登录
1.某市为建设美丽乡村，用40万元购进A种树苗若干株，用90万元购进B种树苗若干株，所购B种树苗比A种树苗多10万株，且B种树苗每株进价是A种树苗每株进价的1.5倍，那么两种树苗每株进价分别是多少元？
答案
设A种树苗进价为x 元/株,则B种树苗进价为1.5x 元/株,
则$\frac{40}{x}+10=\frac{90}{1.5x}$,解得$x=2$.
经检验,$x=2$是原方程的解.
$1.5x=3$,$\therefore$B种树苗进价为3元/株.
答:那么A种树苗进价是2元/株,B种树苗进价是3元/株.
则$\frac{40}{x}+10=\frac{90}{1.5x}$,解得$x=2$.
经检验,$x=2$是原方程的解.
$1.5x=3$,$\therefore$B种树苗进价为3元/株.
答:那么A种树苗进价是2元/株,B种树苗进价是3元/株.
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系：购进B种树苗的数量 = 购进A种树苗的数量 + 10万株。首先设A种树苗进价为x元/株，根据B种进价是A的1.5倍可得B种进价为1.5x元/株；再根据“数量=总价÷单价”分别表示出两种树苗的购进数量，代入等量关系列分式方程；求解后需检验解是否为原方程的解且符合实际意义，最后求出B种树苗的进价即可。
【解析】
设A种树苗进价为x元/株，则B种树苗进价为1.5x元/株。
根据题意列方程：
$\frac{40}{x}+10=\frac{90}{1.5x}$
化简右侧得：$\frac{90}{1.5x}=\frac{60}{x}$
方程变为：$\frac{40}{x}+10=\frac{60}{x}$
移项计算得：$10=\frac{20}{x}$，解得$x=2$
经检验，$x=2$时分母不为0，是原方程的解，且符合实际意义。
则B种树苗进价为：$1.5x=1.5×2=3$（元/株）
答：A种树苗进价是2元/株，B种树苗进价是3元/株。
【答案】
A种树苗每株进价2元，B种树苗每株进价3元。
【知识点】
分式方程的应用、分式方程的解法、分式方程验根
【点评】
本题是分式方程在实际问题中的基础考查题型，关键是梳理清楚总价、单价、数量三者的关系，找准等量关系列方程，注意分式方程求解后必须验根，确保解既满足方程也符合实际情况。
【难度系数】
0.75
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系：购进B种树苗的数量 = 购进A种树苗的数量 + 10万株。首先设A种树苗进价为x元/株，根据B种进价是A的1.5倍可得B种进价为1.5x元/株；再根据“数量=总价÷单价”分别表示出两种树苗的购进数量，代入等量关系列分式方程；求解后需检验解是否为原方程的解且符合实际意义，最后求出B种树苗的进价即可。
【解析】
设A种树苗进价为x元/株，则B种树苗进价为1.5x元/株。
根据题意列方程：
$\frac{40}{x}+10=\frac{90}{1.5x}$
化简右侧得：$\frac{90}{1.5x}=\frac{60}{x}$
方程变为：$\frac{40}{x}+10=\frac{60}{x}$
移项计算得：$10=\frac{20}{x}$，解得$x=2$
经检验，$x=2$时分母不为0，是原方程的解，且符合实际意义。
则B种树苗进价为：$1.5x=1.5×2=3$（元/株）
答：A种树苗进价是2元/株，B种树苗进价是3元/株。
【答案】
A种树苗每株进价2元，B种树苗每株进价3元。
【知识点】
分式方程的应用、分式方程的解法、分式方程验根
【点评】
本题是分式方程在实际问题中的基础考查题型，关键是梳理清楚总价、单价、数量三者的关系，找准等量关系列方程，注意分式方程求解后必须验根，确保解既满足方程也符合实际情况。
【难度系数】
0.75
2.某改造工程要求限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做则要延期9天才能完成.现两队合做4天后，余下的工程再由乙队单独做，比限期提前一天完成.
(1)该工程限期多少天？
(2)已知甲队每天施工费为10 000元，乙队每天施工费为5 000元，要使该工程的总费用不超过65 000元，乙队最多施工多少天？
(1)该工程限期多少天？
(2)已知甲队每天施工费为10 000元，乙队每天施工费为5 000元，要使该工程的总费用不超过65 000元，乙队最多施工多少天？
答案
(1)设该工程限期x天,则$\frac{4}{x}+\frac{x-1}{x+9}=1$,解得$x=6$.
