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11.如图，用一个长方形在数表中任意框出4个数。
(1)a，c的关系是
(2)当$a+b+c+d=32$时，$a=$
(3)a，b，c，d的关系是
(1)a，c的关系是
$c=a+5$
；(2)当$a+b+c+d=32$时，$a=$
5
；(3)a，b，c，d的关系是
$a+d=b+c$
。答案
(1)$c=a+5$ (2)5 (3)$a+d=b+c$
解析
【分析】
首先观察数表的排列规律：数表每行有5个连续自然数，同一行中右边的数比左边相邻的数大1，同一列中下一行的数比上一行相邻的数大5。
(1)a和c是同一列上下相邻的两个数，根据列的数字差规律即可得到二者关系；
(2)先根据数表规律用含a的代数式分别表示b、c、d，再代入四个数的和为32的等量关系，解一元一次方程即可求出a的值；
(3)分别计算对角两个数的和，即可得到四个数的等量关系。
【解析】
观察数表可得规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差5。
(1)c在a的下一行同一列，因此$c = a + 5$；
(2)根据规律可得：$b=a+1$，$c=a+5$，$d=c+1=a+6$，
将其代入$a+b+c+d=32$得：
$a+(a+1)+(a+5)+(a+6)=32$
合并同类项得：$4a+12=32$
移项计算得：$4a=20$，解得$a=5$；
(3)计算对角两数的和：
$a+d=a+(a+6)=2a+6$，
$b+c=(a+1)+(a+5)=2a+6$，
因此$a+d=b+c$。
【答案】
(1)$c=a+5$ (2)5 (3)$a+d=b+c$
【知识点】
数表规律探究；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的数表规律探究题，核心是先找到数表行列的数字变化规律，再通过字母表示数建立等量关系求解，这类题能很好地锻炼逻辑推理和代数式应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察数表的排列规律：数表每行有5个连续自然数，同一行中右边的数比左边相邻的数大1，同一列中下一行的数比上一行相邻的数大5。
(1)a和c是同一列上下相邻的两个数，根据列的数字差规律即可得到二者关系；
(2)先根据数表规律用含a的代数式分别表示b、c、d，再代入四个数的和为32的等量关系，解一元一次方程即可求出a的值；
(3)分别计算对角两个数的和，即可得到四个数的等量关系。
【解析】
观察数表可得规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差5。
(1)c在a的下一行同一列，因此$c = a + 5$；
(2)根据规律可得：$b=a+1$，$c=a+5$，$d=c+1=a+6$，
将其代入$a+b+c+d=32$得：
$a+(a+1)+(a+5)+(a+6)=32$
合并同类项得：$4a+12=32$
移项计算得：$4a=20$，解得$a=5$；
(3)计算对角两数的和：
$a+d=a+(a+6)=2a+6$，
$b+c=(a+1)+(a+5)=2a+6$，
因此$a+d=b+c$。
【答案】
(1)$c=a+5$ (2)5 (3)$a+d=b+c$
【知识点】
数表规律探究；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的数表规律探究题，核心是先找到数表行列的数字变化规律，再通过字母表示数建立等量关系求解，这类题能很好地锻炼逻辑推理和代数式应用能力。
【难度系数】
0.7
12.【给出定义】
若一个三位数的十位数字的2倍等于百位数字与个位数字之和，则这个三位数叫作“倍和数”。例如：三位数147，因为$2×4＝7＋1$，所以它是“倍和数”。
【理解应用】
(1)三位数231是否为“倍和数”？
(2)设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为$x,y,z$，则$x,y,z$满足的关系式为
