7. 如图，点 B，D，C 分别是 AF，AG 和 AE 上的一点，且满足 BD = CD，∠ABD + ∠ACD = 180°. 求证：AD 平分∠BAC.

证明 过点 D 作 $DP⊥AC$ 于点 P，过点 D 作 $DQ⊥AB$ 于点 Q，如图所示。
则 $∠DPC=∠DQB=90°$。
因为 $∠ABD+∠ACD=180°$，$∠ACD+∠DCP=180°$，所以 $∠DCP=∠DBQ$。
在$△DCP$ 和$△DBQ$ 中，
$\begin{cases} ∠DCP=∠DBQ, \\ ∠DPC=∠DQB, \\ CD=BD, \end{cases}$
所以 $△DCP≌△DBQ$（AAS）。
所以 $DP=DQ$。
因为 $DP⊥AC$，$DQ⊥AB$，
所以 AD 平分$∠BAC$。

8. 图①是一个平分角的仪器，其中$OD=OE$，$FD=FE$.
（1）如图②，将仪器放置在$△ ABC$上，使点$O$与顶点$A$重合，$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，沿$AF$画一条射线$AP$，交$BC$于点$P$. $AP$是$∠ BAC$的平分线吗？请判断并说明理由.
（2）如图③，在（1）的条件下，过点$P$作$PQ ⊥ AB$于点$Q$，若$PQ=6$，$AC=9$，$△ ABC$的面积是60，求$AB$的长.

解（1）AP 是$∠BAC$的平分线。理由如下：
在$△ADF$ 和$△AEF$ 中，$\begin{cases} AD=AE, \\ FD=FE, \\ AF=AF, \end{cases}$
所以 $△ADF≌△AEF$（SSS）。
所以 $∠DAF=∠EAF$。
所以 AP 平分$∠BAC$。
（2）如图，过点 P 作 $PG⊥AC$ 于点 G。
因为 AP 平分$∠BAC$，$PQ⊥AB$，
所以 $PG=PQ=6$。
因为 $S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△APC}=\frac{1}{2}AB·PQ+\frac{1}{2}AC·PG$，所以 $\frac{1}{2}AB×6+\frac{1}{2}×9×6=60$。所以 $AB=11$。