经检验,$x=6$是原方程的解.
答:该工程限期6天.
(2)设甲队施工a天,乙队施工b天,则
$\begin{cases}\frac{1}{6}a+\frac{1}{15}b=1,\\10000a+5000b≤65000,\end{cases}$
$\therefore b≤5$.
答:乙队最多施工5天.
经检验,$x=6$是原方程的解.
答:该工程限期6天.
(2)设甲队施工a天,乙队施工b天,则
$\begin{cases}\frac{1}{6}a+\frac{1}{15}b=1,\\10000a+5000b≤65000,\end{cases}$
$\therefore b≤5$.
答:乙队最多施工5天.
解析
【分析】
本题属于工程类实际应用题，解题时将总工作量看作单位“1”，利用“工作效率=总工作量÷工作时间”表示各队效率：
(1) 设工程限期为x天，可推出甲队单独完成需x天，乙队单独完成需(x+9)天，进而得到两队效率。等量关系为：甲队4天的工作量 + 乙队总施工天数的工作量 = 总工作量1，其中乙队总施工天数为限期提前1天即(x-1)天，据此列分式方程求解，注意分式方程需检验根是否符合实际意义。
(2) 结合(1)的结论可得甲、乙两队的工作效率，设甲队施工a天，乙队施工b天，先根据总工作量为1列出a与b的等量关系，再结合总费用不超过65000元列不等式，将a用含b的式子代入不等式即可求出b的最大值。
【解析】
(1) 设该工程限期为x天，则甲队单独完成需x天，乙队单独完成需(x+9)天，总工作量记为1。
根据题意列方程：
$\frac{4}{x}+\frac{x-1}{x+9}=1$
去分母得：$4(x+9)+x(x-1)=x(x+9)$
展开整理得：$4x+36+x^2 -x = x^2 +9x$
移项合并同类项得：$6x=36$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x+9)=6×15=90≠0$，所以$x=6$是原方程的解，且符合实际意义。
答：该工程限期6天。
(2) 由(1)可知，甲队工作效率为$\frac{1}{6}$每天，乙队单独完成需6+9=15天，工作效率为$\frac{1}{15}$每天。
设甲队施工a天，乙队施工b天，根据题意得：
$\begin{cases}\frac{1}{6}a+\frac{1}{15}b=1 ①\\10000a+5000b≤65000 ②\end{cases}$
由①式整理得：$a = 6 - \frac{2}{5}b$
将$a = 6 - \frac{2}{5}b$代入②式：
$10000×(6 - \frac{2}{5}b) + 5000b ≤65000$
计算得：$60000 - 4000b + 5000b ≤65000$
化简得：$1000b ≤5000$
解得：$b≤5$
答：乙队最多施工5天。
【答案】
(1) 6天；(2) 5天
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题
【点评】
本题是工程实际应用的典型题型，综合考察了分式方程和一元一次不等式的使用，解题核心是找准工作量的等量关系和费用的不等关系，注意分式方程求解后必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.65
本题属于工程类实际应用题，解题时将总工作量看作单位“1”，利用“工作效率=总工作量÷工作时间”表示各队效率：
(1) 设工程限期为x天，可推出甲队单独完成需x天，乙队单独完成需(x+9)天，进而得到两队效率。等量关系为：甲队4天的工作量 + 乙队总施工天数的工作量 = 总工作量1，其中乙队总施工天数为限期提前1天即(x-1)天，据此列分式方程求解，注意分式方程需检验根是否符合实际意义。
(2) 结合(1)的结论可得甲、乙两队的工作效率，设甲队施工a天，乙队施工b天，先根据总工作量为1列出a与b的等量关系，再结合总费用不超过65000元列不等式，将a用含b的式子代入不等式即可求出b的最大值。
【解析】
(1) 设该工程限期为x天，则甲队单独完成需x天，乙队单独完成需(x+9)天，总工作量记为1。
根据题意列方程：
$\frac{4}{x}+\frac{x-1}{x+9}=1$
去分母得：$4(x+9)+x(x-1)=x(x+9)$
展开整理得：$4x+36+x^2 -x = x^2 +9x$
移项合并同类项得：$6x=36$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x+9)=6×15=90≠0$，所以$x=6$是原方程的解，且符合实际意义。
答：该工程限期6天。
(2) 由(1)可知，甲队工作效率为$\frac{1}{6}$每天，乙队单独完成需6+9=15天，工作效率为$\frac{1}{15}$每天。
设甲队施工a天，乙队施工b天，根据题意得：
$\begin{cases}\frac{1}{6}a+\frac{1}{15}b=1 ①\\10000a+5000b≤65000 ②\end{cases}$
由①式整理得：$a = 6 - \frac{2}{5}b$
将$a = 6 - \frac{2}{5}b$代入②式：
$10000×(6 - \frac{2}{5}b) + 5000b ≤65000$
计算得：$60000 - 4000b + 5000b ≤65000$
化简得：$1000b ≤5000$
解得：$b≤5$
答：乙队最多施工5天。
【答案】
(1) 6天；(2) 5天
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题
【点评】
本题是工程实际应用的典型题型，综合考察了分式方程和一元一次不等式的使用，解题核心是找准工作量的等量关系和费用的不等关系，注意分式方程求解后必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.65
3.一艘小船先顺水航行 48 km 再逆水航行 24 km 所用的时间,恰与它在静水中航行72 km 所用时间相等.已知水流速度是 2 km/h,求小船在静水中的速度.
