登录
1.某航空公司规定:乘坐飞机普通舱的旅客每人最多只能免费托运20 kg行李,超过的部分每千克按机票价格的1.5%购买行李票.已知一位旅客托运了40 kg行李,机票和行李票共付了1 339元,设该旅客的机票价格是x元,则可列方程为
x+(40-20)×1.5%x=1 339
.答案
1. x+(40-20)×1.5%x=1 339
解析
【分析】
列方程首先需要找准题目中的等量关系，本题的等量关系为：机票价格 + 超重部分的行李票费用 = 总共支付的1339元。接下来分别表示对应费用：①机票价格已设为x元；②先计算超重行李重量：免费托运20kg，旅客共托运40kg，超重重量为(40-20)kg；再计算超重行李费：超重部分每千克按机票价格的1.5%计费，即每千克行李费为1.5%x元，因此超重部分总费用为(40-20)×1.5%x元。最后将两项费用相加等于总付款，即可列出方程。
【解析】
步骤1：确定等量关系：机票费用 + 超重行李费用 = 总付款1339元
步骤2：计算超重行李重量：$40-20=20\ \mathrm{kg}$
步骤3：表示超重行李费用：每千克费用为机票价格的1.5%，即$1.5\%x$元，因此超重总费用为$(40-20)×1.5\%x$元
步骤4：代入等量关系列方程：机票费用x元加超重行李费用等于1339元，可得对应方程。
【答案】
$x+(40-20)×1.5\%x=1339$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 分段计费问题
3. 百分数实际应用
【点评】
本题是分段计费类基础应用题，解题核心是先找准总费用的等量关系，再结合题目给出的计费规则准确表示各分段的费用，代入等量关系即可得到方程，属于方程实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.8
列方程首先需要找准题目中的等量关系，本题的等量关系为：机票价格 + 超重部分的行李票费用 = 总共支付的1339元。接下来分别表示对应费用：①机票价格已设为x元；②先计算超重行李重量：免费托运20kg，旅客共托运40kg，超重重量为(40-20)kg；再计算超重行李费：超重部分每千克按机票价格的1.5%计费，即每千克行李费为1.5%x元，因此超重部分总费用为(40-20)×1.5%x元。最后将两项费用相加等于总付款，即可列出方程。
【解析】
步骤1：确定等量关系：机票费用 + 超重行李费用 = 总付款1339元
步骤2：计算超重行李重量：$40-20=20\ \mathrm{kg}$
步骤3：表示超重行李费用：每千克费用为机票价格的1.5%，即$1.5\%x$元，因此超重总费用为$(40-20)×1.5\%x$元
步骤4：代入等量关系列方程：机票费用x元加超重行李费用等于1339元，可得对应方程。
【答案】
$x+(40-20)×1.5\%x=1339$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 分段计费问题
3. 百分数实际应用
【点评】
本题是分段计费类基础应用题，解题核心是先找准总费用的等量关系，再结合题目给出的计费规则准确表示各分段的费用，代入等量关系即可得到方程，属于方程实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.8
2. [新课标—数学文化题]我国古代有这样一道著名算题:“一百馒头一百僧,大和三个更无争,小和三人分一个,大小和尚得几丁?”意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完.试问大、小和尚各多少人.
答案
2. 大和尚有25人,小和尚有75人.
