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5. 下图中，右边三个图形是左边盒子的展开图的是(
A.①
B.②
C.③
A
)。A.①
B.②
C.③
答案
5. A
解析
【分析】
解决这类正方体盒子和展开图对应的题目，核心思路是利用正方体相对面和相邻面的特点判断：首先观察左边的盒子，露在外面的3个面是共用一个顶点的相邻面，这3个面一定不是相对面，且相对位置固定。接下来我们只需要逐一判断3个展开图，先看展开图里这3个面有没有相对的，有就直接排除；如果都是相邻的，再验证折叠后面的位置是否和原盒子一致即可。
【解析】
1. 先观察左侧原盒子，能看到的3个面两两相邻，不存在相对面，相对位置固定。
2. 分析3个展开图：
①号展开图：原盒子的3个可见面均为相邻关系，将其折叠成正方体后，3个面的位置和原盒子完全匹配，符合要求。
②号展开图：原盒子的其中2个可见面是相对面，折叠后这两个面无法同时被看到，不符合要求，排除。
③号展开图：折叠后可见面的位置和原盒子不匹配，不符合要求，排除。
因此正确的是①，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正方体展开图特征、立体图与展开图对应
【点评】
本题是正方体展开图的常考题型，解题关键是掌握“正方体相对的面折叠后不相邻”的规律，可先通过该规律快速排除错误选项，再验证剩余选项，能大幅提高解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
解决这类正方体盒子和展开图对应的题目，核心思路是利用正方体相对面和相邻面的特点判断：首先观察左边的盒子，露在外面的3个面是共用一个顶点的相邻面，这3个面一定不是相对面，且相对位置固定。接下来我们只需要逐一判断3个展开图，先看展开图里这3个面有没有相对的，有就直接排除；如果都是相邻的，再验证折叠后面的位置是否和原盒子一致即可。
【解析】
1. 先观察左侧原盒子，能看到的3个面两两相邻，不存在相对面，相对位置固定。
2. 分析3个展开图：
①号展开图：原盒子的3个可见面均为相邻关系，将其折叠成正方体后，3个面的位置和原盒子完全匹配，符合要求。
②号展开图：原盒子的其中2个可见面是相对面，折叠后这两个面无法同时被看到，不符合要求，排除。
③号展开图：折叠后可见面的位置和原盒子不匹配，不符合要求，排除。
因此正确的是①，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正方体展开图特征、立体图与展开图对应
【点评】
本题是正方体展开图的常考题型，解题关键是掌握“正方体相对的面折叠后不相邻”的规律，可先通过该规律快速排除错误选项，再验证剩余选项，能大幅提高解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
三、完成下表
答案
600 460 10 376 5 350 729 486
解析
【分析】
解题前先明确长方体和正方体的相关计算公式：1. 长方体体积=长×宽×高，已知体积和其中两个边长时，可通过公式逆推得到第三个边长：未知边长=体积÷（两个已知边长的乘积）；2. 长方体表面积=（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2；3. 正方体体积=棱长×棱长×棱长，正方体表面积=棱长×棱长×6。接下来逐行根据已知条件代入对应公式计算即可。
【解析】
我们按表格行顺序依次计算：
1. 第一行长方体（长12cm、宽10cm、高5cm）：
体积：$12×10×5=600(\mathrm{cm}^3)$
表面积：$(12×10 + 12×5 + 10×5)×2=(120+60+50)×2=230×2=460(\mathrm{cm}^2)$
2. 第二行长方体（宽8cm、高6cm、体积480$\mathrm{cm}^3$）：
先求长：$480÷(8×6)=480÷48=10(\mathrm{cm})$
再求表面积：$(10×8 + 10×6 + 8×6)×2=(80+60+48)×2=188×2=376(\mathrm{cm}^2)$
3. 第三行长方体（长20cm、高3cm、体积300$\mathrm{cm}^3$）：
先求宽：$300÷(20×3)=300÷60=5(\mathrm{cm})$
再求表面积：$(20×5 + 20×3 + 5×3)×2=(100+60+15)×2=175×2=350(\mathrm{cm}^2)$
