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9. (2024秋·广东期中)如图,将点$P(-1,2)$关于第一、三象限的角平分线$l$对称,得到点$P'$,则点$P'$的坐标为 (
A.$(2,1)$
B.$(2,-1)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,-2)$
B
)A.$(2,1)$
B.$(2,-1)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,-2)$
答案
B
10.（2025春·如皋市阶段考）如图，点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫作“垂距点”，例如：如图中的点P(1,3)是“垂距点”。下列选项是“垂距点”是 （
A.$(-1,5)$
B.$(2,-2)$
C.$(-2,6)$
D.$(1,-5)$
B
）A.$(-1,5)$
B.$(2,-2)$
C.$(-2,6)$
D.$(1,-5)$
答案
B
11. (2024秋·大丰区阶段考)已知点$P(2a-3,a+6)$，解答下列各题.
(1) 点$P$在$x$轴上，求出点$P$的坐标；
(2) 点$Q$的坐标为$(3,3)$，直线$PQ// y$轴，求出点$P$的坐标；
(3) 若点$P$在第二象限，且它到$x$轴、$y$轴的距离相等，求$a^{2025}+2024$的值.
(1) 点$P$在$x$轴上，求出点$P$的坐标；
(2) 点$Q$的坐标为$(3,3)$，直线$PQ// y$轴，求出点$P$的坐标；
(3) 若点$P$在第二象限，且它到$x$轴、$y$轴的距离相等，求$a^{2025}+2024$的值.
答案
(1) $\because$ 点$P(2a-3,a+6)$在$x$轴上,$\therefore a+6=0$,解得:$a=-6$,$\therefore 2a-3=2×(-6)-3=-15$,$\therefore$ 点$P$的坐标$(-15,0)$;
(2) $\because$ 点$Q$的坐标为$(3,3)$,直线$PQ// y$轴,$\therefore 2a-3=3$,解得:$a=3$,$\therefore a+6=3+6=9$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(3,9)$;
(3) $\because$ 点$P$在第二象限,且它到$x$轴、$y$轴的距离相等,$\therefore 3-2a=a+6$,解得:$a=-1$,$\therefore a^{2025}+2024=(-1)^{2025}+2024=-1+2024=2023$.
(2) $\because$ 点$Q$的坐标为$(3,3)$,直线$PQ// y$轴,$\therefore 2a-3=3$,解得:$a=3$,$\therefore a+6=3+6=9$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(3,9)$;
(3) $\because$ 点$P$在第二象限,且它到$x$轴、$y$轴的距离相等,$\therefore 3-2a=a+6$,解得:$a=-1$,$\therefore a^{2025}+2024=(-1)^{2025}+2024=-1+2024=2023$.
12. (2024春·崇川区阶段考)定义;在平面直角坐标系$xOy$中,将$P(x,y)$经过变换后得到$P'(x',y')$,其中$x'=kx+b$,$y'=by+k$($k,b$为常数且$k≠b$),我们把这种变换称为“G变换”,记作为$G(x,y)=(x',y')$.例如:当$k=1,b=2$时,$G(2,3)=(4,7)$.
(1) 当$k=2,b=-1$时,$G(-2,3)=$
若$G(3,1)=(-3,1)$,则$k^b=$
(2) 点$M(x,y)$是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点,点$M(x,y)$经过“G变换”得到$M'(x',y')$,若点$M$与$M'$重合,请求出点$M$的坐标;
(3) 已知点$A(2,1)$,$B(m-\dfrac{5}{2},t)$,$C(m+\dfrac{1}{2},m+\dfrac{1}{2}n)$经过“G变换”的对应点分别是$D(5,4)$,$E$,$F$.若$BE// x$轴,且点$F$落在$x$轴上,求三角形$CEF$的面积.
(1) 当$k=2,b=-1$时,$G(-2,3)=$
(-5,-1)
;若$G(3,1)=(-3,1)$,则$k^b=$
-8
;(2) 点$M(x,y)$是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点,点$M(x,y)$经过“G变换”得到$M'(x',y')$,若点$M$与$M'$重合,请求出点$M$的坐标;
(3) 已知点$A(2,1)$,$B(m-\dfrac{5}{2},t)$,$C(m+\dfrac{1}{2},m+\dfrac{1}{2}n)$经过“G变换”的对应点分别是$D(5,4)$,$E$,$F$.若$BE// x$轴,且点$F$落在$x$轴上,求三角形$CEF$的面积.