解析
【分析】
这是一道典型的一元一次方程应用题，解题时首先梳理题中的两个等量关系：①大和尚人数+小和尚人数=100人；②大和尚分得的馒头总数+小和尚分得的馒头总数=100个。我们采用直接设元法，设大和尚人数为未知数，即可借助第一个等量关系表示出小和尚的人数，再将两个群体的馒头消耗量用含未知数的式子表达，代入第二个等量关系列方程，求解后就能得到最终结果。
【解析】
解：设大和尚有$x$人，则小和尚有$(100-x)$人。
根据馒头总数为100个，列方程得：
$3x + \frac{1}{3}(100-x) = 100$
去分母（两边同时乘3），得：
$9x + 100 - x = 300$
合并同类项，得：
$8x = 200$
系数化为1，得：
$x = 25$
则小和尚人数为$100 - 25 = 75$（人）
经检验，25个大和尚分$25×3=75$个馒头，75个小和尚分$75÷3=25$个馒头，合计100个馒头，符合题意。
【答案】
大和尚有25人，小和尚有75人。
【知识点】
一元一次方程的应用、和差倍分问题、直接设元法
【点评】
本题以我国古代经典数学名为载体，融入数学文化，重点考查用方程建模解决实际问题的能力，解题关键是找准两类等量关系的用途：一类用于表示未知量，一类用于列方程，能帮助学生巩固列方程解应用题的基本步骤。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的一元一次方程应用题，解题时首先梳理题中的两个等量关系：①大和尚人数+小和尚人数=100人；②大和尚分得的馒头总数+小和尚分得的馒头总数=100个。我们采用直接设元法，设大和尚人数为未知数，即可借助第一个等量关系表示出小和尚的人数，再将两个群体的馒头消耗量用含未知数的式子表达，代入第二个等量关系列方程，求解后就能得到最终结果。
【解析】
解：设大和尚有$x$人，则小和尚有$(100-x)$人。
根据馒头总数为100个，列方程得：
$3x + \frac{1}{3}(100-x) = 100$
去分母（两边同时乘3），得：
$9x + 100 - x = 300$
合并同类项，得：
$8x = 200$
系数化为1，得：
$x = 25$
则小和尚人数为$100 - 25 = 75$（人）
经检验，25个大和尚分$25×3=75$个馒头，75个小和尚分$75÷3=25$个馒头，合计100个馒头，符合题意。
【答案】
大和尚有25人，小和尚有75人。
【知识点】
一元一次方程的应用、和差倍分问题、直接设元法
【点评】
本题以我国古代经典数学名为载体，融入数学文化，重点考查用方程建模解决实际问题的能力，解题关键是找准两类等量关系的用途：一类用于表示未知量，一类用于列方程，能帮助学生巩固列方程解应用题的基本步骤。
【难度系数】
0.7
3. 如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是2，求这个长方形的面积. 
答案
3. 设正方形D,E的边长为x,则正方形C的边长为x+2,正方形B的边长为x+4,正方形A的边长为x+6.
根据题意,得x+x+(x+2)=(x+4)+(x+6),解得x=8,
所以这个长方形的长为26,宽为22.
26×22=572.
答:这个长方形的面积为572.
根据题意,得x+x+(x+2)=(x+4)+(x+6),解得x=8,
所以这个长方形的长为26,宽为22.
26×22=572.
答:这个长方形的面积为572.
解析
【分析】
解决本题的核心是梳理各正方形的边长关系，结合长方形对边相等的性质列方程求解。首先观察图形可知正方形E和D边长相等，已知最小正方形边长为2，因此可设D、E的边长为x，依次推出C、B、A的边长；再利用长方形上下对边长度相等的性质列出一元一次方程，求出x后即可计算长方形的长和宽，最终得到面积。
【解析】
解：设正方形D、E的边长为$ x $，
由各正方形的边长关系可得：
正方形C的边长为$ x+2 $，
正方形B的边长为$ x+2+2=x+4 $，
正方形A的边长为$ x+4+2=x+6 $。
根据长方形上下对边长度相等，列方程得：
$ x+x+(x+2)=(x+4)+(x+6) $
化简得：$ 3x+2=2x+10 $
解得：$ x=8 $
则长方形的长为：$ (x+4)+(x+6)=12+14=26 $
长方形的宽为：$ (x+6)+x=14+8=22 $
长方形的面积为：$ 26×22=572 $
【答案】
572
【知识点】
一元一次方程应用；正方形的性质；长方形的性质
【点评】
本题属于数形结合的应用题，解题关键是准确识别图形中各正方形边长的差值关系，结合长方形对边相等的性质建立等量关系，既考察了几何图形的基本性质，也考察了列方程解应用题的能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是梳理各正方形的边长关系，结合长方形对边相等的性质列方程求解。首先观察图形可知正方形E和D边长相等，已知最小正方形边长为2，因此可设D、E的边长为x，依次推出C、B、A的边长；再利用长方形上下对边长度相等的性质列出一元一次方程，求出x后即可计算长方形的长和宽，最终得到面积。
【解析】
解：设正方形D、E的边长为$ x $，
