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1. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴负半轴交于点 $ A $, 与 $ y $ 轴交于点 $ C $, 顶点为 $ D $. 其中 $ A(-3,0) $, $ D(-1,-4) $.
(1) 直接写出该抛物线的解析式;
(2) 在第三象限内的抛物线上找点 $ E $, 使 $ ∠ OCE = ∠ OAD $, 求点 $ E $ 的坐标.
(1) 直接写出该抛物线的解析式;
(2) 在第三象限内的抛物线上找点 $ E $, 使 $ ∠ OCE = ∠ OAD $, 求点 $ E $ 的坐标.
答案
(1) $ y = x^2 + 2x - 3 $；(2) $ (-\frac{3}{2}, -\frac{15}{4}) $
解析
(1) 设抛物线顶点式为 $ y = a(x + 1)^2 - 4 $，将 $ A(-3,0) $ 代入得：$ 0 = a(-3 + 1)^2 - 4 $，解得 $ a = 1 $，故抛物线解析式为 $ y = (x + 1)^2 - 4 = x^2 + 2x - 3 $。
(2) 由抛物线解析式得 $ C(0,-3) $。$ A(-3,0) $，$ D(-1,-4) $，计算 $ \tan∠ OAD = \frac{4}{2} = 2 $。设 $ E(m,n) $（$ m ＜ 0, n ＜ 0 $），$ ∠ OCE = ∠ OAD $，则 $ \tan∠ OCE = 2 $。过 $ E $ 作 $ EM ⊥ y $ 轴于 $ M $，则 $ EM = -m $，$ CM = -3 - n $，$ \tan∠ OCE = \frac{EM}{CM} = \frac{-m}{-3 - n} = 2 $，即 $ -m = 2(-3 - n) $，化简得 $ m = 2n + 6 $。又 $ E $ 在抛物线上，$ n = m^2 + 2m - 3 $，联立得 $ n = (2n + 6)^2 + 2(2n + 6) - 3 $，解得 $ n = -\frac{15}{4} $（舍去 $ n = -3 $），则 $ m = 2(-\frac{15}{4}) + 6 = -\frac{3}{2} $，故 $ E(-\frac{3}{2}, -\frac{15}{4}) $。
(2) 由抛物线解析式得 $ C(0,-3) $。$ A(-3,0) $，$ D(-1,-4) $，计算 $ \tan∠ OAD = \frac{4}{2} = 2 $。设 $ E(m,n) $（$ m ＜ 0, n ＜ 0 $），$ ∠ OCE = ∠ OAD $，则 $ \tan∠ OCE = 2 $。过 $ E $ 作 $ EM ⊥ y $ 轴于 $ M $，则 $ EM = -m $，$ CM = -3 - n $，$ \tan∠ OCE = \frac{EM}{CM} = \frac{-m}{-3 - n} = 2 $，即 $ -m = 2(-3 - n) $，化简得 $ m = 2n + 6 $。又 $ E $ 在抛物线上，$ n = m^2 + 2m - 3 $，联立得 $ n = (2n + 6)^2 + 2(2n + 6) - 3 $，解得 $ n = -\frac{15}{4} $（舍去 $ n = -3 $），则 $ m = 2(-\frac{15}{4}) + 6 = -\frac{3}{2} $，故 $ E(-\frac{3}{2}, -\frac{15}{4}) $。
2. 如图, 抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} + x - 1 $ 的顶点为 $ A $, 与 $ y $ 轴的交点为 $ B $, $ C $ 为抛物线上一点, 且 $ ∠ CAB = 90^{\circ} $. 求点 $ C $ 的坐标.
