1. 下列各式能用同底数幂的乘法法则进行计算的是().

A.$(x+y)^2 · (x-y)^2$
B.$(-x-y) · (x+y)^2$
C.$(x+y)^2 + (x+y)^3$
D.$-(x-y)^2 · (-x-y)^3$

1. B

【分析】
解题前首先明确同底数幂乘法法则的两个使用前提：一是运算必须是幂的乘法运算，不能是加减等其他运算；二是参与运算的幂的底数要相同，或者可以通过变形转化为相同的底数。我们按照这两个条件逐个筛选选项即可：先排除运算类型不符合的选项，再排除底数无法统一的选项，最终就能得到正确答案。
【解析】
我们结合同底数幂乘法的适用条件逐个分析选项：
1. 分析选项C：式子是$(x+y)^2 + (x+y)^3$，属于加法运算，不是乘法运算，直接排除；
2. 分析选项A：两个因式的底数分别为$(x+y)$和$(x-y)$，二者不相同，也无法转化为相同底数，不符合要求，排除；
3. 分析选项B：先对第一个因式变形可得$(-x-y)=-(x+y)$，原式可改写为$-(x+y)·(x+y)^2$，两个因式的底数均为$(x+y)$，且是乘法运算，符合同底数幂乘法的计算要求；
4. 分析选项D：两个因式的底数分别为$(x-y)$和$(-x-y)=-(x+y)$，二者不相同，也无法转化为相同底数，不符合要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法法则，多项式底数变形
【点评】
本题考查同底数幂乘法的适用条件，解题的核心是先判断运算类型，再验证底数是否可统一，遇到带负号的多项式底数时，可通过提取负号的方式尝试变形，不要忽略运算类型的判断导致误选。
【难度系数】
0.8

2. 已知 $a^4 · a^{\bigstar} = a^5$，则“★”的值是（）。

A.-1
B.0
C.1
D.2

2. C

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：第一步，回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；第二步，利用法则将等式左侧的式子化简，得到底数为a、指数为4与★之和的幂；第三步，根据等式两边底数相同且幂相等时，指数也相等的性质，列一元一次方程即可求出★的值。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$，可得：
左边$a^4 · a^{\bigstar} = a^{4+\bigstar}$
已知$a^4 · a^{\bigstar} = a^5$，因此$a^{4+\bigstar}=a^5$
等式两边底数相同，若两个同底数幂相等，则指数相等，可得：
$4 + \bigstar = 5$
解得：$\bigstar = 5 - 4 = 1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法法则；同底数幂相等的条件；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对同底数幂乘法法则的理解与应用，熟练掌握运算法则是解题的关键，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9

3. 计算：$2^6 × 2^3 =$ .

3. 512

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：首先观察算式特征，两个因式都是底数为2的幂，属于同底数幂相乘的运算，应优先使用同底数幂的乘法法则简化计算：先保持底数不变，将两个幂的指数相加得到新的指数，再计算最终的乘方结果即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数），可得：
$2^6 × 2^3 = 2^{6+3} = 2^9$
计算$2^9$：$2^9=2×2×2×2×2×2×2×2×2=512$
【答案】
512
【知识点】
同底数幂的乘法、乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对同底数幂乘法法则的识记与应用，计算过程中注意指数相加不要和乘法混淆，最后计算乘方结果时细心即可得分。
【难度系数】
0.9

4. 计算:
(1)$(x+y)^3 · (y+x)^4$;
(2)$x^{n+1} · x^2 · x^{3-n}$;
(3)$(b-2)^4 · (2-b)^3$;
(4)$a^3 · a^5 + a^2 · a^6 - 2a · a · a^6$.

4. 解 (1)原式=$(x+y)^{3+4}=(x+y)^7$.
(2)原式=$x^{(n+1)+2+(3-n)}=x^6$.
(3)原式=$(2-b)^4 · (2-b)^3=(2-b)^{4+3}=(2-b)^7$.
(4)原式=$a^{3+5}+a^{2+6}-2a^{1+1+6}=a^8+a^8-2a^8=0$.

