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1. 若一个正数的平方根分别是 $ 2m - 2 $ 与 $ m - 4 $,则 $ m $ 的值为(
A.$ -2 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $ 或 $ 2 $
C
)。A.$ -2 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $ 或 $ 2 $
答案
C
解析
因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以$2m - 2 + m - 4 = 0$，解得$3m - 6 = 0$，$3m = 6$，$m = 2$。
C
C
2. 下列说法正确的是(
A.$ \frac{1}{16} $ 的平方根是 $ \frac{1}{4} $
B.$ -16 $ 的算术平方根是 $ 4 $
C.$ (-4)^{2} $ 的平方根是 $ -4 $
D.$ 0 $ 的平方根和算术平方根都是 $ 0 $
D
)。A.$ \frac{1}{16} $ 的平方根是 $ \frac{1}{4} $
B.$ -16 $ 的算术平方根是 $ 4 $
C.$ (-4)^{2} $ 的平方根是 $ -4 $
D.$ 0 $ 的平方根和算术平方根都是 $ 0 $
答案
D
解析
A. $\frac{1}{16}$的平方根是$\pm \frac{1}{4}$，故A错误；
B. 负数没有算术平方根，故B错误；
C. $(-4)^{2}=16$，16的平方根是$\pm 4$，故C错误；
D. $0$的平方根和算术平方根都是$0$，故D正确。
结论：D
B. 负数没有算术平方根，故B错误；
C. $(-4)^{2}=16$，16的平方根是$\pm 4$，故C错误；
D. $0$的平方根和算术平方根都是$0$，故D正确。
结论：D
3. 若 $ x - 3 $ 是 $ 4 $ 的平方根,则 $ x $ 的值为(
A.$ 2 $
B.$ \pm 2 $
C.$ 1 $ 或 $ 5 $
D.$ 16 $
C
)。A.$ 2 $
B.$ \pm 2 $
C.$ 1 $ 或 $ 5 $
D.$ 16 $
答案
C
解析
因为$x - 3$是$4$的平方根，所以$x - 3 = \pm\sqrt{4} = \pm 2$。
当$x - 3 = 2$时，$x = 2 + 3 = 5$；
当$x - 3 = -2$时，$x = -2 + 3 = 1$。
故$x$的值为$1$或$5$。
C
当$x - 3 = 2$时，$x = 2 + 3 = 5$；
当$x - 3 = -2$时，$x = -2 + 3 = 1$。
故$x$的值为$1$或$5$。
C
4. $ (-3)^{2} $ 的平方根是(
A.$ -3 $
B.$ 3 $
C.$ 3 $ 或 $ -3 $
D.$ 9 $
C
)。A.$ -3 $
B.$ 3 $
C.$ 3 $ 或 $ -3 $
D.$ 9 $
答案
C
解析
$(-3)^{2}=9$，9的平方根是$\pm 3$，即$(-3)^{2}$的平方根是$3$或$-3$。
C
C
5. 解方程：
(1)$ 16(x - 2)^{2}= 25 $；
(2)$ 3(1 - x)^{2}= 108 $。
(1)$ 16(x - 2)^{2}= 25 $；
(2)$ 3(1 - x)^{2}= 108 $。
答案
（1）$x=\frac{13}{4}$或$x=\frac{3}{4}$。（2）$x=7$或$x=-5$。
解析
(1) $16(x - 2)^{2}= 25$
$(x - 2)^{2}=\frac{25}{16}$
$x - 2=\pm\frac{5}{4}$
$x - 2=\frac{5}{4}$或$x - 2=-\frac{5}{4}$
$x=\frac{5}{4}+2=\frac{13}{4}$或$x=-\frac{5}{4}+2=\frac{3}{4}$
(2) $3(1 - x)^{2}= 108$
$(1 - x)^{2}=36$
$1 - x=\pm6$
$1 - x=6$或$1 - x=-6$
$-x=6 - 1=5$或$-x=-6 - 1=-7$
$x=-5$或$x=7$
6. 已知 $ 2x - 1 $ 的平方根是 $ \pm 6 $,$ 2x + y - 1 $ 的平方根是 $ \pm 5 $,则 $ 2x - 3y + 4 $ 的平方根是
$\pm \sqrt{74}$
。答案
$\pm \sqrt{74}$。
解析
因为$2x - 1$的平方根是$\pm 6$，所以$2x - 1 = (\pm 6)^2 = 36$，解得$2x = 37$。
因为$2x + y - 1$的平方根是$\pm 5$，所以$2x + y - 1 = (\pm 5)^2 = 25$。将$2x = 37$代入，得$37 + y - 1 = 25$，解得$y = -11$。
则$2x - 3y + 4 = 37 - 3×(-11) + 4 = 37 + 33 + 4 = 74$，所以$2x - 3y + 4$的平方根是$\pm \sqrt{74}$。
$\pm \sqrt{74}$
因为$2x + y - 1$的平方根是$\pm 5$，所以$2x + y - 1 = (\pm 5)^2 = 25$。将$2x = 37$代入，得$37 + y - 1 = 25$，解得$y = -11$。
则$2x - 3y + 4 = 37 - 3×(-11) + 4 = 37 + 33 + 4 = 74$，所以$2x - 3y + 4$的平方根是$\pm \sqrt{74}$。
$\pm \sqrt{74}$