答案
(1) 当$k=2,b=-1$时,点$G(-2,3)=(-2×2-1,3×(-1)+2)=(-5,-1)$,若$G(3,1)=(-3,1)$,则$\begin{cases}3k+b=-3,\\b+k=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-2,\\b=3,\end{cases}$ $\therefore k^b=(-2)^3=-8$. 故答案为:$(-5,-1)$;$-8$;
(2) 由题意得点$M(x,y)$变换为$M'(kx+b,by+k)$,$\because$ 点$M(x,y)$是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点,$\therefore x=y$,$\because$ 点$M$与$M'$重合,$\therefore kx+b=bx+k$,即$(k-b)x=k-b$,$\because k≠ b$,$\therefore x=1$,$\therefore$ 点$M$的坐标为$(1,1)$;
(3) 由题意得: $\begin{cases}2k+b=5,\\b+k=4,\end{cases}$ 解得: $\begin{cases}k=1,\\b=3,\end{cases}$
$\because B(m-\dfrac{5}{2},t),C(m+\dfrac{1}{2},m+\dfrac{1}{2}n)$经过“G变换”的对应点分别是$E,F$,$\therefore E(m+\dfrac{1}{2},3t+1)$,$F(m+\dfrac{7}{2},3m+\dfrac{3}{2}n+1)$,$\because BE// x$轴,且点$F$落在$x$轴上,$\therefore \begin{cases}t=3t+1,\\3m+\dfrac{3}{2}n+1=0,\end{cases}$ $\therefore t=-\dfrac{1}{2}$,$3m+\dfrac{3}{2}n=-1$,$\therefore C(m+\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3})$,$E(m+\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2})$,$F(m+\dfrac{7}{2},0)$,$\therefore$ 三角形$CEF$的面积为: $\dfrac{1}{2}×[-\dfrac{1}{3}-(-\dfrac{1}{2})]×[(m+\dfrac{7}{2})-(m+\dfrac{1}{2})]=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{6}×3=\dfrac{1}{4}$,$\therefore$ 三角形$CEF$的面积为$\dfrac{1}{4}$.
(2) 由题意得点$M(x,y)$变换为$M'(kx+b,by+k)$,$\because$ 点$M(x,y)$是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点,$\therefore x=y$,$\because$ 点$M$与$M'$重合,$\therefore kx+b=bx+k$,即$(k-b)x=k-b$,$\because k≠ b$,$\therefore x=1$,$\therefore$ 点$M$的坐标为$(1,1)$;
(3) 由题意得: $\begin{cases}2k+b=5,\\b+k=4,\end{cases}$ 解得: $\begin{cases}k=1,\\b=3,\end{cases}$
$\because B(m-\dfrac{5}{2},t),C(m+\dfrac{1}{2},m+\dfrac{1}{2}n)$经过“G变换”的对应点分别是$E,F$,$\therefore E(m+\dfrac{1}{2},3t+1)$,$F(m+\dfrac{7}{2},3m+\dfrac{3}{2}n+1)$,$\because BE// x$轴,且点$F$落在$x$轴上,$\therefore \begin{cases}t=3t+1,\\3m+\dfrac{3}{2}n+1=0,\end{cases}$ $\therefore t=-\dfrac{1}{2}$,$3m+\dfrac{3}{2}n=-1$,$\therefore C(m+\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3})$,$E(m+\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2})$,$F(m+\dfrac{7}{2},0)$,$\therefore$ 三角形$CEF$的面积为: $\dfrac{1}{2}×[-\dfrac{1}{3}-(-\dfrac{1}{2})]×[(m+\dfrac{7}{2})-(m+\dfrac{1}{2})]=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{6}×3=\dfrac{1}{4}$,$\therefore$ 三角形$CEF$的面积为$\dfrac{1}{4}$.