由各正方形的边长关系可得：
正方形C的边长为$ x+2 $，
正方形B的边长为$ x+2+2=x+4 $，
正方形A的边长为$ x+4+2=x+6 $。
根据长方形上下对边长度相等，列方程得：
$ x+x+(x+2)=(x+4)+(x+6) $
化简得：$ 3x+2=2x+10 $
解得：$ x=8 $
则长方形的长为：$ (x+4)+(x+6)=12+14=26 $
长方形的宽为：$ (x+6)+x=14+8=22 $
长方形的面积为：$ 26×22=572 $
【答案】
572
【知识点】
一元一次方程应用；正方形的性质；长方形的性质
【点评】
本题属于数形结合的应用题，解题关键是准确识别图形中各正方形边长的差值关系，结合长方形对边相等的性质建立等量关系，既考察了几何图形的基本性质，也考察了列方程解应用题的能力。
【难度系数】
0.6
4. [2025·合肥瑶海区期末]“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为10％.为保证这批苹果售完后的利润率能达到17％，求售价相对进价应提价的百分比.
答案
4. 设这批苹果的进价为a元/kg,共b kg,售价为x 元/kg.
根据题意,得(1-10%)bx-ab=17%ab,解得x=1.3a,
所以$\frac{1.3a - a}{a}×100\%=30\%$.
答:售价相对进价应提价的百分比为30%.
根据题意,得(1-10%)bx-ab=17%ab,解得x=1.3a,
所以$\frac{1.3a - a}{a}×100\%=30\%$.
答:售价相对进价应提价的百分比为30%.
解析
【分析】
这是一道销售利润类应用题，解题核心是利用“总利润=总成本×利润率”的等量关系列式。题目未给出苹果的进价和进货总质量，我们可以引入辅助参数表示这两个量，同时注意有10%的损耗，实际可销售的苹果质量仅为进货质量的90%，列方程求出售价与进价的关系后，即可计算提价百分比，引入的参数在计算过程中会自然消去，不影响最终结果。
【解析】
设这批苹果的进价为$a$元/kg，进货总质量为$b$ kg，售价为$x$元/kg。
实际可销售的苹果质量为$(1-10\%)b=0.9b$ kg，总售价为$0.9bx$元，总成本为$ab$元。
根据利润率达17%的要求，总利润为$17\%ab$，即总售价-总成本=总利润，列方程得：
$0.9bx - ab = 17\%ab$
方程两边同时除以$b$（$b≠0$），得：
$0.9x - a = 0.17a$
移项合并得：
$0.9x = 1.17a$
解得$x=1.3a$
则售价相对进价的提价百分比为：
$\frac{x-a}{a} × 100\% = \frac{1.3a - a}{a} × 100\% = 30\%$
【答案】
30%
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润问题；辅助设元法
【点评】
本题属于典型的销售类实际应用题，易错点是容易忽略10%的损耗，误将进货质量当作实际销售质量计算。当题目中未知量较多且无具体数值时，引入辅助参数参与列式能大幅降低解题难度，参数最终会消去，不会影响计算结果。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类应用题，解题核心是利用“总利润=总成本×利润率”的等量关系列式。题目未给出苹果的进价和进货总质量，我们可以引入辅助参数表示这两个量，同时注意有10%的损耗，实际可销售的苹果质量仅为进货质量的90%，列方程求出售价与进价的关系后，即可计算提价百分比，引入的参数在计算过程中会自然消去，不影响最终结果。
【解析】
设这批苹果的进价为$a$元/kg，进货总质量为$b$ kg，售价为$x$元/kg。
实际可销售的苹果质量为$(1-10\%)b=0.9b$ kg，总售价为$0.9bx$元，总成本为$ab$元。
根据利润率达17%的要求，总利润为$17\%ab$，即总售价-总成本=总利润，列方程得：
$0.9bx - ab = 17\%ab$
方程两边同时除以$b$（$b≠0$），得：
$0.9x - a = 0.17a$
移项合并得：
$0.9x = 1.17a$
解得$x=1.3a$
则售价相对进价的提价百分比为：
$\frac{x-a}{a} × 100\% = \frac{1.3a - a}{a} × 100\% = 30\%$
【答案】
30%
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润问题；辅助设元法
【点评】
本题属于典型的销售类实际应用题，易错点是容易忽略10%的损耗，误将进货质量当作实际销售质量计算。当题目中未知量较多且无具体数值时，引入辅助参数参与列式能大幅降低解题难度，参数最终会消去，不会影响计算结果。
【难度系数】
0.7
5.一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，再把这个三位数放在两位数的右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3 876，求这个三位数和两位数.
