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一、选择题
1. 有下列四个命题，其中错误的命题有(
① 三角形的内角和与外角和相等；② 四边形的内角和与外角和相等；③ 存在这样一个多边形：其内角和恰是其外角和的两倍；④ 各边相等的多边形是正多边形.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
1. 有下列四个命题，其中错误的命题有(
B
).① 三角形的内角和与外角和相等；② 四边形的内角和与外角和相等；③ 存在这样一个多边形：其内角和恰是其外角和的两倍；④ 各边相等的多边形是正多边形.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
1. B
解析
①三角形内角和为$180°$，外角和为$360°$，不相等，错误；
②四边形内角和为$360°$，外角和为$360°$，相等，正确；
③设多边形边数为$n$，内角和为$(n-2)×180°$，外角和$360°$，由$(n-2)×180°=2×360°$，解得$n=6$，存在六边形，正确；
④各边相等、各角也相等的多边形才是正多边形，仅各边相等错误。
错误命题为①④，共2个。
B
②四边形内角和为$360°$，外角和为$360°$，相等，正确；
③设多边形边数为$n$，内角和为$(n-2)×180°$，外角和$360°$，由$(n-2)×180°=2×360°$，解得$n=6$，存在六边形，正确；
④各边相等、各角也相等的多边形才是正多边形，仅各边相等错误。
错误命题为①④，共2个。
B
2. 在凸 $ n $ 边形中，小于 $ 108^{\circ} $ 的角最多可以有(
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
C
).A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
答案
2. C
解析
设凸$n$边形中小于$108^{\circ}$的角有$k$个，其余$(n - k)$个内角都不小于$108^{\circ}$。
凸$n$边形内角和为$(n - 2)×180^{\circ}$，则有：
$k×108^{\circ} + (n - k)×180^{\circ} ＞ (n - 2)×180^{\circ}$
化简得：
$108k + 180n - 180k ＞ 180n - 360$
$-72k ＞ -360$
$k ＜ 5$
因为$k$为整数，所以$k$最大为$4$。
C
凸$n$边形内角和为$(n - 2)×180^{\circ}$，则有：
$k×108^{\circ} + (n - k)×180^{\circ} ＞ (n - 2)×180^{\circ}$
化简得：
$108k + 180n - 180k ＞ 180n - 360$
$-72k ＞ -360$
$k ＜ 5$
因为$k$为整数，所以$k$最大为$4$。
C
3. 如图所示，七边形 $ ABCDEFG $ 中，$ AB $，$ ED $ 的延长线交于点 $ O $.若 $ ∠ 1 $，$ ∠ 2 $，$ ∠ 3 $，$ ∠ 4 $ 的外角和等于 $ 210^{\circ} $，则 $ ∠ BOD $ 的度数为(
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 35^{\circ} $
C.$ 40^{\circ} $
D.$ 45^{\circ} $
A
).A.$ 30^{\circ} $
B.$ 35^{\circ} $
C.$ 40^{\circ} $
D.$ 45^{\circ} $
答案
3. A
解析
解：
∵多边形外角和为$360^{\circ}$，$∠1$，$∠2$，$∠3$，$∠4$的外角和等于$210^{\circ}$，
∴七边形$ABCDEFG$其他三个外角的和为$360^{\circ}-210^{\circ}=150^{\circ}$。
∵$∠BOD$的外角与这三个外角的和为$180^{\circ}$（平角定义），
∴$∠BOD=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$。
答案：A
∵多边形外角和为$360^{\circ}$，$∠1$，$∠2$，$∠3$，$∠4$的外角和等于$210^{\circ}$，
∴七边形$ABCDEFG$其他三个外角的和为$360^{\circ}-210^{\circ}=150^{\circ}$。
∵$∠BOD$的外角与这三个外角的和为$180^{\circ}$（平角定义），
∴$∠BOD=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$。
答案：A
二、填空题
4. 如图所示，点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ E $ 在同一平面内，连接 $ AB $，$ BC $，$ CD $，$ DE $，$ EA $，若 $ ∠ BCD = 100^{\circ} $，则 $ ∠ A + ∠ B + ∠ D + ∠ E $ 的度数为
4. 如图所示，点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ E $ 在同一平面内，连接 $ AB $，$ BC $，$ CD $，$ DE $，$ EA $，若 $ ∠ BCD = 100^{\circ} $，则 $ ∠ A + ∠ B + ∠ D + ∠ E $ 的度数为
280°
.答案
4. 280°
解析
连接BD，在△BCD中，∠BCD+∠CBD+∠CDB=180°，
∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°.