(3)任意一个“倍和数”都能被3整除吗？为什么？
若一个三位数的十位数字的2倍等于百位数字与个位数字之和，则这个三位数叫作“倍和数”。例如：三位数147，因为$2×4＝7＋1$，所以它是“倍和数”。
【理解应用】
(1)三位数231是否为“倍和数”？
(2)设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为$x,y,z$，则$x,y,z$满足的关系式为
$x+z=2y$
。(3)任意一个“倍和数”都能被3整除吗？为什么？
答案
解:(1)因为 $2×3≠2+1$,
所以三位数 231 不是“倍和数”。
(2)$x+z=2y$
(3)任意一个“倍和数”都能被 3 整除,理由如下:
设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为 $x,y,z$,
所以这个三位数为 $100 x+10 y+z$。
由(2)得 $x+z=2y$,即 $y=\frac{x+z}{2}$,
所以 $100x+10y+z$
$ =100x+10×\frac{x+z}{2}+z $
$ =100x+5x+5z+z $
$ =105x+6z $
$ =3(35x+2z) $。
因为 $x$ 是正整数,$z$ 为非负整数,
所以 $35x+2z$ 为非负整数,
所以 $3(35x+2z)$ 能被 3 整除,
即任意一个“倍和数”都能被 3 整除。
所以三位数 231 不是“倍和数”。
(2)$x+z=2y$
(3)任意一个“倍和数”都能被 3 整除,理由如下:
设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为 $x,y,z$,
所以这个三位数为 $100 x+10 y+z$。
由(2)得 $x+z=2y$,即 $y=\frac{x+z}{2}$,
所以 $100x+10y+z$
$ =100x+10×\frac{x+z}{2}+z $
$ =100x+5x+5z+z $
$ =105x+6z $
$ =3(35x+2z) $。
因为 $x$ 是正整数,$z$ 为非负整数,
所以 $35x+2z$ 为非负整数,
所以 $3(35x+2z)$ 能被 3 整除,
即任意一个“倍和数”都能被 3 整除。
解析
【分析】
(1) 判断是否为“倍和数”需严格依据定义：先计算三位数十位数字的2倍，再计算百位与个位数字的和，比较两个结果是否相等即可得出结论。
(2) 直接将“倍和数”的定义转化为字母关系式即可，十位数字为y，它的2倍等于百位数字x与个位数字z的和，直接列式即可。
(3) 判断数能否被3整除，只需验证该数能否写成3与某个整数的乘积形式。首先用含x,y,z的代数式表示出这个三位数，再利用第(2)问得到的等量关系替换代数式中的y，对代数式进行化简，若化简后可提取公因数3，且3乘的部分为整数，即可证明该数能被3整除。
【解析】
(1) 根据“倍和数”的定义计算：十位数字是3，$2×3=6$；百位数字加个位数字为$2+1=3$，可得$2×3≠2+1$，因此三位数231不是“倍和数”。
(2) 由“倍和数”定义：十位数字的2倍等于百位数字与个位数字之和，已知百位、十位、个位数字分别为x,y,z，因此可得关系式$2y=x+z$，即$x+z=2y$。
(3) 任意一个“倍和数”都能被3整除，理由如下：
设这个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为x,y,z，则这个三位数可表示为$100x+10y+z$。
由(2)得$x+z=2y$，即$y=\frac{x+z}{2}$，将其代入三位数的表达式得：
$\begin{aligned}100x+10y+z&=100x+10×\frac{x+z}{2}+z\\&=100x+5x+5z+z\\&=105x+6z\\&=3(35x+2z)\end{aligned}$
因为x是正整数，z是非负整数，所以$35x+2z$为整数，因此$3(35x+2z)$能被3整除，即任意一个“倍和数”都能被3整除。
【答案】
(1) 三位数231不是“倍和数”；
(2) $x+z=2y$；
