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若两个相似三角形的面积之比是 $25:16$，则它们的对应高之比是
【点睛】相似三角形的面积之比等于相似比的平方，不等于相似比.
5:4
.【点睛】相似三角形的面积之比等于相似比的平方，不等于相似比.
答案
5:4
解析
因为两个相似三角形的面积之比是25:16，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得相似比为$\sqrt{25}:\sqrt{16}=5:4$。又因为相似三角形对应高的比等于相似比，所以对应高之比是5:4。
1. 已知 $△ ABC∽△ A'B'C'$，$BD$ 和 $B'D'$ 分别是两个三角形对应角的平分线，$AC:A'C' = 2:3$，若 $BD = 4\mathrm{cm}$，则 $B'D'$ 的长是(
A.$3\mathrm{cm}$
B.$4\mathrm{cm}$
C.$6\mathrm{cm}$
D.$9\mathrm{cm}$
C
)A.$3\mathrm{cm}$
B.$4\mathrm{cm}$
C.$6\mathrm{cm}$
D.$9\mathrm{cm}$
答案
C
解析
因为 $△ABC ∼ △A'B'C'$，且 $AC:A'C' = 2:3$，
根据相似三角形的性质，对应边的比例相等，对应角平分线的比例也等于相似比。
设 $B'D' = x$，则有：
$\frac{BD}{B'D'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{2}{3}$，
代入已知的 $BD = 4\mathrm{cm}$，得：
$\frac{4}{x} = \frac{2}{3}$，
解这个方程，得到：
$x = 6\mathrm{cm}$。
根据相似三角形的性质，对应边的比例相等，对应角平分线的比例也等于相似比。
设 $B'D' = x$，则有：
$\frac{BD}{B'D'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{2}{3}$，
代入已知的 $BD = 4\mathrm{cm}$，得：
$\frac{4}{x} = \frac{2}{3}$，
解这个方程，得到：
$x = 6\mathrm{cm}$。
2. 如图，已知 $△ ADE∽△ ABC$，相似比为 $2:5$，$AG⊥ BC$ 于点 $G$，交 $DE$ 于点 $F$，则 $AF:AG =$
2:5
.答案
2:5
解析
因为△ADE∽△ABC，相似比为2:5，AG是△ABC的高，AF是△ADE的高，根据相似三角形对应高的比等于相似比，所以AF:AG=2:5。
3. 如图，$AB$ 与 $CD$ 交于点 $O$，且 $AC// BD$.若 $\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD}=\frac{1}{2}$，则 $\frac{AC}{BD}=$
$\frac{1}{2}$
.答案
$\frac{1}{2}$
解析
因为 $AC // BD$，所以 $△ AOC ∼ △ BOD$（两直线平行，内错角相等，两角对应相等的两个三角形相似）。设 $△ AOC$ 与 $△ BOD$ 的相似比为 $k$，则 $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{AC}{BD} = k$。所以 $OA = k · OB$，$OC = k · OD$，$AC = k · BD$。
已知 $\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，将 $OA$、$OC$、$AC$ 代入可得：
$\frac{k · OB + k · OD + k · BD}{OB + OD + BD} = k · \frac{OB + OD + BD}{OB + OD + BD} = k = \frac{1}{2}$
因此，$\frac{AC}{BD} = k = \frac{1}{2}$。
已知 $\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，将 $OA$、$OC$、$AC$ 代入可得：
$\frac{k · OB + k · OD + k · BD}{OB + OD + BD} = k · \frac{OB + OD + BD}{OB + OD + BD} = k = \frac{1}{2}$
因此，$\frac{AC}{BD} = k = \frac{1}{2}$。
4. 如图，$△ ABC∽△ A'B'C'$，$AD$，$BE$ 分别是 $△ ABC$ 的高和中线，$A'D'$，$B'E'$ 分别是 $△ A'B'C'$ 的高和中线，且 $AD = 4$，$A'D' = 3$，$BE = 6$，则 $AB:A'B'=$
4:3
，$B'E'=$9/2
.答案
4:3；9/2
解析
因为△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分别是对应高，所以相似比等于对应高的比，即AB:A'B' = AD:A'D' = 4:3。又因为BE、B'E'分别是对应中线，相似三角形对应中线的比等于相似比，所以BE:B'E' = 4:3，已知BE=6，设B'E'=x，则6:x=4:3，解得x=4.5，即B'E'=9/2。
5. (2025 广州中考)如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别在 $AB$，$AC$ 上，$DE// BC$.若 $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，则 $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$
$\frac{1}{9}$
.答案
$\frac{1}{9}$
解析
