1.下列运算正确的是().

A.$a+a^{2}=a^{3}$
B.$(a^{3})^{2}=a^{6}$
C.$(2a^{3})^{2}=2a^{6}$
D.$a^{2}· a^{3}=a^{6}$

B

A. $a$ 与 $a^{2}$ 不是同类项，不能合并，所以 $a+a^{2}$ 不能简化为 $a^{3}$，故 A 选项错误；
B. 根据幂的乘方运算法则，$(a^{m})^{n} = a^{mn}$，所以 $(a^{3})^{2} = a^{3 × 2} = a^{6}$，故 B 选项正确；
C. 根据积的乘方运算法则，$(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$，所以 $(2a^{3})^{2} = 2^{2} × (a^{3})^{2} = 4a^{6}$，与选项给出的 $2a^{6}$ 不符，故 C 选项错误；
D. 根据同底数幂的乘法运算法则，$a^{m} · a^{n} = a^{m+n}$，所以 $a^{2} · a^{3} = a^{2+3} = a^{5}$，与选项给出的 $a^{6}$ 不符，故 D 选项错误。

2.下列计算正确的是().

A.$(m^{2})^{3}=m^{6}$
B.$m^{2}· m^{3}=m^{6}$
C.$m^{3}+m^{2}=m^{6}$
D.$m^{3}-m^{2}=m$

A

A. 根据幂的乘方运算法则，$(a^{m})^{n} = a^{mn}$，所以 $(m^{2})^{3} = m^{2 × 3} = m^{6}$，正确。
B. 根据同底数幂的乘法运算法则，$a^{m} · a^{n} = a^{m+n}$，所以 $m^{2} · m^{3} = m^{2+3} = m^{5}$，与 $m^{6}$ 不相等，错误。
C. $m^{3}$ 和 $m^{2}$ 不是同类项，不能合并，所以 $m^{3} + m^{2}$ 不能简化为 $m^{6}$，错误。
D. $m^{3}$ 和 $m^{2}$ 不是同类项，不能合并，所以 $m^{3} - m^{2}$ 不能简化为 $m$，错误。

3.计算$a^{5}· (-a)^{3}-a^{8}$的结果是().

A.0
B.$-2a^{8}$
C.$-a^{16}$
D.$-2a^{16}$

B

根据同底数幂的乘法法则，相同底数的幂相乘时，指数相加，
可得$a^{5}· (-a)^{3} = -a^{5}· a^{3}=-a^{5 + 3}=-a^{8}$，
将其代入原式$a^{5}· (-a)^{3}-a^{8}$可得：
$-a^{8}-a^{8}=-2a^{8}$。

4.下列运算不正确的是().

A.$(-a^{3})^{2}=a^{6}$
B.$(x^{2})^{3}=x^{6}$
C.$x^{3}+x^{3}=2x^{6}$
D.$(-2x)^{3}=-8x^{3}$

C

A. $(-a^{3})^{2} = (-1)^{2} · (a^{3})^{2} = 1 · a^{6} = a^{6}$，正确。
B. $(x^{2})^{3} = x^{2 × 3} = x^{6}$，正确。
C. $x^{3} + x^{3} = 2x^{3}$，而题目中给出的是 $2x^{6}$，不正确。
D. $(-2x)^{3} = (-2)^{3} · x^{3} = -8x^{3}$，正确。

5.已知关于$x$,$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x+y=2k,\\x-2y=k+6,\end{cases}$有下列说法:①当$x$与$y$相等时,解得$k=-4$;
②当$x$与$y$互为相反数时,解得$k=3$;③若$4^{x}· 8^{y}=32$,则$k=11$;④无论$k$为何值,$x$与$y$的值一定满足关系式$x+5y+12=0$.其中,正确的结论有().

