登录
8. 如图,在长为 20 m、宽为 12 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为整个矩形面积的$\dfrac{3}{4}$, 则道路的宽为
2
m。答案
8.2
解析
【分析】
遇到这类修筑道路求宽度的问题，可采用平移法简化计算：将分散的草坪通过平移拼接成规则矩形，用矩形面积公式建立等量关系。首先计算草坪的总面积，再设道路宽为未知数，用含未知数的式子表示平移后草坪的长和宽，根据草坪面积列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可。
【解析】
解：设道路的宽为$ x $ m。
1. 计算面积：
矩形地面总面积为 $ 20 × 12 = 240 \, \mathrm{m}^2 $，
由题意得草坪面积为 $ 240 × \frac{3}{4} = 180 \, \mathrm{m}^2 $。
2. 列方程：
将草坪平移后可拼接为长$ (20 - x) \, \mathrm{m} $、宽$ (12 - x) \, \mathrm{m} $的矩形，列方程得：
$ (20 - x)(12 - x) = 180 $
3. 解方程：
展开整理得 $ x^2 - 32x + 60 = 0 $，
因式分解得 $ (x - 2)(x - 30) = 0 $，
解得 $ x_1 = 2 $，$ x_2 = 30 $。
4. 验根：
道路宽不可能超过矩形的宽12m，故$ x = 30 $不符合实际，舍去。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用，平移法求面积，矩形面积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的典型应用题，核心技巧是通过平移将不规则的草坪区域转化为规则矩形，降低计算难度，求解后要注意结合实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
遇到这类修筑道路求宽度的问题，可采用平移法简化计算：将分散的草坪通过平移拼接成规则矩形，用矩形面积公式建立等量关系。首先计算草坪的总面积，再设道路宽为未知数，用含未知数的式子表示平移后草坪的长和宽，根据草坪面积列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可。
【解析】
解：设道路的宽为$ x $ m。
1. 计算面积：
矩形地面总面积为 $ 20 × 12 = 240 \, \mathrm{m}^2 $，
由题意得草坪面积为 $ 240 × \frac{3}{4} = 180 \, \mathrm{m}^2 $。
2. 列方程：
将草坪平移后可拼接为长$ (20 - x) \, \mathrm{m} $、宽$ (12 - x) \, \mathrm{m} $的矩形，列方程得：
$ (20 - x)(12 - x) = 180 $
3. 解方程：
展开整理得 $ x^2 - 32x + 60 = 0 $，
因式分解得 $ (x - 2)(x - 30) = 0 $，
解得 $ x_1 = 2 $，$ x_2 = 30 $。
4. 验根：
道路宽不可能超过矩形的宽12m，故$ x = 30 $不符合实际，舍去。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用，平移法求面积，矩形面积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的典型应用题，核心技巧是通过平移将不规则的草坪区域转化为规则矩形，降低计算难度，求解后要注意结合实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 90°,AB = 9\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,同时,点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动。如果$P,Q$分别从$A,B$同时出发运动$t\ \mathrm{s}$,当点$Q$运动到点$C$时,两点同时停止运动。
(1)$BQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm},PB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。(用含$t$的代数式表示)
(2)经过几秒,$PQ$的长为$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$?
(3)经过几秒,$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$?
(1)$BQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm},PB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。(用含$t$的代数式表示)
(2)经过几秒,$PQ$的长为$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$?
(3)经过几秒,$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$?
