1. 如图，D 为△ABC 的边 AB 上任一点，DE//BC 交 AC 于点 E，连接 BE，CD 相交于点 F，则下列等式中不成立的是()

A.$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
B.$\frac{DE}{BC}=\frac{DF}{FC}$
C.$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{EC}$
D.$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{AC}$

1.C

证明：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，
A. 由△ADE∽△ABC得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，则$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，A成立；
B. 由△DEF∽△CBF得$\frac{DE}{BC}=\frac{DF}{FC}$，B成立；
C. 由△ADE∽△ABC得$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}≠\frac{AE}{EC}$，C不成立；
D. 由△ADE∽△ABC得$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，由△DEF∽△CBF得$\frac{EF}{BF}=\frac{DE}{BC}$，则$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{AC}$，D成立.
答案：C

2. (2024·滨州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是.(写出一种情况即可)

2.∠ADE=∠C(答案不唯一)

3. (2023·大庆)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片 ABCD 如图所示，点 N 在边 AD 上，现将矩形折叠，折痕为 BN，点 A 对应的点记为 M，若点 M 恰好落在边 DC 上，则图中与△NDM 一定相似的三角形是.

3.△MCB

4. (2024·盐城)如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上，过点 C 作⊙O 的切线 l，过点 A 作 AD⊥l，垂足为 D，连接 AC，BC.
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若 AC=5，CD=4，求⊙O 的半径.

4.(1)证明:连接OC,如答图.
∵l是⊙O的切线,
∴OC⊥l.
∵AD⊥l,
∴OC//AD,
∴∠CAD=∠ACO=∠CAB.
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACD.
　(2)解:
∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°,
∴AD= $\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}$=3.
∵△ABC∽△ACD,
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$,
∴$\frac{AB}{5}$=$\frac{5}{3}$,
∴AB=$\frac{25}{3}$,
∴⊙O的半径为$\frac{25}{6}$.
　　　　　　　　

5. (2023·内江)如图，在△ABC 中，D，E 为边 AB 的三等分点，点 F，G 在边 BC 上，AC//DG//EF，H 为 AF 与 DG 的交点.若 AC=12，则 DH 的长为()

A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.3

5.C

6. (2023·东营)如图，△ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在边 BC，AB 上，∠ADE=60°.若 BD=4DC，DE=2.4，则 AD 的长为()

A.1.8
B.2.4
C.3
D.3.2

6.C

证明：设 $ DC = x $，则 $ BD = 4x $，$ BC = 5x $。
∵ $ △ ABC $ 为等边三角形，
∴ $ AB = BC = AC = 5x $，$ ∠ B = ∠ C = 60° $。
∵ $ ∠ ADE = 60° $，
∴ $ ∠ ADB + ∠ CDE = 120° $。
又 $ ∠ ADB + ∠ BAD = 120° $，
∴ $ ∠ BAD = ∠ CDE $。
∵ $ ∠ B = ∠ C $，
∴ $ △ ABD ∼ △ DCE $。
∴ $ \frac{AB}{DC} = \frac{AD}{DE} $，即 $ \frac{5x}{x} = \frac{AD}{2.4} $。
解得 $ AD = 12 × 0.24 = 3 $。
答案：C