7. 已知 $ a $,$ b $ 满足 $ a^{2}+b^{2}-2a - 8b + 17= 0 $,则 $ \sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{4b}} $ 的平方根为
$\pm \frac{3}{2}$
。答案
$\pm \frac{3}{2}$
解析
$a^{2}+b^{2}-2a - 8b + 17= 0$，
$(a^{2}-2a+1)+(b^{2}-8b+16)=0$，
$(a-1)^{2}+(b-4)^{2}=0$，
$\because (a-1)^{2}\geq0$，$(b-4)^{2}\geq0$，
$\therefore a-1=0$，$b-4=0$，
$\therefore a=1$，$b=4$，
$\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{4b}}=\sqrt{\frac{4}{1}}+\sqrt{\frac{1}{4×4}}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，
$\frac{9}{4}$的平方根为$\pm \sqrt{\frac{9}{4}}=\pm \frac{3}{2}$。
$\pm \frac{3}{2}$
$(a^{2}-2a+1)+(b^{2}-8b+16)=0$，
$(a-1)^{2}+(b-4)^{2}=0$，
$\because (a-1)^{2}\geq0$，$(b-4)^{2}\geq0$，
$\therefore a-1=0$，$b-4=0$，
$\therefore a=1$，$b=4$，
$\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{4b}}=\sqrt{\frac{4}{1}}+\sqrt{\frac{1}{4×4}}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，
$\frac{9}{4}$的平方根为$\pm \sqrt{\frac{9}{4}}=\pm \frac{3}{2}$。
$\pm \frac{3}{2}$
例 1 求下列各数的立方根：
(1) 125；(2) $-5\frac{23}{64}$；(3) $(-2)^{3}$。
[解答] (1) 因为 $ 5^{3}= 125 $,所以 125 的立方根是 5,即$\sqrt[3]{125}= 5$。
(2) 因为$-5\frac{23}{64}= -\frac{343}{64}$,$(-\frac{7}{4})^{3}= -\frac{343}{64}$,
所以$-\frac{343}{64}的立方根是-\frac{7}{4}$,即$\sqrt[3]{-5\frac{23}{64}}= -\frac{7}{4}$。
(3) $(-2)^{3}$ 的立方根是 -2,即$\sqrt[3]{(-2)^{3}}= -2$。
(1) 125；(2) $-5\frac{23}{64}$；(3) $(-2)^{3}$。
[解答] (1) 因为 $ 5^{3}= 125 $,所以 125 的立方根是 5,即$\sqrt[3]{125}= 5$。
(2) 因为$-5\frac{23}{64}= -\frac{343}{64}$,$(-\frac{7}{4})^{3}= -\frac{343}{64}$,
所以$-\frac{343}{64}的立方根是-\frac{7}{4}$,即$\sqrt[3]{-5\frac{23}{64}}= -\frac{7}{4}$。
(3) $(-2)^{3}$ 的立方根是 -2,即$\sqrt[3]{(-2)^{3}}= -2$。
答案
(1)
因为$5^3 = 125$，根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，所以$\sqrt[3]{125}=5$。
(2)
先将$-5\frac{23}{64}$化为假分数，$-5\frac{23}{64}=-\frac{5×64 + 23}{64}=-\frac{343}{64}$。
因为$(-\frac{7}{4})^3=-\frac{7^3}{4^3}=-\frac{343}{64}$，所以$\sqrt[3]{-5\frac{23}{64}}=-\frac{7}{4}$。
(3)
设$a = (-2)^3=-8$，因为$(-2)^3=-8$，根据立方根的定义，$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$。
综上，答案依次为：(1)$5$；(2)$-\frac{7}{4}$；(3)$-2$。
因为$5^3 = 125$，根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，所以$\sqrt[3]{125}=5$。
(2)
先将$-5\frac{23}{64}$化为假分数，$-5\frac{23}{64}=-\frac{5×64 + 23}{64}=-\frac{343}{64}$。
因为$(-\frac{7}{4})^3=-\frac{7^3}{4^3}=-\frac{343}{64}$，所以$\sqrt[3]{-5\frac{23}{64}}=-\frac{7}{4}$。
(3)
设$a = (-2)^3=-8$，因为$(-2)^3=-8$，根据立方根的定义，$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$。
综上，答案依次为：(1)$5$；(2)$-\frac{7}{4}$；(3)$-2$。
