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1. 建筑工地要用 $ 500 \, \mathrm{m}^3 $ 的沙石，现取这种沙石 $ 1 × 10^{-3} \, \mathrm{m}^3 $，测得其质量为 $ 2.6 \, \mathrm{kg} $，则：
- （1）这种沙石的密度是多大？
- （2）若用载重为 $ 4 \, \mathrm{t} $ 的卡车运送，需要多少辆车？
- （1）这种沙石的密度是多大？
- （2）若用载重为 $ 4 \, \mathrm{t} $ 的卡车运送，需要多少辆车？
答案
1．（1）这种沙石的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{2.6\ \mathrm{kg}}{1 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（2）由$\rho=\frac{m}{V}$可得，沙石的总质量$m_{\mathrm{总}}=\rho V_{\mathrm{总}}=2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 500\ \mathrm{m}^3=1.3 × 10^6\ \mathrm{kg}=1300\ \mathrm{t}$，则需运送的车数$n=\frac{m_{\mathrm{总}}}{m_{\mathrm{载}}}=\frac{1300\ \mathrm{t}}{4\ \mathrm{t}}=325$
（2）由$\rho=\frac{m}{V}$可得，沙石的总质量$m_{\mathrm{总}}=\rho V_{\mathrm{总}}=2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 500\ \mathrm{m}^3=1.3 × 10^6\ \mathrm{kg}=1300\ \mathrm{t}$，则需运送的车数$n=\frac{m_{\mathrm{总}}}{m_{\mathrm{载}}}=\frac{1300\ \mathrm{t}}{4\ \mathrm{t}}=325$
解析
【分析】
（1）求沙石的密度，根据密度的定义公式$\rho=\frac{m}{V}$，已知样品沙石的质量和体积，直接代入公式计算即可。
（2）先利用密度公式的变形公式$m=\rho V$求出$500\ \mathrm{m}^3$沙石的总质量，注意单位换算，将总质量的单位换算为吨后，除以每辆卡车的载重，即可得到需要的卡车数量，计算时要保证结果符合实际运输需求（本题结果为整数，无需进一）。
【解析】
（1）已知样品沙石的质量$m=2.6\ \mathrm{kg}$，体积$V=1 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得这种沙石的密度：
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{2.6\ \mathrm{kg}}{1 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（2）已知沙石总体积$V_{\mathrm{总}}=500\ \mathrm{m}^3$，由$\rho=\frac{m}{V}$变形得$m=\rho V$，则沙石的总质量：
$m_{\mathrm{总}}=\rho V_{\mathrm{总}}=2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 500\ \mathrm{m}^3=1.3 × 10^6\ \mathrm{kg}=1300\ \mathrm{t}$
每辆卡车的载重$m_{\mathrm{载}}=4\ \mathrm{t}$，则需要的卡车数量：
$n=\frac{m_{\mathrm{总}}}{m_{\mathrm{载}}}=\frac{1300\ \mathrm{t}}{4\ \mathrm{t}}=325$（辆）
【答案】
（1）$2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；（2）325辆
【知识点】
密度的计算；单位换算；质量与体积的关系
【点评】
本题是密度知识的基础应用，重点考查密度公式及其变形公式的运用，解题过程中要注意单位的统一，运输车辆数的计算需结合实际情况，确保所有沙石都能被运送。
【难度系数】
0.8
（1）求沙石的密度，根据密度的定义公式$\rho=\frac{m}{V}$，已知样品沙石的质量和体积，直接代入公式计算即可。
（2）先利用密度公式的变形公式$m=\rho V$求出$500\ \mathrm{m}^3$沙石的总质量，注意单位换算，将总质量的单位换算为吨后，除以每辆卡车的载重，即可得到需要的卡车数量，计算时要保证结果符合实际运输需求（本题结果为整数，无需进一）。
【解析】
（1）已知样品沙石的质量$m=2.6\ \mathrm{kg}$，体积$V=1 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得这种沙石的密度：
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{2.6\ \mathrm{kg}}{1 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（2）已知沙石总体积$V_{\mathrm{总}}=500\ \mathrm{m}^3$，由$\rho=\frac{m}{V}$变形得$m=\rho V$，则沙石的总质量：
