1. 如图，抛物线 $ y = x^{2} - 5x + 4 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点（点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧），与 $ y $ 轴交于点 $ C $，$ D $ 是 $ OC $ 的中点，连接 $ BD $。在抛物线上是否存在点 $ Q $，使 $ \tan ∠ QDB = \frac{1}{2} $？若存在，求出点 $ Q $ 的坐标；若不存在，请说明理由。

$(\frac{5+\sqrt{17}}{2},2)$，$(\frac{5-\sqrt{17}}{2},2)$，$(3,-2)$，$(\frac{2}{3},\frac{10}{9})$

1. 求交点坐标：
抛物线与x轴交于A、B：解方程$x^2 - 5x + 4 = 0$，得$x=1$或$x=4$，则$A(1,0)$，$B(4,0)$。
与y轴交于C：$x=0$时，$y=4$，则$C(0,4)$。
D是OC中点：$D(0,2)$。
2. 求直线BD方程：
设$BD:y=kx+b$，代入$B(4,0)$、$D(0,2)$，得$b=2$，$k=-\frac{1}{2}$，故$BD:y=-\frac{1}{2}x + 2$。
3. 求直线DQ斜率：
设DQ斜率为$m$，由夹角正切公式$\tanθ = \left|\frac{m - (-\frac{1}{2})}{1 + m(-\frac{1}{2})}\right| = \frac{1}{2}$，解得$m=0$或$m=-\frac{4}{3}$。
4. 求Q点坐标：
当$m=0$时，DQ方程$y=2$，联立抛物线方程$x^2 - 5x + 4 = 2$，解得$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$，故$Q(\frac{5+\sqrt{17}}{2},2)$，$(\frac{5-\sqrt{17}}{2},2)$。
当$m=-\frac{4}{3}$时，DQ方程$y=-\frac{4}{3}x + 2$，联立抛物线方程$x^2 - 5x + 4 = -\frac{4}{3}x + 2$，解得$x=3$或$x=\frac{2}{3}$，故$Q(3,-2)$，$(\frac{2}{3},\frac{10}{9})$。

2. 如图，抛物线 $ y = x^{2} + 4x + 3 $ 交 $ x $ 轴于 $ A $，$ B $ 两点（点 $ A $ 在点 $ B $ 左边），交 $ y $ 轴于点 $ C $，$ P $ 为第二象限内抛物线上一点，且 $ ∠ OCP = 3 ∠ OCB $。
(1) 求 $ \tan ∠ PCB $ 的值；
(2) 求点 $ P $ 的横坐标 $ x_{P} $ 的值。

(1) $ \frac{3}{4} $；(2) $ -\frac{43}{13} $

(1) 抛物线 $ y = x^2 + 4x + 3 $ 与 x 轴交于 $ A(-3,0) $、$ B(-1,0) $，与 y 轴交于 $ C(0,3) $。
在 $ △ OCB $ 中，$ OC=3 $，$ OB=1 $，$ \tan ∠ OCB = \frac{OB}{OC} = \frac{1}{3} $。设 $ ∠ OCB = α $，则 $ \tan α = \frac{1}{3} $。
由 $ ∠ OCP = 3α $，得 $ ∠ PCB = ∠ OCP - ∠ OCB = 2α $。
利用二倍角公式：$ \tan 2α = \frac{2\tan α}{1 - \tan^2 α} = \frac{2 × \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{3}{4} $，即 $ \tan ∠ PCB = \frac{3}{4} $。
(2) 设 $ P(m, m^2 + 4m + 3) $（$ m ＜ 0 $，第二象限），$ ∠ OCP = 3α $，$ \tan 3α = \frac{3\tan α - \tan^3 α}{1 - 3\tan^2 α} = \frac{13}{9} $。
向量 $ \overrightarrow{CP} = (m, m^2 + 4m) $，$ \overrightarrow{CO} = (0, -3) $。由 $ \tan ∠ OCP = \frac{13}{9} $，结合坐标关系得 $ \frac{1}{m + 4} = \frac{13}{9} $，解得 $ m = -\frac{43}{13} $。