【分析】
这4道小题均考查整式中幂的乘法相关运算，解题思路如下：
(1) 观察到两个因式的底数都是$(x+y)$，属于同底数幂相乘，直接套用同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加即可；
(2) 三个因式底数都是$x$，直接将所有指数相加，计算时注意含$n$的项会抵消，得到常数指数；
(3) 两个因式底数$(b-2)$和$(2-b)$互为相反数，根据偶次幂的非负性，$(b-2)^4=(2-b)^4$，先转化为同底数幂，再套用乘法法则计算；
(4) 先分别计算每一项的同底数幂乘法，注意单个$a$的指数是1，再将得到的同类项合并，算出最终结果。
【解析】
(1) 因为$(x+y)$和$(y+x)$是相同的底数，根据同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$：
原式=$(x+y)^{3+4}=(x+y)^7$；
(2) 三个因式底数均为$x$，直接合并指数计算：
原式=$x^{(n+1)+2+(3-n)}=x^{n+1+2+3-n}=x^6$；
(3) 因为$(b-2)^4=[-(2-b)]^4=(2-b)^4$，转化为同底数幂后计算：
原式=$(2-b)^4 · (2-b)^3=(2-b)^{4+3}=(2-b)^7$；
(4) 先分别计算每一项的同底数幂乘法，再合并同类项：
原式=$a^{3+5}+a^{2+6}-2a^{1+1+6}=a^8+a^8-2a^8=0$。
【答案】
(1)$(x+y)^7$；(2)$x^6$；(3)$(2-b)^7$；(4)$0$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的符号转换；合并同类项
【点评】
本组题是幂的运算的基础练习题，核心考点是同底数幂的乘法法则，解题时要注意：若底数互为相反数，需先根据奇偶次幂的性质统一底数，运算时不要遗漏指数为1的项，完成幂的运算后要正确合并同类项。
【难度系数】
0.8

5. 已知$x+y-3=0$,则$3^x · 3^y$的值是().

A.9
B.27
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{27}$

5. B 解析 由题意，得 $x+y=3$，所以 $3^x · 3^y=3^{x+y}=3^3=27$.

【分析】
解题时首先从已知等式入手，通过移项可以得到x+y的整体值；再观察所求式子$3^x · 3^y$，符合同底数幂相乘的形式，回忆同底数幂乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此可以将所求式子转化为以3为底、x+y为指数的幂，最后将x+y的值代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由$x+y-3=0$，移项可得$x+y=3$。
根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数），可得：
$3^x · 3^y=3^{x+y}$
将$x+y=3$代入上式，得：
$3^{x+y}=3^3=27$
所以本题选B。
【答案】B
【知识点】
同底数幂的乘法、整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是熟练掌握同底数幂的乘法法则，无需单独求解x、y的具体值，利用整体代入的思想即可快速算出结果，有效降低运算量。
【难度系数】
0.8

6.若$27× 3^x = 3^9$，则$x$的值为.

6. 6 解析 $3^3×3^x=3^{3+x}=3^9$，即 $3+x=9$,则 $x=6$.

【分析】
要解这个方程求x的值，首先观察等式两边的形式，右边是底数为3的幂，左边有因数27和$3^x$，首先可以把27转化为以3为底的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则对左边进行化简，得到同底数幂相等的形式，再根据“底数相同且不为0的幂相等时，指数也相等”的性质列一元一次方程，即可求出x的值。
【解析】
首先将27变形为以3为底的幂：$27 = 3^3$，
则原等式可化为：$3^3 × 3^x = 3^9$，
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得左边化简为：$3^{3+x}$，
即$3^{3+x} = 3^9$，
因为底数3≠0且3≠1，所以两个幂相等时指数相等，可得方程：$3 + x = 9$，
解得：$x = 9 - 3 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的意义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是幂的运算相关的基础常考题，解题的关键是将常数转化为与等式另一侧同底数的幂，再结合同底数幂的运算性质和指数相等的关系列方程求解，掌握幂的相关运算法则是解此类题的基础。
【难度系数】
0.8

7.已知$2^{a+4} - 2^{a+1}=112$，求a的值.

