1. 下列多项式：①$x^2 + y^2$；②$-x^2 + y^2$；③$x^2 + 2xy - y^2$；④$-x^2 + 4xy - 4y^2$。其中能用公式法分解因式的是（）。

A.①③
B.②③
C.②④
D.②③④

1. C

【分析】
要判断多项式能否用公式法分解因式，首先需明确因式分解常用的两个公式的结构特征：1.平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，适用于两项式，两项均可写成平方形式且符号相反；2.完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，适用于三项式，其中两项为同号的平方项，剩余一项为两平方项底数乘积的2倍。接下来只需逐一验证四个多项式是否符合上述特征即可。
【解析】
我们逐个分析每个多项式：
①$x^2+y^2$：是两项式，两项均为平方形式但符号相同，不符合平方差公式特征，也不符合完全平方公式的三项式要求，无法用公式法分解因式；
②$-x^2+y^2$：变形为$y^2-x^2$，是两项式，两项均为平方形式且符号相反，符合平方差公式特征，可分解为$(y+x)(y-x)$，能用公式法分解；
③$x^2+2xy-y^2$：是三项式，其中平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合完全平方公式要求的平方项同号的特征，无法用公式法分解因式；
④$-x^2+4xy-4y^2$：先提取负号得$-(x^2-4xy+4y^2)$，括号内的三项中，$x^2$和$4y^2=(2y)^2$是同号的平方项，$-4xy=-2· x· 2y$是两底数乘积的2倍，符合完全平方公式特征，可分解为$-(x-2y)^2$，能用公式法分解。
综上，能用公式法分解因式的是②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题重点考查因式分解中公式法的适用条件，解题核心是准确把握平方差公式和完全平方公式的结构特征，做题时需注意先观察多项式的项数、各项符号和形式，再对应判断是否符合公式要求，避免因记错公式特征选错答案。
【难度系数】
0.8

2. 如果多项式$x^2 +1$加上一个单项式后，能直接用完全平方公式分解因式，则添加的单项式不能是().

A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^4$
D.$-\frac{1}{4}x^4$

2. D

【分析】
解题核心是牢记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，公式包含两个同号的平方项、一个正负均可的2倍交叉项。我们将每个选项的单项式代入$x^2+1$，判断得到的多项式是否符合完全平方公式的结构即可，思考时可分两种情况验证：一是添加的单项式作为交叉项$2ab$，二是添加的单项式作为平方项。
【解析】
依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一验证选项：
1. 选项A：添加$2x$后，多项式为$x^2+2x+1=(x+1)^2$，符合完全平方公式结构，可分解，不符合题意；
2. 选项B：添加$-2x$后，多项式为$x^2-2x+1=(x-1)^2$，符合完全平方公式结构，可分解，不符合题意；
3. 选项C：添加$\frac{1}{4}x^4$后，多项式为$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，符合完全平方公式结构，可分解，不符合题意；
4. 选项D：添加$-\frac{1}{4}x^4$后，多项式为$-\frac{1}{4}x^4+x^2+1$，整理得$-(\frac{1}{4}x^4-x^2-1)$，括号内的式子无法匹配完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题主要考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时要注意新增单项式既可以是交叉项也可以是平方项，需全面考虑避免漏判。
【难度系数】
0.7

3. 分解因式：
(1)$-m^2 - m - \frac{1}{4}$；
(2)$4(x+y)^2 -20(x+y)+25$。

3. 解：(1)原式$=-(m^2 + m + \frac{1}{4})=-[m^2 + 2· m · \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2]=-(m+\frac{1}{2})^2$。
(2)原式$=[2(x+y)]^2 - 2· 2(x+y)· 5 +5^2=(2x+2y-5)^2$。

