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3 (2025苏州昆山月考)如图，一次函数$y=k_2x+b$的图象与y轴交于点B，与正比例函数$y=k_1x$的图象相交于点A(3,4)，且$OA=OB$.
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且$△ POA$是等腰三角形，请直接写出点P的坐标.
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且$△ POA$是等腰三角形，请直接写出点P的坐标.
答案
解:(1) 因为正比例函数$y=k_1x$的图象经过点$A(3,4)$,
所以$3k_1=4$,
所以$k_1=\frac{4}{3}$,
所以正比例函数的表达式为$y=\frac{4}{3}x$.
如图,过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$.
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中,$OC=4,AC=3$,
所以$OA=\sqrt{OC^2+AC^2}=5$,
所以$OB=OA=5$,
所以点$B$的坐标为$(0,-5)$,
则一次函数的表达式为$y=k_2x-5$,
将点$A$的坐标代入上式,得$4=3k_2-5$,
解得$k_2=3$,
所以一次函数的表达式为$y=3x-5$.
(2) 点$P$的坐标为$(-5,0)$或$(5,0)$或$(6,0)$或$(\frac{25}{6},0)$.
解析
【分析】
（1）求解两个函数表达式：①正比例函数已知过点A(3,4)，直接将点坐标代入解析式即可求出系数$k_1$，得到正比例函数表达式；②先利用勾股定理计算OA的长度，结合$OA=OB$、图像中B在y轴负半轴的特征确定B点坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法求解系数即可。
（2）求x轴上满足$△ POA$为等腰三角形的P点坐标，需分三类讨论避免漏解：①OA为腰，O为顶角顶点（$OP=OA$）；②OA为腰，A为顶角顶点（$AP=OA$）；③OA为底边（$OP=AP$），设P点坐标为$(x,0)$，结合勾股定理计算x的取值即可。
【解析】
(1) 正比例函数$y=k_1x$的图象经过点$A(3,4)$，将点A代入解析式得：
$3k_1=4$，解得$k_1=\frac{4}{3}$，
因此正比例函数的表达式为$y=\frac{4}{3}x$。
过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$，在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$OC=3$，$AC=4$，
由勾股定理得$OA=\sqrt{OC^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由$OA=OB$得$OB=5$，结合图象可知B在y轴负半轴，因此B点坐标为$(0,-5)$。
将$B(0,-5)$代入一次函数$y=k_2x+b$得$b=-5$，即一次函数解析式为$y=k_2x-5$，
再将$A(3,4)$代入上式得：$4=3k_2-5$，解得$k_2=3$，
因此一次函数的表达式为$y=3x-5$。
(2) 设点P坐标为$(x,0)$，分三种情况讨论：
① 当$OP=OA=5$时，$|x|=5$，解得$x=\pm5$，即$P(-5,0)$或$P(5,0)$；
② 当$AP=OA=5$时，由勾股定理得$\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2}=5$，解得$x=6$（$x=0$为原点，不符合三角形定义舍去），即$P(6,0)$；
③ 当$OP=AP$时，$|x|=\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2}$，解得$x=\frac{25}{6}$，即$P(\frac{25}{6},0)$。
综上可得所有符合条件的P点坐标。
【答案】
(1) 正比例函数表达式为$y=\frac{4}{3}x$，一次函数表达式为$y=3x-5$；
(2) 点$P$的坐标为$(-5,0)$或$(5,0)$或$(6,0)$或$(\frac{25}{6},0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题结合一次函数与几何知识考察综合解题能力，第一问侧重基础，考察待定系数法和勾股定理的基础应用；第二问需要分类讨论等腰三角形的三种情况，解题时注意不要漏解，能够锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
（1）求解两个函数表达式：①正比例函数已知过点A(3,4)，直接将点坐标代入解析式即可求出系数$k_1$，得到正比例函数表达式；②先利用勾股定理计算OA的长度，结合$OA=OB$、图像中B在y轴负半轴的特征确定B点坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法求解系数即可。
（2）求x轴上满足$△ POA$为等腰三角形的P点坐标，需分三类讨论避免漏解：①OA为腰，O为顶角顶点（$OP=OA$）；②OA为腰，A为顶角顶点（$AP=OA$）；③OA为底边（$OP=AP$），设P点坐标为$(x,0)$，结合勾股定理计算x的取值即可。
【解析】
(1) 正比例函数$y=k_1x$的图象经过点$A(3,4)$，将点A代入解析式得：
$3k_1=4$，解得$k_1=\frac{4}{3}$，
因此正比例函数的表达式为$y=\frac{4}{3}x$。
过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$，在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$OC=3$，$AC=4$，