(3) 任意一个“倍和数”都能被3整除，理由见解析。
【知识点】
新定义问题，列代数式，整式化简
【点评】
本题围绕新定义“倍和数”设置问题，既考查对新规则的阅读理解能力，也考查代数式表示、整式化简和整除判定等基础知识点，解题核心是准确理解新定义，正确将数位转化为代数式并代入化简，是一类典型的基础能力考查题。
【难度系数】
0.75
(1) 判断是否为“倍和数”需严格依据定义：先计算三位数十位数字的2倍，再计算百位与个位数字的和，比较两个结果是否相等即可得出结论。
(2) 直接将“倍和数”的定义转化为字母关系式即可，十位数字为y，它的2倍等于百位数字x与个位数字z的和，直接列式即可。
(3) 判断数能否被3整除，只需验证该数能否写成3与某个整数的乘积形式。首先用含x,y,z的代数式表示出这个三位数，再利用第(2)问得到的等量关系替换代数式中的y，对代数式进行化简，若化简后可提取公因数3，且3乘的部分为整数，即可证明该数能被3整除。
【解析】
(1) 根据“倍和数”的定义计算：十位数字是3，$2×3=6$；百位数字加个位数字为$2+1=3$，可得$2×3≠2+1$，因此三位数231不是“倍和数”。
(2) 由“倍和数”定义：十位数字的2倍等于百位数字与个位数字之和，已知百位、十位、个位数字分别为x,y,z，因此可得关系式$2y=x+z$，即$x+z=2y$。
(3) 任意一个“倍和数”都能被3整除，理由如下：
设这个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为x,y,z，则这个三位数可表示为$100x+10y+z$。
由(2)得$x+z=2y$，即$y=\frac{x+z}{2}$，将其代入三位数的表达式得：
$\begin{aligned}100x+10y+z&=100x+10×\frac{x+z}{2}+z\\&=100x+5x+5z+z\\&=105x+6z\\&=3(35x+2z)\end{aligned}$
因为x是正整数，z是非负整数，所以$35x+2z$为整数，因此$3(35x+2z)$能被3整除，即任意一个“倍和数”都能被3整除。
【答案】
(1) 三位数231不是“倍和数”；
(2) $x+z=2y$；
(3) 任意一个“倍和数”都能被3整除，理由见解析。
【知识点】
新定义问题，列代数式，整式化简
【点评】
本题围绕新定义“倍和数”设置问题，既考查对新规则的阅读理解能力，也考查代数式表示、整式化简和整除判定等基础知识点，解题核心是准确理解新定义，正确将数位转化为代数式并代入化简，是一类典型的基础能力考查题。
【难度系数】
0.75
13. 根据以下材料解答问题。
实践主题 拼图中的周长探究
实践材料 若干小长方形(如图①)、两个形状及大小完全相同的大长方形(如图②)。
图①
图②
实践操作 小亮的操作:在大长方形内,互不重叠地放入5个小长方形,未被覆盖的部分用阴影表示,得到图③。
小莹的操作:在大长方形内,互不重叠地放入5个小长方形,未被覆盖的部分用阴影表示,得到图④。
图④
实践数据 图③中阴影部分周长与图④中阴影部分周长的差为m。
问题解决 (1)求小长方形(如图①)的宽(用含m的代数式表示);
(2)求大长方形(如图②)的周长(用含m的代数式表示)。
实践主题 拼图中的周长探究
实践材料 若干小长方形(如图①)、两个形状及大小完全相同的大长方形(如图②)。
图①
图②实践操作 小亮的操作:在大长方形内,互不重叠地放入5个小长方形,未被覆盖的部分用阴影表示,得到图③。
小莹的操作:在大长方形内,互不重叠地放入5个小长方形,未被覆盖的部分用阴影表示,得到图④。
图④实践数据 图③中阴影部分周长与图④中阴影部分周长的差为m。
问题解决 (1)求小长方形(如图①)的宽(用含m的代数式表示);
(2)求大长方形(如图②)的周长(用含m的代数式表示)。
答案
解:(1)设图①中小长方形的长为 $x$,宽为 $y$,则图②中大长方形的长为 $5y$,宽为 $4y$,根据题意得:
图③阴影部分周长为 $2(4y+5y-x)+2y=20y-2x$,
图④阴影部分周长为 $2(5y+4y-x)=18y-2x$,
则$(20y-2x)-(18y-2x)=m,2y=m,y=\frac{m}{2}$。
