(1)若二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像与x轴有两个公共点,则$b^{2}-4ac$ 0;
答案
解：
因为二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像与x轴有两个公共点，
所以一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根的判别式的性质，可得$b^{2}-4ac ＞ 0$。
最终结论：$b^{2}-4ac ＞ 0$
因为二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像与x轴有两个公共点，
所以一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根的判别式的性质，可得$b^{2}-4ac ＞ 0$。
最终结论：$b^{2}-4ac ＞ 0$
(2)二次函数$y=x^{2}+2x-4$的图像与x轴的交点有个;
答案
解：对于二次函数$y=x^{2}+2x-4$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-4$，
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-4) = 4 + 16 = 20$，
因为$\Delta = 20 ＞ 0$，
所以二次函数$y=x^{2}+2x-4$的图像与x轴的交点有2个。
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-4) = 4 + 16 = 20$，
因为$\Delta = 20 ＞ 0$，
所以二次函数$y=x^{2}+2x-4$的图像与x轴的交点有2个。
(3)已知二次函数$y=x^{2}-2x+c$的图像在x轴上方,一元二次方程$x^{2}-2x+c=0$的根的情况是;
答案
解：
对于二次函数$y=x^2-2x+c$，其中$a=1$，$b=-2$，常数项为$c$。
一元二次方程$x^2-2x+c=0$的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1× c = 4-4c$。
因为二次函数的图像在x轴上方，且$a=1＞0$，说明图像与x轴没有交点，
所以$\Delta = 4-4c ＜ 0$，即一元二次方程$x^2-2x+c=0$没有实数根。
最终结论：没有实数根
对于二次函数$y=x^2-2x+c$，其中$a=1$，$b=-2$，常数项为$c$。
一元二次方程$x^2-2x+c=0$的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1× c = 4-4c$。
因为二次函数的图像在x轴上方，且$a=1＞0$，说明图像与x轴没有交点，
所以$\Delta = 4-4c ＜ 0$，即一元二次方程$x^2-2x+c=0$没有实数根。
最终结论：没有实数根
(4)已知二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图像与x轴交于点A、B,线段AB的长为;
答案
解：
令$y=0$，则$x^{2}-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
则点A、B的坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$，
$AB=|3 - (-1)|=4$。
最终结论：线段AB的长为$\boldsymbol{4}$。
令$y=0$，则$x^{2}-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
则点A、B的坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$，
$AB=|3 - (-1)|=4$。
最终结论：线段AB的长为$\boldsymbol{4}$。
(5)已知二次函数$y=x^{2}+bx+c$有最小值-1,一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$的根的情况是.
答案
解：
∵二次函数$y=x^{2}+bx+c$的二次项系数$a=1＞0$，
∴该函数开口向上，其最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
由题意得$\frac{4×1× c - b^2}{4×1}=-1$，
整理得$b^2 - 4c=4$。
对于一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$，其判别式$\Delta=b^2-4ac=b^2-4×1× c=b^2-4c=4＞0$，
∴一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$有两个不相等的实数根。
∵二次函数$y=x^{2}+bx+c$的二次项系数$a=1＞0$，
∴该函数开口向上，其最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
由题意得$\frac{4×1× c - b^2}{4×1}=-1$，
整理得$b^2 - 4c=4$。
对于一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$，其判别式$\Delta=b^2-4ac=b^2-4×1× c=b^2-4c=4＞0$，
∴一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$有两个不相等的实数根。
