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8. (2025·新邵县期末)如图，在平面直角坐标系中，原点 $O$ 为$□ ABCD$ 对角线 $BD$ 的中点，$AD// x$ 轴，点 $B$ 的坐标为$(-2,-2)$，$AD = 6$，则点 $A$ 的坐标为
$ ( - 4, 2 ) $
.答案
(-4,2)
9. (2025·连江县期末)如图，平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 的直线分别交 $AD$，$BC$ 于点 $E$，$F$，若图中阴影部分的面积为 $3\ \mathrm{cm}^2$，$BC = 4\ \mathrm{cm}$，则 $AD$ 与 $BC$ 之间的距离为
3
$\mathrm{cm}$.答案
3
10. (2025·东港期末)如图，在$□ ABCD$ 中，$O$ 是对角线 $AC$，$BD$ 的交点，过点 $O$ 作 $OE⊥ AC$ 交 $AD$ 于点 $E$，若$∠ DEC = 80°$，则$∠ ACB$ 的度数为
$ 40 ^ { \circ } $
.答案
40°
11. (2024·保定期末)知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
(1) 如图 ①，直线 $m$ 经过平行四边形 $ABCD$ 对角线的交点 $O$，则 $S_{\mathrm{四边形}AEFB}\_\_\_\_\_\_S_{\mathrm{四边形}DEFC}$；(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
(2) 如图 ②，两个正方形如图所示摆放，$O$ 为小正方形对角线的交点，求作过点 $O$ 的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
(3) 八个大小相同的正方形如图 ③ 所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割).
(1) 如图 ①，直线 $m$ 经过平行四边形 $ABCD$ 对角线的交点 $O$，则 $S_{\mathrm{四边形}AEFB}\_\_\_\_\_\_S_{\mathrm{四边形}DEFC}$；(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
(2) 如图 ②，两个正方形如图所示摆放，$O$ 为小正方形对角线的交点，求作过点 $O$ 的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
(3) 八个大小相同的正方形如图 ③ 所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割).
答案
=
12. (2025·吉州区期末)如图 ①，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，$EF$ 过点 $O$ 且与边 $AB$，$CD$ 分别相交于点 $E$ 和点 $F$.
(1) 求证：$OE = OF$.
(2) 如图 ②，$AD = 1$，$BD = 2$，$AC = 2\sqrt{2}$，$∠ DOF = ∠ α$.
① 当$∠ α$ 为多少度时，$EF⊥ AC$?
② 在 ① 的条件下，连接 $AF$，求$△ ADF$ 的周长.
(1) 求证：$OE = OF$.
(2) 如图 ②，$AD = 1$，$BD = 2$，$AC = 2\sqrt{2}$，$∠ DOF = ∠ α$.
① 当$∠ α$ 为多少度时，$EF⊥ AC$?
② 在 ① 的条件下，连接 $AF$，求$△ ADF$ 的周长.
答案
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB// CD，
∴∠EBO=∠FDO.
又
∵∠BOE=∠DOF，
∴$△ BOE≌△ DOF(\mathrm{ASA})$，
∴OE=OF.
(2)解：①
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=1$，$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}.$
又AD=1，
∴$AD^2+OD^2=OA^2$，
∴∠ADO=90°，∠AOD=45°，
∴∠α=90°-45°=45°.
②由①可得，EF垂直平分AC，
∴AF=FC，
又$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}=CD$，
∴△ ADF的周长为$AD+DF+FA=AD+CD=1+\sqrt{5}.$
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB// CD，
∴∠EBO=∠FDO.
又
∵∠BOE=∠DOF，
∴$△ BOE≌△ DOF(\mathrm{ASA})$，
∴OE=OF.
(2)解：①
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=1$，$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}.$
又AD=1，
∴$AD^2+OD^2=OA^2$，
∴∠ADO=90°，∠AOD=45°，
∴∠α=90°-45°=45°.
②由①可得，EF垂直平分AC，
∴AF=FC，
又$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}=CD$，
∴△ ADF的周长为$AD+DF+FA=AD+CD=1+\sqrt{5}.$
