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1.小颖用如图所示4个图形拼成一个大长方形,并据此写出了一个把某多项式因式分解的等式.这个等式是(
A.$x^{2}+3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$
B.$x^{2}-3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$
C.$(x - 1)(x - 2)=x^{2}-3x + 2$
D.$x^{2}+3x + 2 = x(x + 3)+2$
A
).A.$x^{2}+3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$
B.$x^{2}-3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$
C.$(x - 1)(x - 2)=x^{2}-3x + 2$
D.$x^{2}+3x + 2 = x(x + 3)+2$
答案
A
解析
左图中四个小长方形的面积分别为$x^2$，$x$，$2x$，2，而拼成一个长方形后，其面积为$(x+1)(x+2)$。
四个小长方形面积和为：$x^2 + x + 2x + 2 = x^2 + 3x + 2$。
因此，多项式$x^2 + 3x + 2$可以因式分解为$(x + 1)(x + 2)$，题目中目标多项式为二次项和常数项为正，因式分解形式也应为两正项相乘，所以可以排除B，C，D选项。
四个小长方形面积和为：$x^2 + x + 2x + 2 = x^2 + 3x + 2$。
因此，多项式$x^2 + 3x + 2$可以因式分解为$(x + 1)(x + 2)$，题目中目标多项式为二次项和常数项为正，因式分解形式也应为两正项相乘，所以可以排除B，C，D选项。
2.下列因式分解正确的是(
A.$x^{3}-x = x(x^{2}-1)$
B.$x^{2}+y^{2}=(x + y)(x - y)$
C.$(a + 4)(a - 4)=a^{2}-16$
D.$x^{2}+4x + 4=(x + 2)^{2}$
D
).A.$x^{3}-x = x(x^{2}-1)$
B.$x^{2}+y^{2}=(x + y)(x - y)$
C.$(a + 4)(a - 4)=a^{2}-16$
D.$x^{2}+4x + 4=(x + 2)^{2}$
答案
D
解析
A选项，$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x + 1)(x - 1)$，分解不彻底，错误；B选项，$x^2 + y^2$不能分解，错误；C选项，是整式乘法，不是因式分解，错误；D选项，$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$，正确。
3.若$k + 101^{2}-1 = 102^{2}$,则$k$的值为(
A.204
B.202
C.200
D.101
A
).A.204
B.202
C.200
D.101
答案
A
解析
由题意得，$k = 102^{2} - 101^{2} + 1$。根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，$102^{2}-101^{2}=(102 + 101)(102 - 101)=203×1=203$，所以$k = 203 + 1 = 204$。
4.已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边,且$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}=2ab + 2bc + 2ac$,则$\triangle ABC$的形状是(
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
D
).A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
答案
D
解析
将等式$2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} = 2ab + 2bc + 2ac$移项并简化：
$2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ac = 0$，
即$(a^{2} - 2ab + b^{2}) + (b^{2} - 2bc + c^{2}) + (a^{2} - 2ac + c^{2}) = 0$，
即$(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (a - c)^{2} = 0$。
由于平方项非负，故$a - b = 0$，$b - c = 0$，$a - c = 0$，
得$a = b = c$，因此三角形为等边三角形。
$2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ac = 0$，
即$(a^{2} - 2ab + b^{2}) + (b^{2} - 2bc + c^{2}) + (a^{2} - 2ac + c^{2}) = 0$，