因为 $ DE // BC $，所以 $ △ ADE ∼ △ ABC $（相似三角形的判定）。根据相似三角形的性质，有：
$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}$，
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}} = ( \frac{DE}{BC} )^2 = ( \frac{1}{3} )^2 = \frac{1}{9}$。
$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}$，
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}} = ( \frac{DE}{BC} )^2 = ( \frac{1}{3} )^2 = \frac{1}{9}$。
6. 将一副三角板如图叠放，$△ ABC$ 是等腰直角三角形，$△ BCD$ 是有一个角为 $30^{\circ}$ 的直角三角形，则 $△ AOB$ 与 $△ DCO$ 的面积之比等于
3
.答案
3
解析
设BC=1，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，则AB=BC=1。△BCD为含30°角的直角三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°，则CD=BC·tan30°=1×(√3/3)=√3/3。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB//CD，故△AOB∽△COD，相似比为AB/CD=1/(√3/3)=√3。
面积比为相似比的平方，即(√3)²=3。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB//CD，故△AOB∽△COD，相似比为AB/CD=1/(√3/3)=√3。
面积比为相似比的平方，即(√3)²=3。
7. 如图，在 $△ ABC$ 中，$D$ 是 $AB$ 边上的一点，若 $∠ ACD=∠ B$，$\frac{CD}{BC}=\frac{2}{3}$，$△ ADC$ 的面积为 $4$，则 $△ BCD$ 的面积为
5
.答案
5
解析
由题意，$ ∠ ACD = ∠ B $，且 $ ∠ A = ∠ A $，所以 $ △ ACD ∼ △ ABC $。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即：
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}} = ( \frac{CD}{BC} )^2 = ( \frac{2}{3} )^2 = \frac{4}{9}$。
已知 $ △ ACD $ 的面积为 4，所以：
$S_{△ ABC} = \frac{4 × 9}{4} = 9$。
那么$ △ BCD $ 的面积为：
$S_{△ BCD} = S_{△ ABC} - S_{△ ACD} = 9 - 4 = 5$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即：
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}} = ( \frac{CD}{BC} )^2 = ( \frac{2}{3} )^2 = \frac{4}{9}$。
已知 $ △ ACD $ 的面积为 4，所以：
$S_{△ ABC} = \frac{4 × 9}{4} = 9$。
那么$ △ BCD $ 的面积为：
$S_{△ BCD} = S_{△ ABC} - S_{△ ACD} = 9 - 4 = 5$。
8. (2025 威海中考)如图，$△ ABC$ 的中线 $BE$，$CD$ 交于点 $F$，连接 $DE$.下列结论错误的是(
A.$S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\frac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$
B
)A.$S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\frac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$
答案
B
解析
∵BE，CD是△ABC的中线，∴D，E分别为AB，AC中点，DE是△ABC中位线，∴DE//BC，DE=1/2BC。
选项A：∵DE//BC，∴△DEF∽△BCF，相似比1:2，面积比1:4，故S△DEF=1/4S△BCF，A正确。
选项B：△ADE∽△ABC，相似比1:2，面积比1:4，∴S△ADE=1/4S△ABC，四边形BCED面积=S△ABC - S△ADE=3/4S△ABC，1/2S四边形BCED=3/8S△ABC≠1/4S△ABC，B错误。
选项C：F为重心，DF:FC=1:2，△DBF与△BCF同高，面积比=DF:FC=1:2，故S△DBF=1/2S△BCF，C正确。
选项D：CD，BE为中线，S△ADC=1/2S△ABC，S△AEB=1/2S△ABC，故S△ADC=S△AEB，D正确。
选项A：∵DE//BC，∴△DEF∽△BCF，相似比1:2，面积比1:4，故S△DEF=1/4S△BCF，A正确。
选项B：△ADE∽△ABC，相似比1:2，面积比1:4，∴S△ADE=1/4S△ABC，四边形BCED面积=S△ABC - S△ADE=3/4S△ABC，1/2S四边形BCED=3/8S△ABC≠1/4S△ABC，B错误。
选项C：F为重心，DF:FC=1:2，△DBF与△BCF同高，面积比=DF:FC=1:2，故S△DBF=1/2S△BCF，C正确。
选项D：CD，BE为中线，S△ADC=1/2S△ABC，S△AEB=1/2S△ABC，故S△ADC=S△AEB，D正确。
