8 数学思想数形结合 如图，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与$x$轴的交点的横坐标为$2$，与$y$轴的交点的纵坐标为$-4$，则不等式$kx+b＞0$的解集为 （）

A.$x＞-4$
B.$x＜-4$
C.$x＞2$
D.$x＜2$

8.C

【分析】
首先明确不等式$kx+b＞0$的几何意义：它对应一次函数$y=kx+b$的函数值大于0，也就是图象位于x轴上方的部分，该部分对应的x的取值范围就是不等式的解集。观察图象可知，一次函数与x轴交点为$(2,0)$，且图象从左到右上升，y随x的增大而增大，因此交点右侧的x对应的图象都在x轴上方，满足$kx+b＞0$。
【解析】
不等式$kx+b＞0$等价于一次函数$y=kx+b$的函数值大于0，对应图象中位于x轴上方的部分。
由图可得，一次函数图象与x轴交点坐标为$(2,0)$，且y随x的增大而增大，因此当$x＞2$时，函数图象在x轴上方，即$y=kx+b＞0$，所以不等式$kx+b＞0$的解集为$x＞2$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与不等式；一次函数图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将不等式求解转化为判断一次函数图象的位置，无需计算函数解析式即可快速得到结果，解题的核心是理解不等式和函数图象的对应关系。
【难度系数】
0.8

9 已知一次函数$y=ax+b$，若$a-b=2$，则它的图象必经过点 （）

A.$(1,-2)$
B.$(-1,2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(1,2)$

9.C

【分析】
要确定一次函数图象必经过的定点，即该点的坐标代入函数表达式时，恒符合已知条件$a-b=2$。解题思路有两种：一是将函数表达式变形，凑出$a-b$的结构，结合已知条件直接求出对应的$x$、$y$值；二是将各选项的坐标逐一代入函数式，验证哪个选项能推导出$a-b=2$的关系，符合要求的即为所求定点。
【解析】
方法一：对一次函数表达式变形推导
已知一次函数为$y=ax+b$，若要凑出$a-b$的形式，令$x=-1$，代入函数得：
$y=a×(-1)+b=-a+b$
移项整理得：$a-b=-y$
结合已知条件$a-b=2$，可得$2=-y$，即$y=-2$
因此当$x=-1$时，$y=-2$恒成立，即函数图象必经过点$(-1,-2)$。
方法二：代入选项验证
A. 将$(1,-2)$代入$y=ax+b$得：$-2=a+b$，即$a+b=-2$，不符合$a-b=2$，排除；
B. 将$(-1,2)$代入$y=ax+b$得：$2=-a+b$，即$a-b=-2$，不符合$a-b=2$，排除；
C. 将$(-1,-2)$代入$y=ax+b$得：$-2=-a+b$，整理得$a-b=2$，完全符合已知条件，故该点是函数必过的点；
D. 将$(1,2)$代入$y=ax+b$得：$2=a+b$，即$a+b=2$，不符合$a-b=2$，排除。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数定点问题的基础考法，核心是理解定点的坐标代入函数解析式后恒成立，结合已知的等量关系即可快速求解，代入验证法是处理这类小题的常用技巧，准确率高且耗时短。
【难度系数】
0.8

10 易错题（2025苏州姑苏月考）一次函数$y=2x+4$的图象上到$y$轴的距离为1的点的坐标为.

10.$(1,6)$或$(-1,2)$

【分析】
解题首先要明确点到y轴的距离的含义：平面直角坐标系中，一个点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。因此本题中满足条件的点的横坐标有两种可能：1或-1，再将这两个横坐标分别代入一次函数解析式，求出对应的纵坐标值，即可得到所求点的坐标，注意不要漏了横坐标为负的情况。
【解析】
解：
∵ 一次函数图象上的点到y轴的距离为1，
∴ 该点的横坐标满足$|x|=1$，即$x=1$或$x=-1$。
① 当$x=1$时，代入$y=2x+4$得：$y=2×1+4=6$，此时点的坐标为$(1,6)$；
② 当$x=-1$时，代入$y=2x+4$得：$y=2×(-1)+4=2$，此时点的坐标为$(-1,2)$。
综上，满足条件的点的坐标为$(1,6)$或$(-1,2)$。
【答案】
$(1,6)$或$(-1,2)$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于易错题，解题的易错点是容易忽略横坐标为负的情况，导致只得到一个解。解题时要先根据点到y轴的距离确定横坐标的所有可能取值，再代入函数解析式计算即可，需熟练掌握一次函数图象上的点的坐标满足其函数解析式这一性质。
【难度系数】
0.7

11 (2025无锡宜兴月考)如图,在平面直角坐标系中,直线$y=-\dfrac{4}{3}x+8$与$x$轴,$y$轴分别相交于点$A$,$B$,$∠ BAO$的平分线与$y$轴相交于点$M$,则线段$OM$的长为.