$m_{\mathrm{总}}=\rho V_{\mathrm{总}}=2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 500\ \mathrm{m}^3=1.3 × 10^6\ \mathrm{kg}=1300\ \mathrm{t}$
每辆卡车的载重$m_{\mathrm{载}}=4\ \mathrm{t}$，则需要的卡车数量：
$n=\frac{m_{\mathrm{总}}}{m_{\mathrm{载}}}=\frac{1300\ \mathrm{t}}{4\ \mathrm{t}}=325$（辆）
【答案】
（1）$2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；（2）325辆
【知识点】
密度的计算；单位换算；质量与体积的关系
【点评】
本题是密度知识的基础应用，重点考查密度公式及其变形公式的运用，解题过程中要注意单位的统一，运输车辆数的计算需结合实际情况，确保所有沙石都能被运送。
【难度系数】
0.8
2. （2024·盐城滨海段考）小华家的晒谷场上有一堆稻谷，体积为 $ 6 \, \mathrm{m}^3 $，为了估测这堆稻谷的质量，他用一只空桶平平地装满一桶稻谷，测得桶中的稻谷的质量为 $ 13.2 \, \mathrm{kg} $，再用这只桶装满一桶水，测得桶中水的质量为 $ 12 \, \mathrm{kg} $，则：
- （1）桶的容积是多少？
- （2）稻谷的密度是多少？
- （3）这堆稻谷的总质量为多少吨？
- （1）桶的容积是多少？
- （2）稻谷的密度是多少？
- （3）这堆稻谷的总质量为多少吨？
答案
2．（1）由$\rho=\frac{m}{V}$可得，桶的容积$V_{\mathrm{桶}}=V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{12\ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=0.012\ \mathrm{m}^3$
（2）空桶平平地装满一桶稻谷时，稻谷的体积$V=V_{\mathrm{桶}}=0.012\ \mathrm{m}^3$，稻谷的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{13.2\ \mathrm{kg}}{0.012\ \mathrm{m}^3}=1.1 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（3）这堆稻谷的总质量$m_{\mathrm{总}}=\rho V_{\mathrm{总}}=1.1 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 6\ \mathrm{m}^3=6.6 × 10^3\ \mathrm{kg}=6.6\ \mathrm{t}$
（2）空桶平平地装满一桶稻谷时，稻谷的体积$V=V_{\mathrm{桶}}=0.012\ \mathrm{m}^3$，稻谷的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{13.2\ \mathrm{kg}}{0.012\ \mathrm{m}^3}=1.1 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（3）这堆稻谷的总质量$m_{\mathrm{总}}=\rho V_{\mathrm{总}}=1.1 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 6\ \mathrm{m}^3=6.6 × 10^3\ \mathrm{kg}=6.6\ \mathrm{t}$
解析
【分析】
（1）要计算桶的容积，因为桶装满水时，水的体积等于桶的容积，已知水的质量和水的密度，根据密度公式的变形公式$V=\frac{m}{\rho}$即可求出桶的容积；
（2）桶装满稻谷时，稻谷的体积等于桶的容积，已知桶中稻谷的质量，利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$就能算出稻谷的密度；
（3）已知这堆稻谷的总体积和稻谷的密度，根据密度公式的变形公式$m=\rho V$可求出总质量，最后进行单位换算得到以吨为单位的结果。
【解析】
（1）水的密度$\rho_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$可得，桶的容积：
$V_{\mathrm{桶}}=V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{12\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=0.012\ \mathrm{m}^3$
（2）桶中稻谷的体积等于桶的容积，即$V_{\mathrm{谷}}=V_{\mathrm{桶}}=0.012\ \mathrm{m}^3$，则稻谷的密度：
$\rho_{\mathrm{谷}}=\frac{m_{\mathrm{谷}}}{V_{\mathrm{谷}}}=\frac{13.2\ \mathrm{kg}}{0.012\ \mathrm{m}^3}=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（3）这堆稻谷的总质量：
$m_{\mathrm{总}}=\rho_{\mathrm{谷}}V_{\mathrm{总}}=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×6\ \mathrm{m}^3=6.6×10^3\ \mathrm{kg}=6.6\ \mathrm{t}$
【答案】