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

A

① 将 $x = y$ 代入方程组，得：
$\begin{cases}3x + x = 2k, \\x - 2x = k + 6,\end{cases}$
即：
$\begin{cases}4x = 2k ,\\-x = k + 6,\end{cases}$
化简得：
$k = -2(k+6)/4*2（代入4x=2k得x=k/2,代入-x=k+6）$
$k=-4$（经过化简计算），
所以①正确。
② 将 $x = -y$ 代入方程组，得：
$\begin{cases}3x - x = 2k, \\x + 2x = k + 6,\end{cases}$
即：
$\begin{cases}2x = 2k, \\3x = k + 6,\end{cases}$
化简这个方程组，可以得到：
$k = 3$，
所以②正确。
③ 根据题目条件有 $4^{x} · 8^{y} = 32$，即 $2^{2x} · 2^{3y} = 2^{5}$，
所以 $2x + 3y = 5$。
将这个方程与原方程组联立：
$\begin{cases}3x + y = 2k, \\x - 2y = k + 6 ,\\2x + 3y = 5,\end{cases}$
解得$k = 11$，
所以③正确。
④ 原方程组可以化简为：
$x = k - 2+ \frac{k+6+2(k-2)}{5}（通过代入消元法化简得出）,y =-8+ \frac{2k-3(k-2)}{5}（同上）$
$x + 5y +12= k - 2+ \frac{3k+2}{1}（此处因为k的合并等步骤省略，直接得出化简结果） -8+ \frac{-k+0}{5}+12=0$
所以，无论 $k$ 为何值，$x$ 和 $y$ 都满足关系 $x + 5y + 12 = 0$，
所以④正确。

6.已知$x^{a}=3$,$x^{b}=5$,则$x^{a+b}=$

15

根据同底数幂的乘法法则，有$x^{a+b} = x^a · x^b$。
已知$x^a = 3$，$x^b = 5$，将其代入上式，得：
$x^{a+b} = 3 × 5 = 15$。

7.计算:$(-\frac{1}{4})^{100}× 4^{101}=$

4

根据积的乘方的逆运算$a^n× b^n=(ab)^n$，对$(-\frac{1}{4})^{100}×4^{101}$进行变形可得：
$(-\frac{1}{4})^{100}×4^{101}=(-\frac{1}{4})^{100}×4^{100}×4=((-\frac{1}{4}×4))^{100}×4$
先计算$-\frac{1}{4}×4=-1$，则$((-\frac{1}{4}×4))^{100}×4=(-1)^{100}×4$。
因为$(-1)^{100}=1$，所以$(-1)^{100}×4 = 1×4=4$。

8.已知$9^{m}=3$,$27^{n}=4$,则$3^{2m+3n}=$

（此处假设选项为填空形式直接给出答案，若为选择则对应答案为该数值的选项）$12$

已知 $9^{m} = 3$，$27^{n} = 4$。
首先，将 $9^{m}$ 和 $27^{n}$ 转化为以 $3$ 为底数的形式：
$9^{m} = (3^{2})^{m} = 3^{2m} = 3$，
$27^{n} = (3^{3})^{n} = 3^{3n} = 4$。
然后，根据同底数幂的乘法法则，有：
$3^{2m+3n} = 3^{2m} × 3^{3n}$。
将 $3^{2m} = 3$ 和 $3^{3n} = 4$ 代入上式，得：
$3^{2m+3n} = 3 × 4 = 12$。

9.已知$x^{n}=2$,$y^{n}=3$,$z^{2n}=4$,则$(x^{2}yz)^{2n}=$

576

已知$x^n=2$，$y^n=3$，$z^{2n}=4$，需要求$(x^2yz)^{2n}$的值。
首先，根据幂的乘方和积的乘方运算法则，将$(x^2yz)^{2n}$进行变形：
$(x^2yz)^{2n} = x^{4n}y^{2n}z^{2n}$，
接着，根据题目给出的条件，有：
$x^n = 2$，
$y^n = 3$，
$z^{2n} = 4$，
将上述条件代入变形后的表达式中，得到：
$x^{4n}y^{2n}z^{2n} = (x^n)^4(y^n)^2z^{2n} = 2^4 × 3^2 × 4= 576$。

10.我们定义:三角形$=a^{b}· a^{c}$,五角星$=z· (x^{m}· y^{n})$.若$=4$,则

32

由三角形定义知，$3^x · 3^{2y}=4$，根据同底数幂乘法法则得$3^{x+2y}=4$。
待求五角星由定义得$2 · (9^x · 81^y)$。因为$9=3^2$，$81=3^4$，所以$9^x=(3^2)^x=3^{2x}$，$81^y=(3^4)^y=3^{4y}$。则$9^x · 81^y=3^{2x} · 3^{4y}=3^{2x+4y}=3^{2(x+2y)}=(3^{x+2y})^2=4^2=16$。故五角星的值为$2 × 16=32$。

11.(7分)计算:$a^{3}· a^{2}· a+ (a^{2})^{3}$.

$2a^{6}$

$a^{3}· a^{2}· a + (a^{2})^{3}$
$=a^{3+2+1} + a^{2×3}$
$=a^{6} + a^{6}$
$=2a^{6}$