3. 若反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$的图象上有两点$A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$，则$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$(填“＞”“=”或“＜”)。

＜

【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：直接将两点的横坐标代入反比例函数解析式，分别求出$y_1$、$y_2$的具体数值，再比较两个数的大小即可，该方法直观不易出错；思路二：利用反比例函数的增减性判断，先确定函数的$k$值符号，再判断两点是否在同一象限，结合横坐标的大小关系即可推导$y$值的大小关系。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=1$代入$y=-\dfrac{1}{x}$，得$y_1=-\dfrac{1}{1}=-1$；
将$x=2$代入$y=-\dfrac{1}{x}$，得$y_2=-\dfrac{1}{2}$。
因为$-1 ＜ -\dfrac{1}{2}$，所以$y_1 ＜ y_2$。
方法二：利用反比例函数增减性求解
反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$中，$k=-1＜0$，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$的横坐标均为正数，两点均在第四象限内，又因为$1＜2$，所以$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数基础题，两种解题方法都容易掌握，代入法直观易懂，利用增减性解题更快捷，熟练掌握反比例函数的增减性规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9

4. 若已知梯形的下底长为$x$，上底长为下底长的$\frac{1}{3}$，高为$y$，面积为60，则$y$与$x$的函数解析式是（不考虑$x$的取值范围）。

4. $y=\dfrac{90}{x}$

【分析】
解题时首先回忆梯形的面积计算公式，再从题干中提取上底、下底、高、面积的对应表达式，将已知量代入面积公式后，通过代数变形整理出y关于x的函数解析式即可。
【解析】
根据梯形的面积公式：$ S = \frac{1}{2} × (\mathrm{上底} + \mathrm{下底}) × \mathrm{高} $
由题意可知：下底长为$ x $，上底长为下底的$ \frac{1}{3} $，即上底长为$ \frac{1}{3}x $，高为$ y $，面积$ S=60 $，代入公式得：
$ 60 = \frac{1}{2} × (x + \frac{1}{3}x) × y $
先计算括号内的和：$ x + \frac{1}{3}x = \frac{4}{3}x $，代入上式得：
$ 60 = \frac{1}{2} × \frac{4}{3}x × y $
化简系数：$ \frac{1}{2} × \frac{4}{3} = \frac{2}{3} $，即：
$ 60 = \frac{2}{3}xy $
将等式变形求$ y $：
$ y = 60 ÷ \frac{2}{3x} = 60 × \frac{3}{2x} = \frac{180}{2x} = \frac{90}{x} $
【答案】
$ y=\dfrac{90}{x} $
【知识点】
梯形面积计算；反比例函数解析式确定
【点评】
本题属于基础题型，核心是将几何图形的面积公式和函数解析式的推导结合，只要准确提取题干中的数量关系，代入公式后正确化简就能得到结果。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间$ t $（单位：h）与行驶速度$ v $（单位：km/h）满足函数关系：$ t=\frac{k}{v} $，其图象为如图4所示的一段曲线，且端点为$ A(40,1) $和$ B(m,0.5) $。
(1) 求$ k $和$ m $的值；
(2) 若行驶速度不超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？

1. (1) $k=40,m=80$ (2) 令$v=60$,得$t=\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}$. 结合函数图象可知,汽车通过该路段最少需要$\dfrac{2}{3}$ h.

【分析】
（1）已知t与v满足反比例函数关系$t=\frac{k}{v}$，且函数图象过点$A(40,1)$，可先将点A坐标代入函数解析式，用待定系数法求出k的值，得到完整的函数解析式后，再将点$B(m,0.5)$的坐标代入解析式，即可求出m的值。
（2）根据反比例函数的性质，当$k＞0$时，在$v＞0$的范围内，t随v的增大而减小，因此当行驶速度取最大值60km/h时，所需时间最短，将$v=60$代入函数解析式即可求出最短时间。
【解析】
(1) 将点$A(40,1)$代入$t=\frac{k}{v}$，得：
$1=\frac{k}{40}$，解得$k=40$，
因此函数解析式为$t=\frac{40}{v}$。
将点$B(m,0.5)$代入$t=\frac{40}{v}$，得：
$0.5=\frac{40}{m}$，解得$m=80$。
(2) 由反比例函数的性质可知，$k=40＞0$，当$v＞0$时，t随v的增大而减小，
已知行驶速度不超过60km/h，即$v≤60$，因此当$v=60$时，t取得最小值，
将$v=60$代入$t=\frac{40}{v}$，得：
$t=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $k=40$，$m=80$；
(2) 汽车通过该路段最少需要$\dfrac{2}{3}\ \mathrm{h}$。
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的增减性
3. 反比例函数实际应用
【点评】
本题结合行程问题考查反比例函数的相关知识，解题的关键是正确求出反比例函数解析式，灵活运用反比例函数的增减性解决最值问题，贴近生活实际，能锻炼学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8

2. 货轮从甲港往乙港运送货物,甲港的装货速度是每小时30吨,一共装了8小时,到达乙港后开始卸货,乙港卸货的速度是每小时x吨,设卸货的时间是y小时.
(1)当y是x的函数时,求y与x之间的函数解析式;
(2)若卸货的速度是每小时40吨,求乙港卸完全部货物所需的时间;
(3)在(2)的条件下,当卸货时间在4小时的时候,问船上剩余货物是多少吨.

(1)$y=\dfrac{240}{x}$ (2)6小时 (3)80吨

【分析】
解题的核心是抓住货物总质量不变这一不变量：①首先根据甲港的装货速度和装货时间计算出货物总质量；②第(1)问根据“卸货速度×卸货时间=货物总质量”这一等量关系，变形即可得到y与x的函数解析式，注意卸货速度x为正数；③第(2)问属于已知自变量求函数值，将x=40代入第(1)问的解析式计算即可得到卸货时间；④第(3)问先计算4小时的卸货总量，再用总货量减去已卸货量即可得到剩余货物质量。
【解析】
(1) 首先计算货物总质量：$30 × 8 = 240$（吨）
根据卸货总量等于货物总质量，可得等量关系：$xy = 240$
由于卸货速度$x＞0$，整理得$y$与$x$的函数解析式为：$y=\dfrac{240}{x} \ (x＞0)$
(2) 将$x=40$代入$y=\dfrac{240}{x}$，得：
$y = \dfrac{240}{40} = 6$（小时）
(3) 4小时的卸货总量为：$40 × 4 = 160$（吨）
剩余货物质量 = 总货量 - 已卸货量 = $240 - 160 = 80$（吨）
【答案】
(1)$y=\dfrac{240}{x}$ (2)6小时 (3)80吨
【知识点】
反比例函数的实际应用；代入法求函数值
【点评】
本题结合货物运输的生活场景考查反比例函数的基础应用，解题的关键是找准不变的总货量，建立正确的等量关系，属于基础类应用题，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8