1.如图，D是$△ ABC$的边AB延长线上一点，添加下列条件后，仍不能判定$△ ACD ∽ △ ABC$的是()


A.$∠ ACB = ∠ D$
B.$∠ ACD = ∠ ABC$
C.$\frac{CD}{BC} = \frac{AD}{AC}$
D.$\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$

C

【分析】
要判定△ACD与△ABC相似，首先可观察到两个三角形有公共角∠A，已经满足一组对应角相等的条件。结合相似三角形的判定定理，此时只需再添加一组对应角相等，或者添加公共角∠A的两组夹边对应成比例，即可判定两个三角形相似，我们逐个分析各选项是否满足上述条件即可得到答案。
【解析】
在△ACD和△ABC中，∠A是两个三角形的公共角，即∠A=∠A。
A. 若添加∠ACB=∠D，此时两个三角形有两组角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ACD∽△ABC，不符合题意；
B. 若添加∠ACD=∠ABC，此时两个三角形有两组角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ACD∽△ABC，不符合题意；
C. 若添加$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，该比例中对应成比例的边的夹角并非公共角∠A，不满足“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件，无法判定△ACD∽△ABC，符合题意；
D. 若添加$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即公共角∠A的两组夹边对应成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ACD∽△ABC，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，对应边与对应角识别
【点评】
本题是相似三角形判定的常规题型，解题的核心是先确定两个三角形的公共角，再结合判定定理验证添加的条件是否符合要求，要注意使用“两边成比例且夹角相等”的判定定理时，角必须是两组对应边的夹角，避免因边和角的对应错误失分。
【难度系数】
0.7

2.如图,下列两组三角形的边长或内角的度数已在图中标注。关于这两组三角形,下列说法正确的是()


A.都相似
B.都不相似
C.只有①相似
D.只有②相似

A

【分析】要判断两组三角形是否相似，可分别结合已知条件，利用相似三角形的判定定理逐一分析：对图①，先计算出左侧三角形的未知角，再通过“两角分别相等的两个三角形相似”判定；对图②，先确定对顶角相等，再验证夹对顶角的两组边是否成比例，通过“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定。
【解析】
分析图①：
左侧三角形已知两个内角为35°、75°，根据三角形内角和为180°，可得第三个角为：
$180°-35°-75°=70°$
右侧三角形的两个内角为70°、75°，两个三角形有两组角分别对应相等，因此图①中的两个三角形相似。
分析图②：
$∠ AOC$和$∠ DOB$是对顶角，因此$∠ AOC=∠ DOB$。
夹这两个角的对应边比值为：
$\frac{OA}{OD}=\frac{4}{3}$，$\frac{OC}{OB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，即$\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OB}$
两边对应成比例且夹角相等，因此图②中的两个三角形相似。
综上，两组三角形都相似。
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定、三角形内角和定理、对顶角的性质
【点评】本题核心考查相似三角形的判定方法，解题时要准确找到对应角和对应边，熟练掌握判定定理即可快速求解。
【难度系数】0.7

3.如图,在△ABC中,∠A=80°,AB=8,AC=6。将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是()

$\boldsymbol{C}$

【分析】
要判断剪下的阴影三角形与△ABC是否相似，需结合相似三角形的判定定理逐一分析各选项：相似三角形的常用判定方法有①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似。我们结合原△ABC中∠A=80°，AB=8，AC=6的已知条件，逐个验证选项是否满足上述判定条件即可。
【解析】
我们对各选项逐一判断：
1. 选项A：阴影三角形与原△ABC有公共角∠A，且另有一个内角与△ABC的对应内角相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似；
2. 选项B：阴影三角形与原△ABC有公共角，且另有一个内角与△ABC的对应内角相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似；
3. 选项C：阴影三角形夹∠A的两条边长度分别为8-2=6、6-3=3，两边比值为6:3=2:1；原△ABC夹∠A的两条边AB:AC=8:6=4:3，两组对应边比值不相等，不满足“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件，也不符合其他相似判定规则，故两三角形不相似；
4. 选项D：阴影三角形有一个内角等于∠A，且另有一个内角与△ABC的公共角相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比例的计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的核心是熟练掌握相似三角形的判定定理，分析图形时要注意对应角、对应边的对应关系，应用“两边成比例且夹角相等”判定时，需确认两边的夹角是对应相等的角，避免错判。
【难度系数】
0.7