答案
设小船在静水中的速度为x km/h,则$\frac{48}{x+2}+\frac{24}{x-2}=\frac{72}{x}$,
解得$x=6$.
经检验,$x=6$是原方程的解.
答:小船在静水中的速度为6 km/h.
解得$x=6$.
经检验,$x=6$是原方程的解.
答:小船在静水中的速度为6 km/h.
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程应用题，解题核心是抓住“两种航行方式所用时间相等”这个等量关系。首先回忆流水行船的速度关系：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，静水航行速度就是小船在静水中的速度。我们可以先设小船在静水中的速度为x km/h，分别表示出顺水航行48km的时间、逆水航行24km的时间、静水中航行72km的时间，再根据时间相等列方程求解，最后注意分式方程需要检验根的合理性。
【解析】
解：设小船在静水中的速度为x km/h，则顺水速度为$(x+2)$km/h，逆水速度为$(x-2)$km/h。
根据题意列方程得：
$\frac{48}{x+2}+\frac{24}{x-2}=\frac{72}{x}$
去分母，方程两边同时乘以最简公分母$x(x+2)(x-2)$，得：
$48x(x-2) + 24x(x+2) = 72(x+2)(x-2)$
展开整理得：
$72x^2 - 48x = 72x^2 - 288$
移项合并同类项得：
$-48x = -288$
解得$x=6$。
检验：当$x=6$时，$x(x+2)(x-2)=6×8×4=192≠0$，且速度为正数符合实际意义，因此$x=6$是原方程的解。
【答案】
小船在静水中的速度为6 km/h。
【知识点】
分式方程的应用；流水行船问题；分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的典型考题，解题的关键是准确梳理不同航行状态下的速度，抓住时间等量关系列方程，注意解分式方程后要双重检验：既要检验是否为原方程的增根，也要检验是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类的分式方程应用题，解题核心是抓住“两种航行方式所用时间相等”这个等量关系。首先回忆流水行船的速度关系：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，静水航行速度就是小船在静水中的速度。我们可以先设小船在静水中的速度为x km/h，分别表示出顺水航行48km的时间、逆水航行24km的时间、静水中航行72km的时间，再根据时间相等列方程求解，最后注意分式方程需要检验根的合理性。
【解析】
解：设小船在静水中的速度为x km/h，则顺水速度为$(x+2)$km/h，逆水速度为$(x-2)$km/h。
根据题意列方程得：
$\frac{48}{x+2}+\frac{24}{x-2}=\frac{72}{x}$
去分母，方程两边同时乘以最简公分母$x(x+2)(x-2)$，得：
$48x(x-2) + 24x(x+2) = 72(x+2)(x-2)$
展开整理得：
$72x^2 - 48x = 72x^2 - 288$
移项合并同类项得：
$-48x = -288$
解得$x=6$。
检验：当$x=6$时，$x(x+2)(x-2)=6×8×4=192≠0$，且速度为正数符合实际意义，因此$x=6$是原方程的解。
【答案】
小船在静水中的速度为6 km/h。
【知识点】
分式方程的应用；流水行船问题；分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的典型考题，解题的关键是准确梳理不同航行状态下的速度，抓住时间等量关系列方程，注意解分式方程后要双重检验：既要检验是否为原方程的增根，也要检验是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.6
