1. (1) 如图,小兵同学从A处出发向正东方向走$x\ \mathrm{m}$到达B处,再向正北方向走到C处,已知$∠ A=α$,则A、C两处相距().


A. $\frac{x}{\sin α}\ \mathrm{m}$ B. $\frac{x}{\cos α}\ \mathrm{m}$ C. $x· \sin α\ \mathrm{m}$ D. $x· \cos α\ \mathrm{m}$
[第1(1)题]
[第1(2)题]
(2) 如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,测得$∠ ABC=α$,$∠ ADC=β$,则竹竿AB与AD的长度之比为().
A. $\frac{\tan α}{\tan β}$ B. $\frac{\sin β}{\sin α}$ C. $\frac{\sin α}{\sin β}$ D. $\frac{\cos β}{\cos α}$

(1)
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=α$，$AB=x\ \mathrm{m}$，
根据余弦的定义，$\cosα=\frac{AB}{AC}$，
则$AC=\frac{AB}{\cosα}=\frac{x}{\cosα}\ \mathrm{m}$，
故选B。
(2)
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=α$，
由正弦的定义得$\sinα=\frac{AC}{AB}$，即$AB=\frac{AC}{\sinα}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=β$，
由正弦的定义得$\sinβ=\frac{AC}{AD}$，即$AD=\frac{AC}{\sinβ}$，
则$\frac{AB}{AD}=\frac{\frac{AC}{\sinα}}{\frac{AC}{\sinβ}}=\frac{\sinβ}{\sinα}$，
故选B。

2. 如图,分别求$∠ A$、$∠ B$的正弦值和余弦值.

(第2题)

解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$；
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，
$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。

3. 如图,在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,$\cos B=\frac{4}{5}$,求$∠ BAD$的正弦值和余弦值及AC的长度.

(第3题)

解：
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠C。
在Rt△ABD中，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{4}{5}$，设$BD=4k$，$AB=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$。
∵$AD=4$，∴$3k=4$，解得$k=\frac{4}{3}$。
∴$AB=5k=\frac{20}{3}$，$BD=4k=\frac{16}{3}$。
在Rt△ABD中：
$\sin∠ BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{16}{3}}{\frac{20}{3}}=\frac{4}{5}$，
$\cos∠ BAD=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{\frac{20}{3}}=\frac{3}{5}$。
∵$∠ BAD=∠ C$，∴$\sin C=\sin∠ BAD=\frac{4}{5}$，
在Rt△ADC中，$\sin C=\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{4}{5}=\frac{4}{AC}$，解得$AC=5$。
答：$\sin∠ BAD=\frac{4}{5}$，$\cos∠ BAD=\frac{3}{5}$，$AC$的长度为5。

4. 如图,在△ABC中,$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sin C=\frac{3}{5}$,AC=10,求△ABC的面积.

(第4题)

解：
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ADC中，
∵$\sin C = \frac{AD}{AC} = \frac{3}{5}$，$AC=10$，
∴$AD = AC · \sin C = 10 × \frac{3}{5} = 6$，
由勾股定理得：$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
在Rt△ABD中，
∵$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠ B = 45°$，
∴$BD = AD = 6$，
∴$BC = BD + DC = 6 + 8 = 14$，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 6 = 42$。