答案
9.(1)2t (9-t)
(2)解:根据题意,得$(9-t)^2+(2t)^2=72$,
解得 $t_1=\dfrac{3}{5},t_2=3$。
∴经过$\dfrac{3}{5}\ \mathrm{s}$或 3 s,PQ 的长为 $6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
(3)解:根据题意,得$\dfrac{1}{2}×(9-t)×2t=8$,
解得 $t_1=8,t_2=1$。
∵$0≤ t≤ 6$,
∴$t=1$,
∴经过 1 s,$△ PBQ$ 的面积等于 $8\ \mathrm{cm}^2$。
(2)解:根据题意,得$(9-t)^2+(2t)^2=72$,
解得 $t_1=\dfrac{3}{5},t_2=3$。
∴经过$\dfrac{3}{5}\ \mathrm{s}$或 3 s,PQ 的长为 $6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
(3)解:根据题意,得$\dfrac{1}{2}×(9-t)×2t=8$,
解得 $t_1=8,t_2=1$。
∵$0≤ t≤ 6$,
∴$t=1$,
∴经过 1 s,$△ PBQ$ 的面积等于 $8\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
本题是动点结合几何性质的一元二次方程应用问题，解题思路如下：
(1) 根据“路程=速度×时间”分别表示出AP、BQ的长度，再结合AB的总长度即可推出PB的代数式；
(2) 已知∠B为直角，△PBQ是直角三角形，PQ为斜边，因此利用勾股定理列关于t的一元二次方程，求解即可得到符合条件的t值；
(3) 利用直角三角形的面积公式，结合△PBQ的面积为8cm²列方程求解，注意点Q运动到点C时两点停止运动，因此t的取值范围是0≤t≤6，需要舍去超出范围的不符合实际的解。
【解析】
(1) 点Q的运动速度为2cm/s，运动时间为t s，因此$BQ=2× t=2t\ \mathrm{cm}$；
点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t s，因此$AP=1× t=t\ \mathrm{cm}$，又$AB=9\ \mathrm{cm}$，所以$PB=AB-AP=(9-t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为$∠ B=90°$，在$Rt△ PBQ$中，由勾股定理可得：$PB^2+BQ^2=PQ^2$
将$PQ=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$PB=9-t$，$BQ=2t$代入得：
$(9-t)^2+(2t)^2=(6\sqrt{2})^2$
整理得：$5t^2-18t+9=0$
因式分解得：$(5t-3)(t-3)=0$
解得$t_1=\frac{3}{5}$，$t_2=3$
点Q运动到点C的时间为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，$\frac{3}{5}＜6$，$3＜6$，两个解均符合运动实际。
(3) $Rt△ PBQ$的面积公式为$S=\frac{1}{2}× PB× BQ$，将$S=8\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=8$
化简得：$t^2-9t+8=0$
因式分解得：$(t-1)(t-8)=0$
解得$t_1=1$，$t_2=8$
因为t的取值范围为$0≤ t≤6$，$8＞6$不符合运动实际，故舍去$t=8$，仅$t=1$符合题意。
【答案】
(1) $2t$；$9-t$
(2) 经过$\frac{3}{5}\ \mathrm{s}$或$3\ \mathrm{s}$，$PQ$的长为$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
(3) 经过$1\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元二次方程的应用；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于动点类方程应用的基础题，解题核心是用含时间t的代数式准确表示出动点对应的线段长度，再结合几何性质列方程求解，需要特别注意结合动点的运动范围检验解的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题是动点结合几何性质的一元二次方程应用问题，解题思路如下：
(1) 根据“路程=速度×时间”分别表示出AP、BQ的长度，再结合AB的总长度即可推出PB的代数式；
(2) 已知∠B为直角，△PBQ是直角三角形，PQ为斜边，因此利用勾股定理列关于t的一元二次方程，求解即可得到符合条件的t值；
(3) 利用直角三角形的面积公式，结合△PBQ的面积为8cm²列方程求解，注意点Q运动到点C时两点停止运动，因此t的取值范围是0≤t≤6，需要舍去超出范围的不符合实际的解。
【解析】
(1) 点Q的运动速度为2cm/s，运动时间为t s，因此$BQ=2× t=2t\ \mathrm{cm}$；
点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t s，因此$AP=1× t=t\ \mathrm{cm}$，又$AB=9\ \mathrm{cm}$，所以$PB=AB-AP=(9-t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为$∠ B=90°$，在$Rt△ PBQ$中，由勾股定理可得：$PB^2+BQ^2=PQ^2$
将$PQ=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$PB=9-t$，$BQ=2t$代入得：
$(9-t)^2+(2t)^2=(6\sqrt{2})^2$
整理得：$5t^2-18t+9=0$
因式分解得：$(5t-3)(t-3)=0$
解得$t_1=\frac{3}{5}$，$t_2=3$
点Q运动到点C的时间为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，$\frac{3}{5}＜6$，$3＜6$，两个解均符合运动实际。
(3) $Rt△ PBQ$的面积公式为$S=\frac{1}{2}× PB× BQ$，将$S=8\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=8$
化简得：$t^2-9t+8=0$
因式分解得：$(t-1)(t-8)=0$
解得$t_1=1$，$t_2=8$
因为t的取值范围为$0≤ t≤6$，$8＞6$不符合运动实际，故舍去$t=8$，仅$t=1$符合题意。
【答案】
(1) $2t$；$9-t$
