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11.(7分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=BC$,点$D$在$BC$上,$DE\perp AB$,点$E$为垂足,且$DE=DC$,连接$AD$.求$\angle ADB$的度数.
答案
112.5°
解析
∵∠C=90°，AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=∠B=45°。
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠C。
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）。
∴∠CAD=∠EAD=∠CAB/2=22.5°。
在△ADB中，∠DAB=22.5°，∠B=45°，
∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-22.5°-45°=112.5°。
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠C。
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）。
∴∠CAD=∠EAD=∠CAB/2=22.5°。
在△ADB中，∠DAB=22.5°，∠B=45°，
∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-22.5°-45°=112.5°。
12.(7分)如图,$AD$是$\angle BAC$的平分线,$DE\perp AB$于点$E$,$DF\perp AC$于点$F$,且$DB=DC$.
求证:$BE=CF$.
求证:$BE=CF$.
答案
证明：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∵DB=DC，DE=DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴BE=CF。
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∵DB=DC，DE=DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴BE=CF。
