12.(7 分)已知抛物线$y = x^{2}-(2k - 1)x + k^{2}+k - 1$与$x$轴有两个交点.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若抛物线与$x$轴两交点的横坐标$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 11$,求$k$的值.

(1)
因为抛物线$y = x^{2}-(2k - 1)x + k^{2}+k - 1$与$x$轴有两个交点，所以$\Delta=b^{2}-4ac\gt0$。
其中$a = 1$，$b=-(2k - 1)$，$c = k^{2}+k - 1$，则$\Delta=(2k - 1)^{2}-4(k^{2}+k - 1)\gt0$。
展开$\Delta$得：
$\Delta = 4k^{2}-4k + 1-4k^{2}-4k + 4\gt0$
$-8k+5\gt0$
$8k\lt5$
解得$k\lt\frac{5}{8}$。
(2)
由韦达定理可知，对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于抛物线$y = x^{2}-(2k - 1)x + k^{2}+k - 1$，对应的一元二次方程$x^{2}-(2k - 1)x + k^{2}+k - 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-(2k - 1)$，$c = k^{2}+k - 1$，所以$x_{1}+x_{2}=2k - 1$，$x_{1}x_{2}=k^{2}+k - 1$。
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=11$，所以$(2k - 1)^{2}-2(k^{2}+k - 1)=11$。
展开得：
$4k^{2}-4k + 1-2k^{2}-2k + 2 = 11$
$2k^{2}-6k-8 = 0$
$k^{2}-3k - 4 = 0$
因式分解得$(k - 4)(k + 1)=0$，则$k - 4 = 0$或$k + 1 = 0$，解得$k = 4$或$k=-1$。
又因为$k\lt\frac{5}{8}$，所以$k = 4$舍去，故$k=-1$。
综上，(1)中$k$的取值范围是$k\lt\frac{5}{8}$；(2)中$k$的值为$-1$。

13.(8 分)如图,抛物线$y = x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A( -1,0),B(3,0)$两点.
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标.
(2)设(1)中的抛物线上有一个动点$P$当点$P$在该抛物线上滑动到什么位置时,满足$S_{\bigtriangleup PAB} = 8$? 求出此时点$P$的坐标.

(1)
已知抛物线$y = x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点，将$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入抛物线方程得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0\\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
用$9 + 3b + c = 0$减去$1 - b + c = 0$得：
$(9 + 3b + c)-(1 - b + c)=0$
$9 + 3b + c - 1 + b - c = 0$
$8 + 4b = 0$
$4b=-8$
解得$b = - 2$
将$b = - 2$代入$1 - b + c = 0$得：
$1+2 + c = 0$
$c=-3$
所以抛物线解析式为$y = x^{2}-2x - 3$。
将$y = x^{2}-2x - 3$配方：
$y=x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$
所以顶点坐标为$(1,-4)$。
(2)
已知$A(-1,0)$，$B(3,0)$，则$AB=3-(-1)=4$。
设$P$点坐标为$(x,y)$，根据三角形面积公式$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}× AB×|y|$，因为$S_{\triangle PAB}=8$，$AB = 4$，所以$\frac{1}{2}×4×|y|=8$，即$|y| = 4$。
当$y = 4$时，$x^{2}-2x - 3=4$，即$x^{2}-2x - 7=0$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，其中$a = 1$，$b=-2$，$c=-7$，则$x=\frac{2\pm\sqrt{4+28}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{2\pm4\sqrt{2}}{2}=1\pm2\sqrt{2}$。
当$y=-4$时，$x^{2}-2x - 3=-4$，即$x^{2}-2x + 1=0$，$(x - 1)^{2}=0$，解得$x = 1$。
所以$P$点坐标为$(1 + 2\sqrt{2},4)$或$(1 - 2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$。
综上，答案为：
(1) 抛物线解析式为$y = x^{2}-2x - 3$，顶点坐标为$(1,-4)$；
(2) $P$点坐标为$(1 + 2\sqrt{2},4)$或$(1 - 2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$。