4.如图，AB，CD相交于点O，且OC=45，OD=30，OB=36。当OA=时，△AOC与△BOD相似。

$\boldsymbol{54}$或$\boldsymbol{37.5}$

【分析】
首先观察图形，AB与CD相交于点O，可得∠AOC和∠BOD是对顶角，二者相等。要判定△AOC和△BOD相似，已知一组夹角相等，可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”求解。由于题目没有明确两个三角形的对应边关系，因此需要分两种情况讨论对应边的比例，分别计算OA的长度即可。
【解析】
解：
∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）。
要使△AOC与△BOD相似，分两种情况讨论：
① 当△AOC∽△BOD时，对应边成比例：$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$
代入已知OC=45，OD=30，OB=36，得：
$\frac{OA}{36}=\frac{45}{30}$
解得 $OA=\frac{45×36}{30}=54$
② 当△AOC∽△DOB时，对应边成比例：$\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OB}$
代入数值得：
$\frac{OA}{30}=\frac{45}{36}$
解得 $OA=\frac{45×30}{36}=37.5$
综上，OA的长度为54或37.5。
【答案】
$\boldsymbol{54}$或$\boldsymbol{37.5}$
【知识点】
对顶角相等；相似三角形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题核心是利用对顶角相等的性质结合相似三角形的判定定理解题，需要注意：若题目没有明确相似三角形的对应关系，一定要分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6

5.如图,已知$∠ BAC=∠ EAD$,$AB=24$,$AC=48$,$AE=17$,$AD=34$。求证:$△ ABC∽△ AED$。

证明：
∵ $AB=24$，$AE=17$，$AC=48$，$AD=34$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{24}{17}$，$\frac{AC}{AD}=\frac{48}{34}=\frac{24}{17}$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
又∵ $∠BAC=∠EAD$，
∴ $△ABC∽△AED$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

【分析】
要证明两个三角形相似，结合已知条件，已经给出一组对应角∠BAC=∠EAD相等，优先考虑使用“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定定理。接下来只需验证夹这组等角的两组对应边的比值是否相等即可，因此先分别计算$\frac{AB}{AE}$和$\frac{AC}{AD}$的比值，判断两个比值是否相等，若相等即可满足判定条件完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB=24$，$AE=17$，$AC=48$，$AD=34$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{24}{17}$，$\frac{AC}{AD}=\frac{48}{34}=\frac{24}{17}$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
又
∵ $∠BAC=∠EAD$，
∴ $△ABC∽△AED$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
$△ABC∽△AED$，证明过程如上。
【知识点】
1. 相似三角形判定
2. 比例化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，核心考查“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的应用，解题时只要找准对应边、对应角，准确计算对应边的比值即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.提升题＞如图，已知$AB// DC$，点$E,F$在线段$BD$上，$AB=2DC$，$BE=2DF$。求证：$△ ABE∽△ CDF$。
（第6题）

证明：
∵ $AB// DC$，
∴ $∠ B = ∠ D$。
∵ $AB=2DC$，$BE=2DF$，
∴ $\frac{AB}{DC}=2$，$\frac{BE}{DF}=2$，
∴ $\frac{AB}{DC}=\frac{BE}{DF}$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}\frac{AB}{DC}=\frac{BE}{DF} \\∠ B = ∠ D\end{array} $
∴ $△ ABE ∽ △ CDF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

【分析】
要证明△ABE∽△CDF，首先回忆相似三角形的判定方法。首先由已知AB//DC，根据平行线的性质可得到内错角∠B=∠D，得到一组相等的夹角；再结合题目给出的AB=2DC、BE=2DF，可推出两组对应边$\frac{AB}{DC}$与$\frac{BE}{DF}$的比值相等，此时刚好满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB// DC$，
∴ $∠ B = ∠ D$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AB=2DC$，$BE=2DF$，
∴ $\frac{AB}{DC}=2$，$\frac{BE}{DF}=2$，
∴ $\frac{AB}{DC}=\frac{BE}{DF}$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}\frac{AB}{DC}=\frac{BE}{DF} \\∠ B = ∠ D\end{array} $
∴ $△ ABE ∽ △ CDF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
$△ ABE ∽ △ CDF$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题时需要先从平行线条件推导等角，再将边的倍数关系转化为比例关系，结合相似三角形的SAS判定定理即可求证，主要考查对基础判定定理的应用能力。
【难度系数】
0.8