（1）$0.012\ \mathrm{m}^3$；
（2）$1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
（3）$6.6$吨。
【知识点】
密度公式的应用；单位换算；密度的计算
【点评】
本题考查密度公式的灵活应用，通过利用桶的容积作为中间量，将稻谷的体积与水的体积联系起来，是典型的等效替代法在实际问题中的应用，解题过程中要注意单位的统一与换算，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
（1）要计算桶的容积，因为桶装满水时，水的体积等于桶的容积，已知水的质量和水的密度，根据密度公式的变形公式$V=\frac{m}{\rho}$即可求出桶的容积；
（2）桶装满稻谷时，稻谷的体积等于桶的容积，已知桶中稻谷的质量，利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$就能算出稻谷的密度；
（3）已知这堆稻谷的总体积和稻谷的密度，根据密度公式的变形公式$m=\rho V$可求出总质量，最后进行单位换算得到以吨为单位的结果。
【解析】
（1）水的密度$\rho_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$可得，桶的容积：
$V_{\mathrm{桶}}=V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{12\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=0.012\ \mathrm{m}^3$
（2）桶中稻谷的体积等于桶的容积，即$V_{\mathrm{谷}}=V_{\mathrm{桶}}=0.012\ \mathrm{m}^3$，则稻谷的密度：
$\rho_{\mathrm{谷}}=\frac{m_{\mathrm{谷}}}{V_{\mathrm{谷}}}=\frac{13.2\ \mathrm{kg}}{0.012\ \mathrm{m}^3}=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（3）这堆稻谷的总质量：
$m_{\mathrm{总}}=\rho_{\mathrm{谷}}V_{\mathrm{总}}=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×6\ \mathrm{m}^3=6.6×10^3\ \mathrm{kg}=6.6\ \mathrm{t}$
【答案】
（1）$0.012\ \mathrm{m}^3$；
（2）$1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
（3）$6.6$吨。
【知识点】
密度公式的应用；单位换算；密度的计算
【点评】
本题考查密度公式的灵活应用，通过利用桶的容积作为中间量，将稻谷的体积与水的体积联系起来，是典型的等效替代法在实际问题中的应用，解题过程中要注意单位的统一与换算，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
3. （2025·无锡模拟）小明在实验室找到一只玻璃瓶，称得其质量为 $ 0.1 \, \mathrm{kg} $，当他将瓶子装满水时测得总质量为 $ 0.4 \, \mathrm{kg} $，若在该瓶中装满金属颗粒，称得总质量为 $ 0.8 \, \mathrm{kg} $，再往瓶中加满水，称得其总质量为 $ 1 \, \mathrm{kg} $。求：$ (\rho_{\mathrm{水}} = 1.0 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3) $
- （1）瓶子的容积。
- （2）金属颗粒的体积。
- （3）金属颗粒的密度。
- （1）瓶子的容积。
- （2）金属颗粒的体积。
- （3）金属颗粒的密度。
答案
$(1)$ 求瓶子的容积
解：
- 首先求装满水时水的质量$m_{水1}$：
已知瓶子质量$m_{瓶}=0.1\,\mathrm{kg}$，装满水时总质量$m_{总1}=0.4\,\mathrm{kg}$，根据$m_{水1}=m_{总1}-m_{瓶}$，可得$m_{水1}=0.4\,\mathrm{kg}- 0.1\,\mathrm{kg}=0.3\,\mathrm{kg}$。
- 然后根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$（变形为$V = \frac{m}{\rho}$）求瓶子容积$V_{瓶}$：
因为瓶子装满水时，$V_{瓶}=V_{水1}$，已知$\rho_{水}=1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$，由$V_{水1}=\frac{m_{水1}}{\rho_{水}}$，则$V_{瓶}=\frac{0.3\,\mathrm{kg}}{1.0× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}} = 3× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
$(2)$ 求金属颗粒的体积
解：
- 先求再加入水的质量$m_{水2}$：
已知装满金属颗粒后总质量$m_{总2}=0.8\,\mathrm{kg}$，再装满水后总质量$m_{总3}=1\,\mathrm{kg}$，则$m_{水2}=m_{总3}-m_{总2}=1\,\mathrm{kg}-0.8\,\mathrm{kg}=0.2\,\mathrm{kg}$。
接着求再加入水的体积$V_{水2}$：