由勾股定理得$OA=\sqrt{OC^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由$OA=OB$得$OB=5$，结合图象可知B在y轴负半轴，因此B点坐标为$(0,-5)$。
将$B(0,-5)$代入一次函数$y=k_2x+b$得$b=-5$，即一次函数解析式为$y=k_2x-5$，
再将$A(3,4)$代入上式得：$4=3k_2-5$，解得$k_2=3$，
因此一次函数的表达式为$y=3x-5$。
(2) 设点P坐标为$(x,0)$，分三种情况讨论：
① 当$OP=OA=5$时，$|x|=5$，解得$x=\pm5$，即$P(-5,0)$或$P(5,0)$；
② 当$AP=OA=5$时，由勾股定理得$\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2}=5$，解得$x=6$（$x=0$为原点，不符合三角形定义舍去），即$P(6,0)$；
③ 当$OP=AP$时，$|x|=\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2}$，解得$x=\frac{25}{6}$，即$P(\frac{25}{6},0)$。
综上可得所有符合条件的P点坐标。
【答案】
(1) 正比例函数表达式为$y=\frac{4}{3}x$，一次函数表达式为$y=3x-5$；
(2) 点$P$的坐标为$(-5,0)$或$(5,0)$或$(6,0)$或$(\frac{25}{6},0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题结合一次函数与几何知识考察综合解题能力，第一问侧重基础，考察待定系数法和勾股定理的基础应用；第二问需要分类讨论等腰三角形的三种情况，解题时注意不要漏解，能够锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
4（2025无锡宜兴期末）如图1，一次函数$y=-\frac{3}{4}x+6$的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与直线$y=\frac{5}{4}x$相交于点C，过点B作x轴的平行线l，P是直线l上的一个动点。
（1）若$S_{△ AOC}=S_{△ BCP}$，求点P的坐标；
（2）如图2，若E是直线$y=\frac{5}{4}x$上的一个动点，当$△ APE$是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标。
（1）若$S_{△ AOC}=S_{△ BCP}$，求点P的坐标；
（2）如图2，若E是直线$y=\frac{5}{4}x$上的一个动点，当$△ APE$是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标。
答案
解:(1) 因为一次函数$y=-\frac{3}{4}x+6$的图象分别与$x$轴,$y$轴交于$A,B$两点,与直线$y=\frac{5}{4}x$相交于点$C$,
当$x=0$时,$y=6$;
当$y=0$时,$x=8$,
所以点$A$的坐标为$(8,0)$,点$B$的坐标为$(0,6)$.
联立$\begin{cases} y=\frac{5}{4}x,\\y=-\frac{3}{4}x+6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=3,\\y=\frac{15}{4}, \end{cases}$
所以点$C$的坐标为$(3,\frac{15}{4})$,
所以$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×8×\frac{15}{4}=15$.
因为$S_{△ AOC}=S_{△ BCP}$,$P$是直线$l$上的一个动点,
所以$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}× BP×(y_P-y_C)=\frac{1}{2}× BP×(6-\frac{15}{4})=15$,
解得$BP=\frac{40}{3}$,
所以点$P$的坐标为$(\frac{40}{3},6)$或$(-\frac{40}{3},6)$.
(2) 设点$E(m,\frac{5}{4}m)$,$P(n,6)$,
如图1,当$∠ EPA=90°$,点$P$在$y$轴右侧且在点$E$的左侧时,过点$P$作$PN⊥ OA$于点$N$,过点$E$作$EM⊥ PN$交$NP$的延长线于点$M$.
因为$∠ MEP+∠ MPE=90°$,$∠ MPE+∠ NPA=90°$,
所以$∠ MEP=∠ NPA$.
又$AP=PE$,
所以$△ EMP≌△ PNA$,
所以$ME=PN=6$,$MP=AN$,
所以$\begin{cases} m-n=6,\\\frac{5m}{4}-6=8-n, \end{cases}$ 解得$m=\frac{80}{9}$,
所以点$E$的坐标为$(\frac{80}{9},\frac{100}{9})$;
如图2,当$∠ EPA=90°$,点$P$在点$E$的右侧时,
同理可得$\begin{cases} n-m=6,\\\frac{5m}{4}-6=n-8, \end{cases}$ 解得$m=16$,
所以点$E$的坐标为$(16,20)$;
如图3,当$∠ EAP=90°$,点$P$在$y$轴左侧时,
同理可得$\begin{cases} m-8=6,\\\frac{5m}{4}=8-n, \end{cases}$ 解得$m=14$,
所以点$E$的坐标为$(14,\frac{35}{2})$;
如图4,当$∠ EAP=90°$时,
同理可得$\begin{cases} 8-m=6,\\\frac{5m}{4}=n-8, \end{cases}$ 解得$m=2$,
所以点$E$的坐标为$(2,\frac{5}{2})$.