4. 第四行正方体（棱长9cm）：
体积：$9×9×9=729(\mathrm{cm}^3)$
表面积：$9×9×6=486(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
从上到下从左到右依次为：600、460、10、376、5、350、729、486
【知识点】
长方体体积与表面积计算，正方体体积与表面积计算，公式逆运算
【点评】
本题是立体几何的基础题型，核心考察对长方体、正方体体积和表面积公式的熟练运用，既需要掌握正向代入计算的方法，也需要学会逆向推导未知边长，计算时注意运算顺序，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
解题前先明确长方体和正方体的相关计算公式：1. 长方体体积=长×宽×高，已知体积和其中两个边长时，可通过公式逆推得到第三个边长：未知边长=体积÷（两个已知边长的乘积）；2. 长方体表面积=（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2；3. 正方体体积=棱长×棱长×棱长，正方体表面积=棱长×棱长×6。接下来逐行根据已知条件代入对应公式计算即可。
【解析】
我们按表格行顺序依次计算：
1. 第一行长方体（长12cm、宽10cm、高5cm）：
体积：$12×10×5=600(\mathrm{cm}^3)$
表面积：$(12×10 + 12×5 + 10×5)×2=(120+60+50)×2=230×2=460(\mathrm{cm}^2)$
2. 第二行长方体（宽8cm、高6cm、体积480$\mathrm{cm}^3$）：
先求长：$480÷(8×6)=480÷48=10(\mathrm{cm})$
再求表面积：$(10×8 + 10×6 + 8×6)×2=(80+60+48)×2=188×2=376(\mathrm{cm}^2)$
3. 第三行长方体（长20cm、高3cm、体积300$\mathrm{cm}^3$）：
先求宽：$300÷(20×3)=300÷60=5(\mathrm{cm})$
再求表面积：$(20×5 + 20×3 + 5×3)×2=(100+60+15)×2=175×2=350(\mathrm{cm}^2)$
4. 第四行正方体（棱长9cm）：
体积：$9×9×9=729(\mathrm{cm}^3)$
表面积：$9×9×6=486(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
从上到下从左到右依次为：600、460、10、376、5、350、729、486
【知识点】
长方体体积与表面积计算，正方体体积与表面积计算，公式逆运算
【点评】
本题是立体几何的基础题型，核心考察对长方体、正方体体积和表面积公式的熟练运用，既需要掌握正向代入计算的方法，也需要学会逆向推导未知边长，计算时注意运算顺序，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
1.一个无盖长方体铁皮水槽，长是12分米，宽是5分米，高是2分米。做这个水槽最少需要多大面积的铁皮？这个水槽最多可以盛多少升水？（不考虑铁皮厚度）
答案
1. 128 平方分米 120 升
解析
【分析】
本题有两个待解问题，首先解决铁皮面积问题：无盖水槽的铁皮面积是求长方体5个面的总面积（缺少顶面），不需要按完整6个面的表面积计算，计算思路为底面面积加四个侧面的面积和。其次解决盛水量问题：不考虑铁皮厚度时，水槽的盛水量就是它的容积，等于长方体的体积，用长方体体积公式计算后再做单位转换即可，1立方分米=1升。
【解析】
1. 计算需要的铁皮面积：
无盖长方体表面积 = 长×宽 + 2×长×高 + 2×宽×高
代入数值计算：
$12×5 + 2×12×2 + 2×5×2$
$= 60 + 48 + 20$
$= 128$（平方分米）
2. 计算水槽的盛水量：
长方体体积 = 长×宽×高
代入数值计算：
$12×5×2 = 120$（立方分米）
因为1立方分米=1升，所以120立方分米=120升
【答案】
做这个水槽最少需要128平方分米的铁皮，最多可以盛120升水。
【知识点】
长方体表面积计算、长方体体积计算、容积单位换算
【点评】
本题结合生活场景出题，易错点是容易误将无盖水槽按完整6个面计算表面积，做题时注意结合实际场景判断需要计算的面数，容积计算注意单位对应即可。
【难度系数】
0.7