【分析】
这两道因式分解题均考查完全平方公式的应用，解题思路如下：(1)首先观察式子，首项为负，先提取负号，将括号内的式子整理为二次三项式的形式，再判断是否符合完全平方和公式的结构$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，对应找到$a$、$b$后代入公式即可；(2)观察式子，可将$(x+y)$看作一个整体，先把各项变形为完全平方差公式的结构$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对应找到$a=2(x+y)$、$b=5$，代入公式后再整理即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$-1$，再套用完全平方和公式：
原式$=-(m^2 + m + \frac{1}{4})$
$=-[m^2 + 2· m · \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2]$
$=-(m+\frac{1}{2})^2$
(2) 将$(x+y)$看作整体，套用完全平方差公式：
原式$=[2(x+y)]^2 - 2· 2(x+y)· 5 +5^2$
$=[2(x+y)-5]^2$
$=(2x+2y-5)^2$
【答案】
(1)$-(m+\frac{1}{2})^2$；(2)$(2x+2y-5)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式因式分解，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需牢记：若多项式首项系数为负，优先提取负号使括号内首项为正；当多项式中出现相同的多项式部分时，可将其看作整体套用公式，分解结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8

4. 利用因式分解计算：$99^2 + 202 × 99 + 101^2$

4. 解：原式$=99^2 + 2×99×101 + 101^2=(99+101)^2=200^2=40000$。

【分析】
观察算式的结构，发现式子包含两个平方项，先将中间项202拆成2×101，即可判断整个式子符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2$的结构，其中$a=99$，$b=101$。我们可以先利用完全平方公式因式分解，再计算结果，能避免直接计算大数幂次的繁琐，减少计算错误。
【解析】
解：原式$=99^2 + 2×99×101 + 101^2$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，代入$a=99$，$b=101$得：
$\begin{aligned}&=(99+101)^2\\&=200^2\\&=40000\end{aligned}$
【答案】
40000
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 整式简便运算
【点评】
本题主要考查因式分解在简便计算中的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确匹配公式对应的项，通过因式分解可大幅简化运算过程，提升计算正确率。
【难度系数】
0.8

5. 已知 $ a ≠ c $，若 $ M = a^2 - ac $，$ N = ac - c^2 $，则 $ M $ 与 $ N $ 的大小关系是().

A.$ M ＞ N $
B.$ M = N $
C.$ M ＜ N $
D.不能确定

5. A

【分析】
比较两个代数式的大小，常用作差法：先计算两个代数式的差，再通过判断差的正负确定两个代数式的大小关系。本题我们先计算$M-N$，再对差因式分解，结合已知$a≠c$的条件判断差的符号，即可得到$M$和$N$的大小关系。
【解析】
要比较$M$和$N$的大小，计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=(a^2-ac)-(ac-c^2)\\&=a^2-ac-ac+c^2\\&=a^2-2ac+c^2\\&=(a-c)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知$(a-c)^2≥0$，又已知$a≠c$，因此$(a-c)^2＞0$，即$M-N＞0$，所以$M＞N$。
【答案】
A
【知识点】
作差法比较大小，完全平方公式因式分解，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较与因式分解的基础综合题，解题核心是熟练掌握作差法的步骤，能正确运用完全平方公式对差变形，结合题干给出的条件判断差的符号即可得出结论。
【难度系数】
0.7

6.（教材改编）已知$x^2 - (m - 1)x + 16$是完全平方式，求$m$的值.

6. 解：
∵$x^2-(m-1)x+16$是完全平方式，
∴$(m-1)· x=\pm2· x·4=\pm8x$，即$m-1=\pm8$，解得$m=9$或$m=-7$。

【分析】
解题时先明确完全平方式的基本结构：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，分为和的平方、差的平方两种形式。观察给定的式子$x^2-(m-1)x+16$，首项是$x^2$，对应结构中的$a^2$，即$a=x$；常数项是$16=4^2$，对应结构中的$b^2$，即$b=4$。由此可得中间项应为$\pm2ab=\pm8x$，将其与题目中的中间项$-(m-1)x$对应建立等式，即可求解$m$的值，注意不要漏掉中间项的正负两种情况。
【解析】
解：$\because x^2-(m-1)x+16$是完全平方式，
$\therefore (m-1)· x=\pm2· x·4=\pm8x$，
约去$x$可得$m-1=\pm8$，
当$m-1=8$时，解得$m=9$；当$m-1=-8$时，解得$m=-7$。
【答案】
$m=9$或$m=-7$
【知识点】
完全平方式的特征；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对完全平方式结构的掌握，易错点是容易忽略完全平方式存在两种形式，仅考虑单一符号导致漏解，解题时需注意中间项系数可正可负。
【难度系数】
0.7

