
B

2. 如图24-2-3-5,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与A,B重合),DE⊥AB,垂足为点D,交BC于点F,下列条件中能判定CE是⊙O的切线的是()

A.∠E= ∠CFE
B.∠E= ∠ECF
C.∠ECF= ∠EFC
D.∠ECF= 60°

C

3. 如图24-2-3-6,已知线段OA交⊙O于点B,且OB= AB,点P是⊙O上的一个动点,则∠OAP的最大值是()

A.30°

B.45°
C.60°
D.90°

A

连接OP，设⊙O半径为r，则OB=AB=r，OA=OB+AB=2r。
在△OAP中，OP=r，OA=2r，由正弦定理得：$\frac{OP}{\sin\angle OAP}=\frac{OA}{\sin\angle OPA}$，即$\frac{r}{\sin\angle OAP}=\frac{2r}{\sin\angle OPA}$，所以$\sin\angle OAP=\frac{1}{2}\sin\angle OPA$。
因为$\sin\angle OPA\leq1$，所以$\sin\angle OAP\leq\frac{1}{2}$，则$\angle OAP\leq30°$，当$\angle OPA=90°$时取等号。
∠OAP的最大值是$30°$。
A

4. 如图24-2-3-7,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,连接OC交⊙O于点D,连接BD。若∠C= 40°,则∠B的度数是°。

25

∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠OAC=90°。
∵∠C=40°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠C=180°-90°-40°=50°。
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB。
∵∠AOC=∠OBD+∠ODB=2∠B，
∴∠B=∠AOC/2=50°/2=25°。
25

5. (2025陕西中考节选)如图24-2-3-8,点O在△ABC的边AC上,以OC为半径的⊙O与AB相切于点D,与BC相交于点E,EF为⊙O的直径,FD与AC相交于点G,∠F= 45°。求证：AB= AC。

解：连接$OD$。
因为$AB$与$\odot O$相切于点$D$，所以$OD\perp AB$，即$\angle ADO = 90^{\circ}$。
因为$\angle F = 45^{\circ}$，所以$\angle DOE = 2\angle F=90^{\circ}$（同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍）。
又因为$EF$是$\odot O$的直径，所以$\angle ECF = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
因为$\angle DOE = 90^{\circ}$，$\angle ADO = 90^{\circ}$，所以$OD// BC$。
所以$\angle A=\angle C$（两直线平行，同位角相等）。
所以$AB = AC$（等角对等边）。

6. 如图24-2-3-9,P为⊙O的直径BA的延长线上一点,PC与⊙O相切,切点为C,点D是⊙O上一点,连接PD。已知PC= PD= BC,则下列结论：
①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO= AB；④∠PDB= 120°。
其中正确结论的个数为()

A.4
B.3
C.2
D.1

A