11.(7分)如图,已知五边形$ABCDE$是正五边形,连接$AC,AD$.求证:$\angle ACD=\angle ADC$.

证明：
∵五边形$ABCDE$是正五边形，
∴$AB=BC=CD=DE=EA$，
且每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$\angle B=\angle BCD=108°$。
在$\triangle ABC$中，$AB=BC$，
∴$\triangle ABC$是等腰三角形，
∴$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180°-\angle B}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
∵$\angle BCD=108°$，
∴$\angle ACD=\angle BCD-\angle BCA=108°-36°=72°$。
同理，在$\triangle AED$中，$AE=DE$，可证$\angle EAD=\angle EDA=36°$，
∴$\angle CAD=\angle BAE-\angle BAC-\angle EAD=108°-36°-36°=36°$。
在$\triangle ACD$中，$\angle ADC=180°-\angle ACD-\angle CAD=180°-72°-36°=72°$。
∴$\angle ACD=\angle ADC$。
结论：$\angle ACD=\angle ADC$。

12.(7分)如图,圆内接四边形$ABCD$两组对边的延长线分别相交于点$E,F$,且$\angle E=40^{\circ}$,$\angle F=60^{\circ}$.求$\angle A$的度数.

在圆内接四边形$ABCD$中，设$\angle A = x$。
1. 在$\triangle EAD$中：$\angle E = 40°$，$\angle A = x$，则$\angle ADE = 180° - \angle E - \angle A = 180° - 40° - x = 140° - x$。
由于$\angle ADE = \angle ADC$，故$\angle ADC = 140° - x$。
2. 圆内接四边形对角互补：$\angle ABC + \angle ADC = 180°$，则$\angle ABC = 180° - \angle ADC = 180° - (140° - x) = 40° + x$。
3. 在$\triangle FAB$中：$\angle F = 60°$，$\angle A = x$，则$\angle FCD = \angle A = x$（圆内接四边形外角等于内对角）。
在$\triangle FDC$中，$\angle FDC = 180° - \angle F - \angle FCD = 180° - 60° - x = 120° - x$。
4. 由圆内接四边形外角等于内对角：$\angle FDC = \angle ABC$，即$120° - x = 40° + x$。
解得$2x = 80°$，$x = 40°$。
$\angle A = 40°$。

13.(8分)如图,以$\triangle ABC$的一边$AC$为直径的$\odot O$交$AB$边于点$D$,$E$是$\odot O$上一点,连接$DE$,$\angle E=\angle B$.
(1)求证:$BC$是$\odot O$的切线.
(2)若$\angle E=45^{\circ}$,$AC=4$,求$\odot O$的内接正四边形的边长.

(1)
证明:
连接 $CD$。
因为 $AC$ 为直径,
所以 $\angle ADC = 90°$。
所以 $\angle A + \angle ACD = 90°$。
因为 $\angle E = \angle B$，
且 $\angle BCD = \angle E$，
所以 $\angle B = \angle BCD$。
在 $\triangle ACD$ 中, $\angle ACD + \angle BCD = 90°$。
所以 $\angle ACB = 90°$。
所以 $AC \perp BC$。
所以 $BC$ 是 $\odot O$ 的切线。
(2)
因为 $\angle E = 45°$，
所以 $\angle B = 45°$。
因为 $AC = 4$，
所以 $AB = 4\sqrt{2}$。
$\odot O$ 的内接正四边形的边长：
$\frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} × \sqrt{2} = 4 × \frac{\sqrt{2}}{2} × \sqrt{2} = 2\sqrt{2} × \sqrt{2} = 2 × 2 = 4 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$。
所以$\sqrt{2} × 2 = 2\sqrt{2}$。
即$\frac{4}{\sqrt{2}} × \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$。
$\boxed{2\sqrt{2}}$。

14.(8分)如图,正方形$ABCD$内接于$\odot O$,在劣弧上取一点$E$,连接$DE,BE$,过点$D$作$DF// BE$,交$\odot O$于点$F$,连接$BF,AF$,且$AF$与$DE$相交于点$G$.
(1)求证:四边形$EBFD$是矩形.
(2)求证:$DG=BE$.

(1)证明：
∵正方形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴$BD$是$\odot O$的直径（正方形对角线为外接圆直径），
∴$\angle BED = \angle BFD = 90°$（直径所对圆周角为直角）。
∵$DF// BE$，
∴$\angle BED + \angle EDF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵$\angle BED = 90°$，∴$\angle EDF = 90°$。
∴四边形$EBFD$有三个内角为$90°$，
∴四边形$EBFD$是矩形。
(2)证明：
∵四边形$EBFD$是矩形，
∴$BE = DF$（矩形对边相等）。
∵$ABCD$是正方形，
∴$\angle ABD = 45°$，且$\angle ABD$与$\angle AFD$均为$\overset{\frown}{AD}$所对圆周角，
∴$\angle AFD = \angle ABD = 45°$。
在$\triangle DGF$中，$\angle GDF = 90°$（已证），$\angle AFD = 45°$，
∴$\angle DGF = 180° - 90° - 45° = 45°$，
∴$\angle DGF = \angle AFD$，
∴$DG = DF$（等角对等边）。
又∵$BE = DF$，
∴$DG = BE$。