即$(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (a - c)^{2} = 0$。
由于平方项非负，故$a - b = 0$，$b - c = 0$，$a - c = 0$，
得$a = b = c$，因此三角形为等边三角形。
5.一位密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：$a-b,x-1,3,x^{2}+1,a,x + 1$分别对应6个字：国、爱、我、数、学、祖.现将$3a(x^{2}-1)-3b(x^{2}-1)$因式分解,结果呈现的密码信息可能是
(
A.爱数学
B.我爱数学
C.爱祖国
D.我爱祖国
(
D
).A.爱数学
B.我爱数学
C.爱祖国
D.我爱祖国
答案
D
解析
$3a(x^{2}-1)-3b(x^{2}-1)=3(x^{2}-1)(a - b)=3(x - 1)(x + 1)(a - b)$，对应“我、爱、祖、国”，组合得“我爱祖国”。
6.因式分解:$x^{2}-6x + 9=$
$(x-3)^{2}$
.答案
$(x-3)^{2}$。
解析
原式是一个二次多项式，可以观察是否满足完全平方公式，即$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$，在本题中，$x^{2}-6x+9$可以看作$x^{2}-2×3x+3^{2}$，因此满足完全平方公式，可以分解为$(x-3)^{2}$。
7.已知$(2x - 21)(3x - 7)-(3x - 7)(x - 13)$可分解因式为$(3x + a)(x + b)$,其中$a,b$均为整数,则$a + 3b=$
-31
.答案
-31
解析
$\begin{aligned}&(2x - 21)(3x - 7)-(3x - 7)(x - 13)\\=&(3x - 7)[(2x - 21)-(x - 13)]\\=&(3x - 7)(2x - 21 - x + 13)\\=&(3x - 7)(x - 8)\end{aligned}$
对比$(3x + a)(x + b)$，得$a=-7$，$b=-8$，则$a + 3b=-7 + 3×(-8)=-31$
对比$(3x + a)(x + b)$，得$a=-7$，$b=-8$，则$a + 3b=-7 + 3×(-8)=-31$
8.若$a = 2018,b = 2017$,则$a^{2}-2ab + b^{2}-5a + 5b=$
-4
.答案
-4
解析
$\begin{aligned}&a^{2}-2ab + b^{2}-5a + 5b\\=&(a - b)^2 - 5(a - b)\\\end{aligned}$
当$a = 2018$，$b = 2017$时，$a - b=2018 - 2017 = 1$，代入上式得：
$\begin{aligned}&1^2 - 5×1\\=&1 - 5\\=&-4\end{aligned}$
当$a = 2018$，$b = 2017$时，$a - b=2018 - 2017 = 1$，代入上式得：
$\begin{aligned}&1^2 - 5×1\\=&1 - 5\\=&-4\end{aligned}$
9.若$m - n=-2$,则$\frac{m^{2}+n^{2}}{2}-mn$的值是
2
.答案
2（（本题为填空题，无选项，按题目要求原题输出为填空形式答案））
解析
先对表达式 $\frac{m^{2}+n^{2}}{2}-mn$ 进行化简，有：
$\frac{m^{2}+n^{2}}{2}-mn$
$=\frac{m^{2}+n^{2}-2mn}{2}$
$=\frac{(m-n)^{2}}{2}$
将 $m - n = -2$ 代入，得：
$\frac{(-2)^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2$。
$\frac{m^{2}+n^{2}}{2}-mn$
$=\frac{m^{2}+n^{2}-2mn}{2}$
$=\frac{(m-n)^{2}}{2}$
将 $m - n = -2$ 代入，得：
$\frac{(-2)^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2$。
10.对于非0的两个实数$a,b$,规定$a\BlackSquare b=a^{3}-ab$.将$m\BlackSquare 9$因式分解的结果为
$m(m + 3)(m - 3)$
.答案
$m(m + 3)(m - 3)$
解析
根据题意，$m\BlackSquare 9 = m^3 - m × 9 = m^3 - 9m$。
对$m^3 - 9m$进行因式分解，先提取公因式$m$，得到$m(m^2 - 9)$。
再利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对$m^2 - 9$进行分解，得到$m(m + 3)(m - 3)$。
对$m^3 - 9m$进行因式分解，先提取公因式$m$，得到$m(m^2 - 9)$。
再利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对$m^2 - 9$进行分解，得到$m(m + 3)(m - 3)$。