所以小长方形的宽为$\frac{m}{2}$。
(2)由(1)知大长方形的周长为 $2(4y+5y)=18y$,
因为 $y=\frac{m}{2}$,所以 $18y=9m$,
所以大长方形的周长是 $9m$。
图③阴影部分周长为 $2(4y+5y-x)+2y=20y-2x$,
图④阴影部分周长为 $2(5y+4y-x)=18y-2x$,
则$(20y-2x)-(18y-2x)=m,2y=m,y=\frac{m}{2}$。
所以小长方形的宽为$\frac{m}{2}$。
(2)由(1)知大长方形的周长为 $2(4y+5y)=18y$,
因为 $y=\frac{m}{2}$,所以 $18y=9m$,
所以大长方形的周长是 $9m$。
解析
【分析】
本题属于拼图类周长探究问题，解题思路如下：首先设出小长方形的长和宽，结合图形特征找出大长方形的长、宽与小长方形长、宽的数量关系；再通过平移法分别表示出图③和图④中阴影部分的周长；最后根据两个阴影周长的差为m建立等式，先求解小长方形的宽，再代入计算大长方形的周长即可。
【解析】
解：(1)设小长方形的长为$x$，宽为$y$，结合图形可得大长方形的长为$5y$，宽为$4y$。
先计算图③阴影部分的周长：
通过平移转化阴影边，可得周长为 $2(4y+5y-x)+2y=20y-2x$
再计算图④阴影部分的周长：
同理可得周长为 $2(5y+4y-x)=18y-2x$
已知两个阴影部分周长的差为$m$，则：
$\begin{aligned}(20y-2x)-(18y-2x)&=m\\2y&=m\\y&=\frac{m}{2}\end{aligned}$
即小长方形的宽为$\frac{m}{2}$。
(2)大长方形的周长为$2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入长$5y$、宽$4y$得：
大长方形周长$=2(5y+4y)=18y$
将$y=\frac{m}{2}$代入得：$18y=18×\frac{m}{2}=9m$
即大长方形的周长为$9m$。
【答案】
(1) $\frac{m}{2}$；(2) $9m$
【知识点】
1. 列代数式 2. 整式的加减 3. 周长计算
【点评】
本题结合实践操作场景考查几何与代数的综合应用，核心是利用平移法简化阴影周长的计算，再结合已知的周长差建立等量关系求解，能够很好地考查图形分析能力和整式运算能力。
【难度系数】
0.6
本题属于拼图类周长探究问题，解题思路如下：首先设出小长方形的长和宽，结合图形特征找出大长方形的长、宽与小长方形长、宽的数量关系；再通过平移法分别表示出图③和图④中阴影部分的周长；最后根据两个阴影周长的差为m建立等式，先求解小长方形的宽，再代入计算大长方形的周长即可。
【解析】
解：(1)设小长方形的长为$x$，宽为$y$，结合图形可得大长方形的长为$5y$，宽为$4y$。
先计算图③阴影部分的周长：
通过平移转化阴影边，可得周长为 $2(4y+5y-x)+2y=20y-2x$
再计算图④阴影部分的周长：
同理可得周长为 $2(5y+4y-x)=18y-2x$
已知两个阴影部分周长的差为$m$，则：
$\begin{aligned}(20y-2x)-(18y-2x)&=m\\2y&=m\\y&=\frac{m}{2}\end{aligned}$
即小长方形的宽为$\frac{m}{2}$。
(2)大长方形的周长为$2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入长$5y$、宽$4y$得：
大长方形周长$=2(5y+4y)=18y$
将$y=\frac{m}{2}$代入得：$18y=18×\frac{m}{2}=9m$
即大长方形的周长为$9m$。
【答案】
(1) $\frac{m}{2}$；(2) $9m$
【知识点】
1. 列代数式 2. 整式的加减 3. 周长计算
【点评】
本题结合实践操作场景考查几何与代数的综合应用，核心是利用平移法简化阴影周长的计算，再结合已知的周长差建立等量关系求解，能够很好地考查图形分析能力和整式运算能力。
【难度系数】
0.6
