10. 已知$a$和$b$是方程$x^2 + 2024x - 4 = 0$的两个解，则$a^2 + 2023a - b$的值为 （ ）
A. 2020
B. 2024
C. 2026
D. 2028

D

11. 已知关于$ x $的方程$ x^2 + bx + 3 = 0 $的一根为$ x = \sqrt{5} + \sqrt{2} $，则方程的另一根为______．

$x=\sqrt{5}-\sqrt{2}$

12.（易错题）(2024·崇川期中)已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 4x + m = 0 $，若方程的两个实数根分别为$ x_1, x_2 $，且$ (x_1 - m)(x_2 - m) = 10 $，则$ m $的值为______．

$-2$

13. (2023·南充)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m - 1)x - 3m^2 + m = 0 $。
（1）求证：无论 $ m $ 为何值，方程总有实数根；
（2）若 $ x_1, x_2 $ 是方程的两个实数根，且 $ \dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2} = -\dfrac{5}{2} $，求 $ m $ 的值。

(1) 证明：$\because\Delta =[-(2m - 1)]^2 - 4×1×(-3m^2 + m)=4m^2 - 4m + 1 + 12m^2 - 4m = 16m^2 - 8m + 1=(4m - 1)^2\geq0，$ $\therefore$无论$m$为何值，方程总有实数根。 (2) 解：由题意知，$x_1 + x_2 = 2m - 1，$$x_1x_2 = - 3m^2 + m。$ $\because\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1x_2}-2=-\frac{5}{2}，$ $\therefore\frac{(2m - 1)^2}{-3m^2 + m}-2=-\frac{5}{2}。$ 方程两边同时乘以$2(-3m^2 + m)$去分母得： $2(2m - 1)^2-4(-3m^2 + m)=-5(-3m^2 + m)，$ $2(4m^2 - 4m + 1)+12m^2 - 4m = 15m^2 - 5m，$ $8m^2 - 8m + 2 + 12m^2 - 4m = 15m^2 - 5m，$ $20m^2 - 12m + 2 = 15m^2 - 5m，$ 移项合并得$5m^2 - 7m + 2 = 0，$ 因式分解得$(5m - 2)(m - 1)=0，$ 解得$m = 1$或$m=\frac{2}{5}。$

14. 我们知道，如果$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2+px+q=0$的两个根，那么$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$，故$p=-(x_1+x_2)$，$q=x_1x_2$。由此可以看出，以$x_1,x_2$为根的一元二次方程是$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$。据此解答下列问题：
（1）以1，2为根的一元二次方程是______；以0，-1为根的一元二次方程是______；以$-\sqrt{2},-\sqrt{2}$为根的一元二次方程是______。
（2）两根之和为5，两根之积为3的一元二次方程是______；两根之和为0，两根之积为$-2025$的一元二次方程是______。
（3）已知两个数的和为5，积为6，求这两个数。

$x^2 - 3x + 2 = 0$ ; $x^2 + x = 0$ ; $x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$ ; $x^2 - 5x + 3 = 0$ ; $x^2 - 2025 = 0$ ; 解：设这两个数为$x_1，$$x_2$（$x_1\leq x_2$）。由题意，可知$x_1，$$x_2$是方程$x^2 - 5x + 6 = 0$的两个根， 对于方程$x^2 - 5x + 6 = 0，$因式分解得$(x - 2)(x - 3)=0，$ 则$x - 2 = 0$或$x - 3 = 0，$ 解得$x_1 = 2，$$x_2 = 3。$ $\therefore$这两个数分别是$2，$$3。$