9. 已知P是半径为4的$\odot O$上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段OQ的长度a的取值范围为$\underline{\hspace{3cm}}$.

9.$2≤ a≤ 6$

10.(2025·盐城一模)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=3$，$AC=4$，$D$为$AB$的中点.以$A$为圆心，$r$为半径作$\odot A$，若$B,C,D$三点中只有一点在$\odot A$内，则$\odot A$的半径$r$的取值范围是$\underline{\hspace{3cm}}$.

10.$2.5＜r≤ 4$

11.在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为$(5.5,4)$，$\odot A$的半径为2.过点A作直线$l$平行于$x$轴，点P在直线$l$上运动.当点P在$\odot A$上时，点P的坐标为________.

11.$(3.5,4)$或$(7.5,4)$

12.(2025·泰州模拟)如图,在平面直角坐标系中,点 A 在 y 轴上,OA=8,点 B 在 x 轴上,OB=6. M 是平面内的一点,AM=6. 将线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转一周,连接 BM. 取 BM 的中点 N,连接 ON,则线段 ON长的最大值为.

12.8

13. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$为钝角,$AE⊥ BC,AF⊥ CD$.
(1)求证:$A,E,C,F$四点在同一个圆上;
(2)设线段$BD$与(1)中的圆交于点$M,N$,求证:$BM=DN$.

13.证明:(1)如答图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 EO,FO.
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore O$为 AC 的中点.
$\because AE⊥ BC,AF⊥ CD,\therefore ∠ AEC=∠ AFC=90°$,
$\therefore AO=EO=CO=FO=\frac{1}{2}AC$,
$\therefore A,E,C,F$四点在以点 O 为圆心,$\frac{1}{2}AC$的长为半径的同一个圆上.

(2)由(1)可知,点 O 为圆心,如答图,当$BM＜BO$时,
$\because OM=ON,OB=OD$,
$\therefore OB-OM=OD-ON,\therefore BM=DN$.
当$BM＞BO$时,$\because OM=ON,OB=OD$,
$\therefore OB+OM=ON+OD,\therefore BM=DN$.

14. 如图,矩形纸片ABCD的一边BC过圆心O,若AB=4 cm,BE=3 cm,AF=5 cm,求$\odot O$的半径.

14.解:如答图,过点 F 作$FH⊥ BC$于点 H,连接 OF,则四边形 ABHF 是矩形,$AF=BH=5\ \mathrm{cm},AB=FH=4\ \mathrm{cm}$.
$\because BE=3\ \mathrm{cm},\therefore EH=2\ \mathrm{cm}$.
设$\odot O$的半径为$x\ \mathrm{cm}$,则$OF=x\ \mathrm{cm},OH=(x-2)\ \mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ OFH$中,由勾股定理,得
$(x-2)^2+4^2=x^2$,解得$x=5$,故$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$.