【典型例题】如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,BF平分∠ABC交CD于点E,交AC于点F. 求证CE= CF.

【证明】因为∠ACB= 90°,CD⊥AB,
所以∠CBF+∠CFB= 90°,∠DBE+∠DEB= 90°. 因为BF平分∠ABC,
所以∠CBF= ∠DBE,
所以∠CFB= ∠DEB.
因为∠FEC= ∠DEB,
所以∠CFB= ∠FEC,所以CE= CF.
规律方法 等腰三角形的判定方法
“等角对等边”是证明两条线段相等的重要方式之一,当所要证明相等的两条线段(或与之相等的相关线段)在同一个三角形中时,即可考虑运用该判定方法进行证明.

证明：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，
所以在$Rt\triangle CEF$（这里先根据三角形内角和辅助分析角度关系，实际证明中不强调此三角形为直角）相关角度计算中，$\angle CBF + \angle CFB=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle BED$中，$\angle DBE + \angle DEB = 90^{\circ}$。
因为$BF$平分$\angle ABC$，
所以$\angle CBF=\angle DBE$。
所以$\angle CFB=\angle DEB$。
因为$\angle FEC = \angle DEB$（对顶角相等），
所以$\angle CFB=\angle FEC$。
根据“等角对等边”，
所以$CE = CF$。

(2024·重庆中考)如图,在△ABC中,AB= AC,∠A= 36°,BD平分∠ABC交AC于点D. 若BC= 2,则AD的长度为.

$2$

$\because AB = AC$，$\angle A=36^{\circ}$，
根据等腰三角形性质及三角形内角和定理可得：
$\angle ABC=\angle C = \frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=72^{\circ}$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD=\angle DBC = 36^{\circ}$。
由$\angle A = \angle ABD = 36^{\circ}$，根据等角对等边可知$AD = BD$。
又$\angle C = 72^{\circ}$，$\angle BDC=\angle A + \angle ABD=72^{\circ}$，
所以$\angle C=\angle BDC$，根据等角对等边可知$BD = BC$。
已知$BC = 2$，所以$BD = 2$，则$AD = 2$。

1. 如图,下列选项说法正确的是()

A.①是等腰三角形
B.②是等腰三角形
C.①和②均是等腰三角形
D.①和②都不是等腰三角形

B

①中仅知两边长为8和5，未明确第三边长度及角的度数，无法判定为等腰三角形；②中已知两角为50°和80°，则第三角为180°-50°-80°=50°，有两个角相等（50°=50°），根据等角对等边，②是等腰三角形。

2. 如图,在△ABC中,CE,CF分别平分∠ACB和∠ACG,DE= 6,EF//BC,则DF= .

6

∵EF//BC，∴∠DEC=∠ECB（内错角相等）。
∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ECD，∴∠DEC=∠ECD，∴DE=DC（等角对等边）。
∵DE=6，∴DC=6。
∵EF//BC，∴∠DFC=∠FCG（内错角相等）。
∵CF平分∠ACG，∴∠FCG=∠DCF，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC（等角对等边）。
∴DF=DC=6。

3. 如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时45海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为海里.

90

由题意得，海轮航行速度为每小时45海里，航行2小时，所以MN=45×2=90海里。
因为M在P的南偏东70°方向，N在P的北偏东40°方向，所以∠MPN=180°-70°-40°=70°。
又因为MN是正北方向航行，所以∠PMN=70°（内错角相等）。
在△PMN中，∠PMN=∠MPN=70°，所以△PMN是等腰三角形，NP=MN=90海里。