(2) 经过$\frac{3}{5}\ \mathrm{s}$或$3\ \mathrm{s}$，$PQ$的长为$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
(3) 经过$1\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元二次方程的应用；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于动点类方程应用的基础题，解题核心是用含时间t的代数式准确表示出动点对应的线段长度，再结合几何性质列方程求解，需要特别注意结合动点的运动范围检验解的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
10.【数学应用】在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图所示分别是小华与小芳的设计方案。同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度。
答案
10.解:小芳的方案不符合条件。
设小路的宽度均为 x m,则花园的长为(16-2x) m,宽为(12-2x)m。
根据题意,得$(16-2x)(12-2x)=\dfrac{1}{2}×16×12$。
解得 $x_1=2,x_2=12$(不合题意,舍去)。
∴小芳的方案不符合条件,小路的宽度应均为 2 m。
设小路的宽度均为 x m,则花园的长为(16-2x) m,宽为(12-2x)m。
根据题意,得$(16-2x)(12-2x)=\dfrac{1}{2}×16×12$。
解得 $x_1=2,x_2=12$(不合题意,舍去)。
∴小芳的方案不符合条件,小路的宽度应均为 2 m。
解析
【分析】
首先明确题目核心要求：花园面积为矩形荒地面积的一半。先计算荒地总面积为$16×12=192\ \mathrm{m}^2$，因此花园面积需为$96\ \mathrm{m}^2$。第一步先验证小芳的方案：若小路宽为1m，花园长为$16-2×1=14\ \mathrm{m}$，宽为$12-2×1=10\ \mathrm{m}$，面积为$14×10=140\ \mathrm{m}^2≠96\ \mathrm{m}^2$，因此不符合条件。第二步求解正确的小路宽度：设小路宽为$x\ \mathrm{m}$，则花园长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\ \mathrm{m}$，根据花园面积等于荒地面积一半的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到正确的小路宽度。
【解析】
解：首先验证小芳的方案：
若小路宽度为1m，花园的长为$16-2×1=14\ \mathrm{m}$，宽为$12-2×1=10\ \mathrm{m}$，花园面积为$14×10=140\ \mathrm{m}^2$。
矩形荒地总面积为$16×12=192\ \mathrm{m}^2$，荒地面积的一半为$192÷2=96\ \mathrm{m}^2$，$140≠96$，因此小芳的方案不符合条件。
设符合条件的小路宽度均为$x\ \mathrm{m}$，则花园的长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\ \mathrm{m}$，根据题意列方程：
$(16-2x)(12-2x)=\dfrac{1}{2}×16×12$
整理得：$x^2-14x+24=0$
因式分解得：$(x-2)(x-12)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=12$。
当$x=12$时，$12-2x=-12＜0$，不符合实际意义，故舍去。
因此符合条件的小路宽度为2m。
【答案】
小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、方程验根
【点评】
本题结合实际设计场景考查数学知识的应用，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，避免得出不符合现实情况的结果，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确题目核心要求：花园面积为矩形荒地面积的一半。先计算荒地总面积为$16×12=192\ \mathrm{m}^2$，因此花园面积需为$96\ \mathrm{m}^2$。第一步先验证小芳的方案：若小路宽为1m，花园长为$16-2×1=14\ \mathrm{m}$，宽为$12-2×1=10\ \mathrm{m}$，面积为$14×10=140\ \mathrm{m}^2≠96\ \mathrm{m}^2$，因此不符合条件。第二步求解正确的小路宽度：设小路宽为$x\ \mathrm{m}$，则花园长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\ \mathrm{m}$，根据花园面积等于荒地面积一半的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到正确的小路宽度。
【解析】
解：首先验证小芳的方案：
若小路宽度为1m，花园的长为$16-2×1=14\ \mathrm{m}$，宽为$12-2×1=10\ \mathrm{m}$，花园面积为$14×10=140\ \mathrm{m}^2$。
矩形荒地总面积为$16×12=192\ \mathrm{m}^2$，荒地面积的一半为$192÷2=96\ \mathrm{m}^2$，$140≠96$，因此小芳的方案不符合条件。
设符合条件的小路宽度均为$x\ \mathrm{m}$，则花园的长为$(16-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\ \mathrm{m}$，根据题意列方程：
$(16-2x)(12-2x)=\dfrac{1}{2}×16×12$
整理得：$x^2-14x+24=0$
因式分解得：$(x-2)(x-12)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=12$。
当$x=12$时，$12-2x=-12＜0$，不符合实际意义，故舍去。
因此符合条件的小路宽度为2m。
【答案】
小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、方程验根
【点评】
本题结合实际设计场景考查数学知识的应用，解题关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，避免得出不符合现实情况的结果，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