7. 阅读材料，并回答问题.
若$x^2 + 2xy + 2y^2 - 4y + 4 = 0$，求$x$，$y$的值.
解：$\because x^2 + 2xy + 2y^2 - 4y + 4 = (x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 - 4y + 4) = (x + y)^2 + (y - 2)^2 = 0$，$\therefore x + y = 0$，$y - 2 = 0$，解得$x = -2$，$y = 2$.
(1) 若$x^2 - 6x + y^2 + 8y + 25 = 0$，求$\dfrac{x}{y}$的值；
(2) 若多项式$M = 2026m + 5$，$N = 2026m + 6$，$P = 2026m + 7$，求多项式$M^2 + N^2 + P^2 - MN - MP - NP$的值.

7. 解：(1)
∵$x^2-6x+y^2+8y+25=(x^2-6x+9)+(y^2+8y+16)=(x-3)^2+(y+4)^2=0$，
∴$x-3=0$，$y+4=0$，解得$x=3$，$y=-4$。
∴$\frac{x}{y}=-\frac{3}{4}$。
(2)
∵$2M^2+2N^2+2P^2-2MN-2MP-2NP=(M-N)^2+(M-P)^2+(N-P)^2=(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2=6$，
∴$M^2+N^2+P^2-MN-MP-NP=\frac{1}{2}×6=3$。

【分析】
(1) 参照例题的配方法思路，观察等式左边的式子，可将常数25拆分为9和16，分别和含x的项、含y的项配成完全平方，再根据平方数的非负性（两个非负数相加和为0，则两个非负数各自为0）求出x、y的值，最后代入计算$\dfrac{x}{y}$即可。
(2) 观察所求多项式的结构，含有平方项和两两乘积项，符合完全平方公式展开的特征，直接代入计算数值过大，因此先将原式乘2，变形为三个完全平方的和，计算$M-N$、$M-P$、$N-P$时相同项$2026m$会抵消，可大幅简化计算，算出2倍原式的结果后再除以2即可得到答案。
【解析】
(1) 对等式左边配方：
$\because x^2 - 6x + y^2 + 8y + 25 = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 0$
根据平方的非负性可得：
$x - 3 = 0$，$y + 4 = 0$
解得$x = 3$，$y = -4$
$\therefore \dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{-4} = -\dfrac{3}{4}$
(2) 将所求式子乘2凑完全平方：
$2(M^2 + N^2 + P^2 - MN - MP - NP) = 2M^2 + 2N^2 + 2P^2 - 2MN - 2MP - 2NP$
整理得：
$= (M^2 - 2MN + N^2) + (M^2 - 2MP + P^2) + (N^2 - 2NP + P^2)$
$= (M - N)^2 + (M - P)^2 + (N - P)^2$
代入$M=2026m+5$，$N=2026m+6$，$P=2026m+7$，得：
$M-N = -1$，$M-P=-2$，$N-P=-1$
因此：
$(M - N)^2 + (M - P)^2 + (N - P)^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = 6$
$\therefore M^2 + N^2 + P^2 - MN - MP - NP = \dfrac{1}{2} × 6 = 3$
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{4}$；(2) $3$
【知识点】
完全平方公式、非负数的性质、配方法的应用
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用和配方法的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，对于含多个平方项和交叉乘积项的式子，可通过乘2凑完全平方的技巧简化计算，利用平方的非负性求解是这类题型的常用思路。
【难度系数】
0.7