7. 解 由 $2^{a+4} - 2^{a+1} = 2^4 × 2^a - 2×2^a = 16×2^a - 2×2^a = 14×2^a = 112$,得$2^a=8$,则 $a=3$.

【分析】
本题是幂的运算类求值题，解题思路如下：第一步，观察等式左边的两项底数均为2，指数都含有参数a，可逆用同底数幂的乘法法则$x^{m+n}=x^m · x^n$，将两项都拆成含$2^a$的形式；第二步，提取公因式$2^a$后合并同类项，得到关于$2^a$的简易方程，求解得到$2^a$的值；第三步，将等号右侧的常数改写为底数为2的幂的形式，根据“同底数幂相等时指数相等”的性质即可求出a的值。
【解析】
解：逆用同底数幂的乘法法则对等式左边变形：
$2^{a+4} - 2^{a+1} = 2^4 × 2^a - 2^1 × 2^a$
计算得：$16×2^a - 2×2^a$
提取公因式$2^a$合并同类项：$(16-2)×2^a = 14×2^a$
原等式转化为：$14×2^a = 112$
两边同时除以14得：$2^a = 8$
因为$8=2^3$，即$2^a=2^3$，根据同底数幂相等的性质，可得$a=3$
【答案】
$a=3$
【知识点】
1.同底数幂的乘法 2.合并同类项 3.乘方的意义
【点评】
本题是幂的运算模块的典型基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，能灵活拆分同底数、含公共指数的式子，通过提取公因式简化运算后求解。
【难度系数】
0.7

8. 对于任意实数$a$，$b$，规定一种新运算，记作$(a,b)$：如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$。
例如：因为$2^3 = 8$，所以$(2,8)=3$。
令$(2,4)=x$，$(2,16)=y$，$(2,64)=z$，
求证：$(2,4)+(2,16)=(2,64)$。

8. 证明 由题意，得 $(2,4)=x$, $(2,16)=y$, $(2,64)=z$,
∴$2^x=4,2^y=16,2^z=64$.
∵$2^x × 2^y = 2^{x+y}=2^z=64$,
∴$x+y=z$,
∴$(2,4)+(2,16)=(2,64)$.

【分析】
解题时首先要明确新运算的定义规则：如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$。要证明等式成立，第一步先根据新运算的定义，把$(2,4)$、$(2,16)$、$(2,64)$分别转化为指数形式，得到$2^x=4$、$2^y=16$、$2^z=64$；第二步利用同底数幂的乘法法则计算$2^x × 2^y$，可得结果为$2^{x+y}=64$，和$2^z$相等；第三步根据“底数相同的幂相等时，指数也相等”的性质，推出$x+y=z$，即可证得原等式成立。
【解析】
证明：由新运算的定义可知：
∵$(2,4)=x$，$(2,16)=y$，$(2,64)=z$，
∴$2^x=4$，$2^y=16$，$2^z=64$。
根据同底数幂的乘法法则得：
$2^x × 2^y = 2^{x+y} = 4 × 16 = 64 = 2^z$，
∴$x+y=z$，
即$(2,4)+(2,16)=(2,64)$。
【答案】
$(2,4)+(2,16)=(2,64)$
【知识点】
新定义运算；同底数幂的乘法；乘方的定义
【点评】
本题属于新定义运算的基础题型，重点考查对新规则的理解能力和知识迁移应用能力，解题的关键是将新运算转化为熟悉的幂的运算，结合幂的运算法则即可求解。
【难度系数】
0.8