由$\rho=\frac{m}{V}$（变形为$V = \frac{m}{\rho}$），$\rho_{水}=1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$，$V_{水2}=\frac{m_{水2}}{\rho_{水}}=\frac{0.2\,\mathrm{kg}}{1.0× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}} = 2× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
最后求金属颗粒体积$V_{金}$：
因为$V_{瓶}=V_{金}+V_{水2}$，所以$V_{金}=V_{瓶}-V_{水2}$，$V_{金}=3× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}-2× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}=1× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
$(3)$ 求金属颗粒的密度
解：
先求金属颗粒质量$m_{金}$：
已知$m_{总2}=0.8\,\mathrm{kg}$，$m_{瓶}=0.1\,\mathrm{kg}$，$m_{金}=m_{总2}-m_{瓶}=0.8\,\mathrm{kg}-0.1\,\mathrm{kg}=0.7\,\mathrm{kg}$。
再根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$求金属颗粒密度$\rho_{金}$：
$\rho_{金}=\frac{m_{金}}{V_{金}}=\frac{0.7\,\mathrm{kg}}{1× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}} = 7× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{3× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}$；$(2)$$\boldsymbol{1× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}$；$(3)$$\boldsymbol{7× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}}$。
解：
- 首先求装满水时水的质量$m_{水1}$：
已知瓶子质量$m_{瓶}=0.1\,\mathrm{kg}$，装满水时总质量$m_{总1}=0.4\,\mathrm{kg}$，根据$m_{水1}=m_{总1}-m_{瓶}$，可得$m_{水1}=0.4\,\mathrm{kg}- 0.1\,\mathrm{kg}=0.3\,\mathrm{kg}$。
- 然后根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$（变形为$V = \frac{m}{\rho}$）求瓶子容积$V_{瓶}$：
因为瓶子装满水时，$V_{瓶}=V_{水1}$，已知$\rho_{水}=1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$，由$V_{水1}=\frac{m_{水1}}{\rho_{水}}$，则$V_{瓶}=\frac{0.3\,\mathrm{kg}}{1.0× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}} = 3× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
$(2)$ 求金属颗粒的体积
解：
- 先求再加入水的质量$m_{水2}$：
已知装满金属颗粒后总质量$m_{总2}=0.8\,\mathrm{kg}$，再装满水后总质量$m_{总3}=1\,\mathrm{kg}$，则$m_{水2}=m_{总3}-m_{总2}=1\,\mathrm{kg}-0.8\,\mathrm{kg}=0.2\,\mathrm{kg}$。
接着求再加入水的体积$V_{水2}$：
由$\rho=\frac{m}{V}$（变形为$V = \frac{m}{\rho}$），$\rho_{水}=1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$，$V_{水2}=\frac{m_{水2}}{\rho_{水}}=\frac{0.2\,\mathrm{kg}}{1.0× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}} = 2× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
最后求金属颗粒体积$V_{金}$：
因为$V_{瓶}=V_{金}+V_{水2}$，所以$V_{金}=V_{瓶}-V_{水2}$，$V_{金}=3× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}-2× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}=1× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
$(3)$ 求金属颗粒的密度
解：
先求金属颗粒质量$m_{金}$：
已知$m_{总2}=0.8\,\mathrm{kg}$，$m_{瓶}=0.1\,\mathrm{kg}$，$m_{金}=m_{总2}-m_{瓶}=0.8\,\mathrm{kg}-0.1\,\mathrm{kg}=0.7\,\mathrm{kg}$。