11.3

【分析】
要求OM的长度，首先先求出直线与坐标轴交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度，再用勾股定理算出AB的长；接着利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过M作AB的垂线，将OM转化为垂线段的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
步骤1：求点A、B的坐标
对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x+8$：
当$y=0$时，$0=-\dfrac{4}{3}x+8$，解得$x=6$，故$A(6,0)$，$OA=6$；
当$x=0$时，$y=8$，故$B(0,8)$，$OB=8$。
步骤2：计算AB的长度
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
步骤3：利用角平分线性质转化线段
过点M作$MH⊥ AB$于点H，
∵AM平分$∠ BAO$，$MO⊥ OA$，$MH⊥ AB$，
∴$OM=MH$，且可证$△ AOM≌△ AHM$（AAS），得$AH=OA=6$，
∴$BH=AB-AH=10-6=4$。
步骤4：列方程求解OM
设$OM=x$，则$MH=x$，$MB=OB-OM=8-x$，
在$Rt△ BMH$中，由勾股定理得：
$MH^2+BH^2=MB^2$，即$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开得：$x^2+16=64-16x+x^2$，
化简得：$16x=48$，解得$x=3$，即$OM=3$。
【答案】
3
【知识点】
一次函数的交点坐标，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题的关键是先求出一次函数与坐标轴的交点得到线段长度，再借助角平分线性质转化相等线段，最后利用勾股定理列方程求解，是这类综合题的常规考法。
【难度系数】
0.6

12 (2025 南京模拟)已知点$M(m,n)$与点$N$关于$y$轴对称，将点$M$向右平移4个单位长度得到点$P$，若点$N$，$P$在函数$y=-3x-2$的图象上，求点$M$的坐标。

12. 解:因为点 $M(m,n)$ 与点 $N$ 关于 $y$ 轴对称,
所以 $N(-m,n)$.
因为将点 $M$ 向右平移 4 个单位长度得到点 $P$,
所以 $P(m+4,n)$,
因为 $N,P$ 在函数 $y=-3x-2$ 的图象上,
所以把点 $N(-m,n),P(m+4,n)$ 的坐标代入一次函数,
得 $\begin{cases} 3m-2=n,\\-3(m+4)-2=n,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-2,\\n=-8,\end{cases}$
所以点 $M$ 的坐标为$(-2,-8)$.

【分析】
解题时先回忆两个核心基础知识点：一是关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；二是点向右平移时，横坐标增加平移单位，纵坐标保持不变。据此先写出点N和点P的坐标，再根据“函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式”，将N、P的坐标代入一次函数表达式，得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值，最终得到点M的坐标。
【解析】
解：
∵点$M(m,n)$与点$N$关于$y$轴对称，
∴点$N$的坐标为$(-m,n)$。
∵将点$M$向右平移4个单位长度得到点$P$，
∴点$P$的坐标为$(m+4,n)$。
∵点$N$、$P$都在函数$y=-3x-2$的图象上，
∴将两点坐标分别代入函数解析式，可得方程组：
$\begin{cases} n=-3×(-m)-2 \\ n=-3(m+4)-2 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases} 3m-2=n \\ -3m-14=n \end{cases}$
联立求解，将第一个方程的$n$代入第二个方程：
$3m - 2 = -3m -14$
$6m = -12$，解得$m=-2$，
把$m=-2$代入$3m-2=n$，得$n=3×(-2)-2=-8$。
∴点$M$的坐标为$(-2,-8)$。
【答案】
$(-2,-8)$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；坐标平移规律；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与坐标变换结合的基础综合题，核心考察坐标变换的规律以及函数图象上点的坐标与函数解析式的对应关系，计算量小，解题逻辑清晰，适合巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.7

13 如图，正方形ABCD的边长为3，边BC在x轴上，BC的中点与原点O重合，过定点M(-2,0)与动点P(0,t)的直线MP记作l.
(1) 点A的坐标为，点D的坐标为；
(2) 若直线l的表达式为$y=2x+4$，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由；
(3) 当直线l与边AD有公共点时，求t的取值范围.