综上,点$E$的坐标为$(\frac{80}{9},\frac{100}{9})$或$(16,20)$或$(14,\frac{35}{2})$或$(2,\frac{5}{2})$.
解析
【分析】
（1）求解第一问时，首先需要求出一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再联立两条直线的解析式求出交点C的坐标，先计算出$△ AOC$的面积；再结合P在平行于x轴的直线$l$上的特点，可知$△ BCP$的高为B、C两点的纵坐标差，底为BP的长度，根据面积相等列方程求出BP的长度，注意P可在B点左右两侧，即可得到P的坐标。
（2）第二问中$△ APE$是以AP为直角边的等腰直角三角形，需分两类讨论：①直角顶点为P（$∠ EPA=90°$），②直角顶点为A（$∠ EAP=90°$），每类情况再结合点的位置不同，通过作垂线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质列方程，结合E在直线$y=\frac{5}{4}x$上的条件，即可求出E的坐标，注意分类时不要漏解。
【解析】
(1) 因为一次函数$y=-\frac{3}{4}x+6$的图象分别与$x$轴,$y$轴交于$A,B$两点,与直线$y=\frac{5}{4}x$相交于点$C$,
当$x=0$时,$y=6$;
当$y=0$时,$x=8$,
所以点$A$的坐标为$(8,0)$,点$B$的坐标为$(0,6)$.
联立$\begin{cases} y=\frac{5}{4}x,\\y=-\frac{3}{4}x+6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=3,\\y=\frac{15}{4}, \end{cases}$
所以点$C$的坐标为$(3,\frac{15}{4})$,
所以$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×8×\frac{15}{4}=15$.
因为$S_{△ AOC}=S_{△ BCP}$,$P$是直线$l$上的一个动点,
所以$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}× BP×(y_P-y_C)=\frac{1}{2}× BP×(6-\frac{15}{4})=15$,
解得$BP=\frac{40}{3}$,
所以点$P$的坐标为$(\frac{40}{3},6)$或$(-\frac{40}{3},6)$.
(2) 设点$E(m,\frac{5}{4}m)$,$P(n,6)$,
如图1,当$∠ EPA=90°$,点$P$在$y$轴右侧且在点$E$的左侧时,过点$P$作$PN⊥ OA$于点$N$,过点$E$作$EM⊥ PN$交$NP$的延长线于点$M$.
因为$∠ MEP+∠ MPE=90°$,$∠ MPE+∠ NPA=90°$,
所以$∠ MEP=∠ NPA$.
又$AP=PE$,
所以$△ EMP≌△ PNA$,
所以$ME=PN=6$,$MP=AN$,
所以$\begin{cases} m-n=6,\\\frac{5m}{4}-6=8-n, \end{cases}$ 解得$m=\frac{80}{9}$,
所以点$E$的坐标为$(\frac{80}{9},\frac{100}{9})$;
如图2,当$∠ EPA=90°$,点$P$在点$E$的右侧时,
同理可得$\begin{cases} n-m=6,\\\frac{5m}{4}-6=n-8, \end{cases}$ 解得$m=16$,
所以点$E$的坐标为$(16,20)$;
如图3,当$∠ EAP=90°$,点$P$在$y$轴左侧时,
同理可得$\begin{cases} m-8=6,\\\frac{5m}{4}=8-n, \end{cases}$ 解得$m=14$,
所以点$E$的坐标为$(14,\frac{35}{2})$;
如图4,当$∠ EAP=90°$时,
同理可得$\begin{cases} 8-m=6,\\\frac{5m}{4}=n-8, \end{cases}$ 解得$m=2$,
所以点$E$的坐标为$(2,\frac{5}{2})$.
综上,点$E$的坐标为$(\frac{80}{9},\frac{100}{9})$或$(16,20)$或$(14,\frac{35}{2})$或$(2,\frac{5}{2})$.