答案
(10, -16)
解析
1. 求顶点$ A $坐标：抛物线$ y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1 $，对称轴$ x = -\frac{b}{2a} = 2 $，代入得$ y = 0 $，故$ A(2, 0) $。
2. 求与$ y $轴交点$ B $：令$ x = 0 $，得$ y = -1 $，故$ B(0, -1) $。
3. 设$ C(m, n) $，因$ C $在抛物线上，有$ n = -\frac{1}{4}m^2 + m - 1 $。
4. 由$ ∠ CAB = 90° $，勾股定理得$ AB^2 + AC^2 = BC^2 $。
$ AB^2 = (2 - 0)^2 + (0 + 1)^2 = 5 $
$ AC^2 = (m - 2)^2 + n^2 $
$ BC^2 = m^2 + (n + 1)^2 $
5. 代入化简得$ 5 + (m - 2)^2 + n^2 = m^2 + (n + 1)^2 $，整理得$ n = -2m + 4 $。
6. 联立$ n = -\frac{1}{4}m^2 + m - 1 $与$ n = -2m + 4 $，解得$ m^2 - 12m + 20 = 0 $，$ m = 10 $或$ m = 2 $（$ m = 2 $为点$ A $，舍去）。
7. $ m = 10 $时，$ n = -16 $，故$ C(10, -16) $。
2. 求与$ y $轴交点$ B $：令$ x = 0 $，得$ y = -1 $，故$ B(0, -1) $。
3. 设$ C(m, n) $，因$ C $在抛物线上，有$ n = -\frac{1}{4}m^2 + m - 1 $。
4. 由$ ∠ CAB = 90° $，勾股定理得$ AB^2 + AC^2 = BC^2 $。
$ AB^2 = (2 - 0)^2 + (0 + 1)^2 = 5 $
$ AC^2 = (m - 2)^2 + n^2 $
$ BC^2 = m^2 + (n + 1)^2 $
5. 代入化简得$ 5 + (m - 2)^2 + n^2 = m^2 + (n + 1)^2 $，整理得$ n = -2m + 4 $。
6. 联立$ n = -\frac{1}{4}m^2 + m - 1 $与$ n = -2m + 4 $，解得$ m^2 - 12m + 20 = 0 $，$ m = 10 $或$ m = 2 $（$ m = 2 $为点$ A $，舍去）。
7. $ m = 10 $时，$ n = -16 $，故$ C(10, -16) $。
3. 如图, 抛物线 $ y = -x^{2} + 2x + 3 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $, $ B $ 两点, 与 $ y $ 轴交于点 $ C $, $ P $ 为抛物线上一点, 且 $ △ PAC $ 是以 $ AC $ 为直角边的直角三角形, 求点 $ P $ 的坐标.
答案
$(\frac{10}{3}, -\frac{13}{9})$，$(\frac{7}{3}, \frac{20}{9})$
解析
1. 求A、B、C坐标：令$y=0$，$-x^2 + 2x + 3=0$，解得$x=-1$或$3$，则$A(-1,0)$，$B(3,0)$；令$x=0$，$y=3$，则$C(0,3)$。
2. 情况1：直角顶点为$A$（$∠ PAC=90°$）。
$k_{AC}=\frac{3-0}{0-(-1)}=3$，则$k_{PA}=-\frac{1}{3}$。
直线$PA$：$y=-\frac{1}{3}(x+1)$。
联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\\y=-x^2 + 2x + 3\end{cases}$，解得$x=-1$（舍）或$x=\frac{10}{3}$，$y=-\frac{13}{9}$，得$P(\frac{10}{3},-\frac{13}{9})$。
3. 情况2：直角顶点为$C$（$∠ PCA=90°$）。
$k_{PC}=-\frac{1}{3}$，直线$PC$：$y=-\frac{1}{3}x + 3$。
联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{3}x + 3\\y=-x^2 + 2x + 3\end{cases}$，解得$x=0$（舍）或$x=\frac{7}{3}$，$y=\frac{20}{9}$，得$P(\frac{7}{3},\frac{20}{9})$。
2. 情况1：直角顶点为$A$（$∠ PAC=90°$）。
$k_{AC}=\frac{3-0}{0-(-1)}=3$，则$k_{PA}=-\frac{1}{3}$。
直线$PA$：$y=-\frac{1}{3}(x+1)$。
联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\\y=-x^2 + 2x + 3\end{cases}$，解得$x=-1$（舍）或$x=\frac{10}{3}$，$y=-\frac{13}{9}$，得$P(\frac{10}{3},-\frac{13}{9})$。
3. 情况2：直角顶点为$C$（$∠ PCA=90°$）。
$k_{PC}=-\frac{1}{3}$，直线$PC$：$y=-\frac{1}{3}x + 3$。
联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{3}x + 3\\y=-x^2 + 2x + 3\end{cases}$，解得$x=0$（舍）或$x=\frac{7}{3}$，$y=\frac{20}{9}$，得$P(\frac{7}{3},\frac{20}{9})$。