13. 解:(1) $(-\dfrac{3}{2},3) \quad (\dfrac{3}{2},3)$
(2) 当 $x=-\dfrac{3}{2}$ 时,$y=2x+4=2×(-\dfrac{3}{2})+4=1≠3$,
故点 $A$ 不在直线 $l$ 上.
(3) 因为直线 $l$ 过点 $P$,则设直线 $l$ 的表达式为 $y=kx+t$,
将点 $M$ 的坐标代入上式,得 $0=-2k+t$,解得 $k=\dfrac{1}{2}t$,
则直线 $l$ 的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}tx+t$.
当直线 $l$ 过点 $A$ 时,$3=-\dfrac{3}{2}×\dfrac{1}{2}t+t=\dfrac{1}{4}t$,解得 $t=12$;
当直线 $l$ 过点 $D$ 时,$3=\dfrac{3}{2}×\dfrac{1}{2}t+t=\dfrac{7}{4}t$,解得 $t=\dfrac{12}{7}$.
故 $t$ 的取值范围为$\dfrac{12}{7}≤ t≤12$.

【分析】
（1）求正方形顶点坐标：先根据正方形边长为3，BC中点与原点重合且BC在x轴上，确定B、C的坐标，再结合正方形邻边垂直的性质，A、D的纵坐标等于边长，横坐标分别与B、C相同，即可求出A、D坐标。
（2）判断点是否在直线上：只需将点A的横坐标代入直线解析式，计算出对应的y值，和点A的纵坐标比较，若相等则点在直线上，反之则不在。
（3）求t的取值范围：直线l与边AD有公共点的临界情况是直线刚好经过点A和点D，先利用点M的坐标求出含参数t的直线l解析式，再分别将A、D坐标代入解析式求出对应的t值，即可得到t的取值范围。
【解析】
(1) 已知正方形ABCD边长为3，BC在x轴上，BC中点为原点O，因此$OB=OC=\frac{3}{2}$，即$B(-\frac{3}{2},0)$，$C(\frac{3}{2},0)$。因为AB⊥BC、CD⊥BC，AB=CD=3，所以A点横坐标与B相同，纵坐标为3，即$A(-\frac{3}{2},3)$；D点横坐标与C相同，纵坐标为3，即$D(\frac{3}{2},3)$。
(2) 将点A的横坐标$x=-\frac{3}{2}$代入直线$y=2x+4$，得$y=2×(-\frac{3}{2})+4=1$，点A的纵坐标为3，$1≠3$，因此点A不在直线l上。
(3) 设直线l的解析式为$y=kx+t$，将$M(-2,0)$代入得$0=-2k+t$，解得$k=\frac{1}{2}t$，因此直线l解析式为$y=\frac{1}{2}tx+t$。
当直线l过点$A(-\frac{3}{2},3)$时，代入得$3=\frac{1}{2}t×(-\frac{3}{2})+t=\frac{1}{4}t$，解得$t=12$。
当直线l过点$D(\frac{3}{2},3)$时，代入得$3=\frac{1}{2}t×\frac{3}{2}+t=\frac{7}{4}t$，解得$t=\frac{12}{7}$。
因此直线l与边AD有公共点时，t的取值范围为$\frac{12}{7}≤t≤12$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-\dfrac{3}{2},3)}$；$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},3)}$
(2) 点A不在直线l上，理由见解析
(3) $\boldsymbol{\dfrac{12}{7}≤ t≤12}$
【知识点】
1. 平面直角坐标系点的坐标
2. 一次函数图象上点的特征
3. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合正方形性质考查一次函数的基础应用，前两问为基础题型，考查坐标计算、点与直线位置关系的判断方法；第三问为动态范围问题，需要抓住直线与线段相交的临界位置求解，注重对基础方法和临界思维的考查。
【难度系数】
0.65