本题有两个待解问题，首先解决铁皮面积问题：无盖水槽的铁皮面积是求长方体5个面的总面积（缺少顶面），不需要按完整6个面的表面积计算，计算思路为底面面积加四个侧面的面积和。其次解决盛水量问题：不考虑铁皮厚度时，水槽的盛水量就是它的容积，等于长方体的体积，用长方体体积公式计算后再做单位转换即可，1立方分米=1升。
【解析】
1. 计算需要的铁皮面积：
无盖长方体表面积 = 长×宽 + 2×长×高 + 2×宽×高
代入数值计算：
$12×5 + 2×12×2 + 2×5×2$
$= 60 + 48 + 20$
$= 128$（平方分米）
2. 计算水槽的盛水量：
长方体体积 = 长×宽×高
代入数值计算：
$12×5×2 = 120$（立方分米）
因为1立方分米=1升，所以120立方分米=120升
【答案】
做这个水槽最少需要128平方分米的铁皮，最多可以盛120升水。
【知识点】
长方体表面积计算、长方体体积计算、容积单位换算
【点评】
本题结合生活场景出题，易错点是容易误将无盖水槽按完整6个面计算表面积，做题时注意结合实际场景判断需要计算的面数，容积计算注意单位对应即可。
【难度系数】
0.7
2.下面的图形是用棱长为1 cm的小正方体拼成的。要把它补成一个大正方体，至少还需要多少个这样的小正方体？补成大正方体后，它的体积是多少立方厘米？
答案
2. 4个 27 cm³
解析
【分析】
解题第一步先确定补成的大正方体的棱长：观察现有图形，长、宽、高三个方向最多都排列了3个小正方体，因此补成的大正方体棱长为3cm，总共需要$3×3×3=27$个小正方体。第二步数出当前已有的小正方体数量，用总数量减去现有数量就能得到需要补充的个数；大正方体的体积可以直接用正方体体积公式计算，也可以用总小正方体个数乘单个小正方体体积得到。数现有小正方体时建议分层从上到下计数，避免漏数或多数。
【解析】
1. 确定大正方体棱长：现有图形长、宽、高方向最多都有3个小正方体，因此补成的大正方体棱长为$3×1=3\mathrm{cm}$。
2. 计算大正方体需要的小正方体总个数：
$3×3×3=27$（个）
3. 数现有小正方体数量：分层计数，上层有9个，中层有8个，下层有6个，现有总个数为$9+8+6=23$（个）
4. 计算需要补充的小正方体个数：
$27-23=4$（个）
5. 计算补成后大正方体的体积：
单个小正方体体积为$1×1×1=1\mathrm{cm}^3$，大正方体体积为$27×1=27\mathrm{cm}^3$（或直接用正方体体积公式：$3×3×3=27\mathrm{cm}^3$）
【答案】
至少还需要4个这样的小正方体，补成大正方体后它的体积是$27\mathrm{cm}^3$。
【知识点】
正方体的特征，正方体体积计算，立体图形计数
【点评】
本题是正方体相关知识的基础应用题，解题核心是先明确补成的大正方体的棱长，通过总数量和现有数量的差求解补充个数，分层计数的方法能有效降低计数错误率。
【难度系数】
0.7
解题第一步先确定补成的大正方体的棱长：观察现有图形，长、宽、高三个方向最多都排列了3个小正方体，因此补成的大正方体棱长为3cm，总共需要$3×3×3=27$个小正方体。第二步数出当前已有的小正方体数量，用总数量减去现有数量就能得到需要补充的个数；大正方体的体积可以直接用正方体体积公式计算，也可以用总小正方体个数乘单个小正方体体积得到。数现有小正方体时建议分层从上到下计数，避免漏数或多数。
【解析】
1. 确定大正方体棱长：现有图形长、宽、高方向最多都有3个小正方体，因此补成的大正方体棱长为$3×1=3\mathrm{cm}$。
2. 计算大正方体需要的小正方体总个数：
$3×3×3=27$（个）
3. 数现有小正方体数量：分层计数，上层有9个，中层有8个，下层有6个，现有总个数为$9+8+6=23$（个）
4. 计算需要补充的小正方体个数：
$27-23=4$（个）
5. 计算补成后大正方体的体积：
单个小正方体体积为$1×1×1=1\mathrm{cm}^3$，大正方体体积为$27×1=27\mathrm{cm}^3$（或直接用正方体体积公式：$3×3×3=27\mathrm{cm}^3$）
【答案】
至少还需要4个这样的小正方体，补成大正方体后它的体积是$27\mathrm{cm}^3$。
【知识点】
正方体的特征，正方体体积计算，立体图形计数
【点评】
本题是正方体相关知识的基础应用题，解题核心是先明确补成的大正方体的棱长，通过总数量和现有数量的差求解补充个数，分层计数的方法能有效降低计数错误率。
【难度系数】
0.7