五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°，
∠A+∠ABC+∠CDE+∠E+∠BCD=540°，
∠ABC=∠ABD+∠CBD，∠CDE=∠CDE+∠CDB，
∴∠A+∠ABD+∠CBD+∠CDE+∠CDB+∠E+∠BCD=540°，
即∠A+∠B+∠D+∠E+(∠CBD+∠CDB)+∠BCD=540°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E+80°+100°=540°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E=540°-180°=280°.
280°
∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°.
五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°，
∠A+∠ABC+∠CDE+∠E+∠BCD=540°，
∠ABC=∠ABD+∠CBD，∠CDE=∠CDE+∠CDB，
∴∠A+∠ABD+∠CBD+∠CDE+∠CDB+∠E+∠BCD=540°，
即∠A+∠B+∠D+∠E+(∠CBD+∠CDB)+∠BCD=540°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E+80°+100°=540°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E=540°-180°=280°.
280°
5. 如图所示，由正方形、正五边形、正六边形组合而成的图形中，$ ∠ 2 + ∠ 3 = 100^{\circ} $，则 $ ∠ 1 $ 的度数为
32°
.答案
5. 32°
解析
1
6. 在五边形 $ ABCDE $ 中，若 $ ∠ A = ∠ D = 90^{\circ} $，$ ∠ B : ∠ C : ∠ E = 3 : 8 : 7 $，则 $ ∠ E $ 的度数为
140°
.答案
6. 140°
解析
五边形内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$。
因为$∠ A = ∠ D = 90^{\circ}$，所以$∠ B + ∠ C + ∠ E=540^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=360^{\circ}$。
设$∠ B = 3x$，$∠ C = 8x$，$∠ E = 7x$，则$3x + 8x + 7x=360^{\circ}$，$18x = 360^{\circ}$，$x = 20^{\circ}$。
所以$∠ E=7x = 7×20^{\circ}=140^{\circ}$。
140°
因为$∠ A = ∠ D = 90^{\circ}$，所以$∠ B + ∠ C + ∠ E=540^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=360^{\circ}$。
设$∠ B = 3x$，$∠ C = 8x$，$∠ E = 7x$，则$3x + 8x + 7x=360^{\circ}$，$18x = 360^{\circ}$，$x = 20^{\circ}$。
所以$∠ E=7x = 7×20^{\circ}=140^{\circ}$。
140°
三、解答题
7. 已知一个多边形共有 $ 35 $ 条对角线.
(1) 这个多边形是几边形？
(2) 这个多边形内角和的度数是多少？
7. 已知一个多边形共有 $ 35 $ 条对角线.
(1) 这个多边形是几边形？
(2) 这个多边形内角和的度数是多少？
答案
7. (1) 十边形 (2) 1440°
解析
(1)设这个多边形是$n$边形，根据多边形对角线公式$\frac{n(n - 3)}{2}$，可得$\frac{n(n - 3)}{2}=35$，整理得$n^2 - 3n - 70 = 0$，解得$n = 10$或$n=-7$（舍去），所以这个多边形是十边形。
(2)根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，当$n = 10$时，内角和为$(10 - 2)×180^{\circ}=1440^{\circ}$。
(2)根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，当$n = 10$时，内角和为$(10 - 2)×180^{\circ}=1440^{\circ}$。