【答案】
（1）点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{40}{3},6)}$或$\boldsymbol{(-\frac{40}{3},6)}$；
（2）点$E$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{80}{9},\frac{100}{9})}$或$\boldsymbol{(16,20)}$或$\boldsymbol{(14,\frac{35}{2})}$或$\boldsymbol{(2,\frac{5}{2})}$。
【知识点】
一次函数图象与性质，三角形面积计算，全等三角形判定与性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，既考查了一次函数交点求解、三角形面积计算等基础知识点，又结合等腰直角三角形的性质考查了分类讨论思想和几何构造能力，第二问分类时要全面考虑直角顶点的位置和点的相对位置，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.4
（1）求解第一问时，首先需要求出一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再联立两条直线的解析式求出交点C的坐标，先计算出$△ AOC$的面积；再结合P在平行于x轴的直线$l$上的特点，可知$△ BCP$的高为B、C两点的纵坐标差，底为BP的长度，根据面积相等列方程求出BP的长度，注意P可在B点左右两侧，即可得到P的坐标。
（2）第二问中$△ APE$是以AP为直角边的等腰直角三角形，需分两类讨论：①直角顶点为P（$∠ EPA=90°$），②直角顶点为A（$∠ EAP=90°$），每类情况再结合点的位置不同，通过作垂线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质列方程，结合E在直线$y=\frac{5}{4}x$上的条件，即可求出E的坐标，注意分类时不要漏解。
【解析】
(1) 因为一次函数$y=-\frac{3}{4}x+6$的图象分别与$x$轴,$y$轴交于$A,B$两点,与直线$y=\frac{5}{4}x$相交于点$C$,
当$x=0$时,$y=6$;
当$y=0$时,$x=8$,
所以点$A$的坐标为$(8,0)$,点$B$的坐标为$(0,6)$.
联立$\begin{cases} y=\frac{5}{4}x,\\y=-\frac{3}{4}x+6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=3,\\y=\frac{15}{4}, \end{cases}$
所以点$C$的坐标为$(3,\frac{15}{4})$,
所以$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×8×\frac{15}{4}=15$.
因为$S_{△ AOC}=S_{△ BCP}$,$P$是直线$l$上的一个动点,
所以$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}× BP×(y_P-y_C)=\frac{1}{2}× BP×(6-\frac{15}{4})=15$,
解得$BP=\frac{40}{3}$,
所以点$P$的坐标为$(\frac{40}{3},6)$或$(-\frac{40}{3},6)$.
(2) 设点$E(m,\frac{5}{4}m)$,$P(n,6)$,
如图1,当$∠ EPA=90°$,点$P$在$y$轴右侧且在点$E$的左侧时,过点$P$作$PN⊥ OA$于点$N$,过点$E$作$EM⊥ PN$交$NP$的延长线于点$M$.
因为$∠ MEP+∠ MPE=90°$,$∠ MPE+∠ NPA=90°$,
所以$∠ MEP=∠ NPA$.
又$AP=PE$,
所以$△ EMP≌△ PNA$,
所以$ME=PN=6$,$MP=AN$,
所以$\begin{cases} m-n=6,\\\frac{5m}{4}-6=8-n, \end{cases}$ 解得$m=\frac{80}{9}$,
所以点$E$的坐标为$(\frac{80}{9},\frac{100}{9})$;
如图2,当$∠ EPA=90°$,点$P$在点$E$的右侧时,
同理可得$\begin{cases} n-m=6,\\\frac{5m}{4}-6=n-8, \end{cases}$ 解得$m=16$,
所以点$E$的坐标为$(16,20)$;
如图3,当$∠ EAP=90°$,点$P$在$y$轴左侧时,
同理可得$\begin{cases} m-8=6,\\\frac{5m}{4}=8-n, \end{cases}$ 解得$m=14$,
所以点$E$的坐标为$(14,\frac{35}{2})$;
如图4,当$∠ EAP=90°$时,
同理可得$\begin{cases} 8-m=6,\\\frac{5m}{4}=n-8, \end{cases}$ 解得$m=2$,
所以点$E$的坐标为$(2,\frac{5}{2})$.
综上,点$E$的坐标为$(\frac{80}{9},\frac{100}{9})$或$(16,20)$或$(14,\frac{35}{2})$或$(2,\frac{5}{2})$.
【答案】
（1）点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{40}{3},6)}$或$\boldsymbol{(-\frac{40}{3},6)}$；
（2）点$E$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{80}{9},\frac{100}{9})}$或$\boldsymbol{(16,20)}$或$\boldsymbol{(14,\frac{35}{2})}$或$\boldsymbol{(2,\frac{5}{2})}$。
【知识点】
一次函数图象与性质，三角形面积计算，全等三角形判定与性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，既考查了一次函数交点求解、三角形面积计算等基础知识点，又结合等腰直角三角形的性质考查了分类讨论思想和几何构造能力，第二问分类时要全面考虑直角顶点的位置和点的相对位置，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.4