答案
5. 设这个两位数为x,则三位数为2x-49.
由题意,得1 000x+(2x-49)-7×[100(2x-49)+x]=3 876,
解得x=75,所以2x-49=101.
答:这个三位数为101,两位数为75.
由题意,得1 000x+(2x-49)-7×[100(2x-49)+x]=3 876,
解得x=75,所以2x-49=101.
答:这个三位数为101,两位数为75.
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的数量关系：①三位数=两位数×2 -49，两个未知数存在直接的倍数关系，因此可以只设1个未知数，设两位数为x，即可用含x的式子表示出三位数为2x-49；其次明确拼接五位数的数位规则：把三位数放在两位数左边时，三位数相当于扩大到原来的100倍，再加上两位数即可得到第一个五位数；把三位数放在两位数右边时，两位数相当于扩大到原来的1000倍，再加上三位数即可得到新的五位数；最后根据“新五位数=前一个五位数×7 +3876”的等量关系列方程，求解即可得到两个数的值。
【解析】
解：设这个两位数为$ x $，则三位数为$ 2x - 49 $。
根据题意，新五位数（三位数在右）为$ 1000x + (2x - 49) $，前一个五位数（三位数在左）为$ 100(2x - 49) + x $，可列方程：
$1000x + (2x - 49) - 7×[100(2x - 49) + x] = 3876$
展开括号得：
$ 1002x - 49 - 1407x + 34300 = 3876 $
合并同类项、移项得：
$ -405x = -30375 $
解得：$ x = 75 $
则三位数为$ 2×75 - 49 = 101 $。
【答案】
这个三位数为101，两位数为75。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 多位数的数位表示
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是列方程解数字类应用题的典型题型，核心易错点是拼接五位数时数位换算错误，只要掌握多位数拼接时高位数字需对应扩大相应倍数的规律，准确找到等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先梳理题目中的数量关系：①三位数=两位数×2 -49，两个未知数存在直接的倍数关系，因此可以只设1个未知数，设两位数为x，即可用含x的式子表示出三位数为2x-49；其次明确拼接五位数的数位规则：把三位数放在两位数左边时，三位数相当于扩大到原来的100倍，再加上两位数即可得到第一个五位数；把三位数放在两位数右边时，两位数相当于扩大到原来的1000倍，再加上三位数即可得到新的五位数；最后根据“新五位数=前一个五位数×7 +3876”的等量关系列方程，求解即可得到两个数的值。
【解析】
解：设这个两位数为$ x $，则三位数为$ 2x - 49 $。
根据题意，新五位数（三位数在右）为$ 1000x + (2x - 49) $，前一个五位数（三位数在左）为$ 100(2x - 49) + x $，可列方程：
$1000x + (2x - 49) - 7×[100(2x - 49) + x] = 3876$
展开括号得：
$ 1002x - 49 - 1407x + 34300 = 3876 $
合并同类项、移项得：
$ -405x = -30375 $
解得：$ x = 75 $
则三位数为$ 2×75 - 49 = 101 $。
【答案】
这个三位数为101，两位数为75。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 多位数的数位表示
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是列方程解数字类应用题的典型题型，核心易错点是拼接五位数时数位换算错误，只要掌握多位数拼接时高位数字需对应扩大相应倍数的规律，准确找到等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