再根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$求金属颗粒密度$\rho_{金}$：
$\rho_{金}=\frac{m_{金}}{V_{金}}=\frac{0.7\,\mathrm{kg}}{1× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}} = 7× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{3× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}$；$(2)$$\boldsymbol{1× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}$；$(3)$$\boldsymbol{7× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}}$。
解析
【分析】
1. 求解瓶子容积：瓶子装满水时，水的体积等于瓶子容积。先通过总质量与瓶子质量的差值求出水的质量，再利用密度公式的变形公式$V=\frac{m}{\rho}$计算水的体积，即瓶子容积。
2. 求解金属颗粒体积：瓶子容积固定，装满金属颗粒后再加水，金属颗粒体积与加入水的体积之和等于瓶子容积。先算出再次加水的质量，再用密度公式求出加水的体积，最后用瓶子容积减去加水体积得到金属颗粒体积。
3. 求解金属颗粒密度：先通过装满金属颗粒的总质量与瓶子质量的差值得到金属颗粒质量，结合已求出的金属颗粒体积，利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算金属颗粒密度。
【解析】
(1) 求瓶子的容积
解：
计算装满水时水的质量：
已知$m_{瓶}=0.1\,\mathrm{kg}$，$m_{总1}=0.4\,\mathrm{kg}$，则$m_{水1}=m_{总1}-m_{瓶}=0.4\,\mathrm{kg}-0.1\,\mathrm{kg}=0.3\,\mathrm{kg}$。
根据密度公式求瓶子容积：
由$\rho=\frac{m}{V}$变形得$V=\frac{m}{\rho}$，因为瓶子装满水时$V_{瓶}=V_{水1}$，代入$\rho_{水}=1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$，可得：
$V_{瓶}=\frac{m_{水1}}{\rho_{水}}=\frac{0.3\,\mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}}=3×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
(2) 求金属颗粒的体积
解：
计算再次加入水的质量：
已知$m_{总2}=0.8\,\mathrm{kg}$，$m_{总3}=1\,\mathrm{kg}$，则$m_{水2}=m_{总3}-m_{总2}=1\,\mathrm{kg}-0.8\,\mathrm{kg}=0.2\,\mathrm{kg}$。
计算再次加入水的体积：
由$\rho=\frac{m}{V}$变形得$V=\frac{m}{\rho}$，代入数据可得：
$V_{水2}=\frac{m_{水2}}{\rho_{水}}=\frac{0.2\,\mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}}=2×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
计算金属颗粒的体积：
因为$V_{瓶}=V_{金}+V_{水2}$，所以$V_{金}=V_{瓶}-V_{水2}=3×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}-2×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}=1×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
(3) 求金属颗粒的密度
解：
计算金属颗粒的质量：
已知$m_{总2}=0.8\,\mathrm{kg}$，$m_{瓶}=0.1\,\mathrm{kg}$，则$m_{金}=m_{总2}-m_{瓶}=0.8\,\mathrm{kg}-0.1\,\mathrm{kg}=0.7\,\mathrm{kg}$。
根据密度公式计算金属颗粒的密度：
$\rho_{金}=\frac{m_{金}}{V_{金}}=\frac{0.7\,\mathrm{kg}}{1×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}=7×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}$；
(2) $\boldsymbol{1×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}$；
(3) $\boldsymbol{7×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}}$。
【知识点】
1. 密度公式的应用；
2. 体积间接计算；
3. 质量差值计算。
【点评】
本题是密度知识的综合应用题，核心是抓住瓶子容积不变的等量关系，通过质量差值法求出相关物质的质量，进而结合密度公式计算体积与密度，题型基础，能有效巩固密度相关基础知识。
【难度系数】
0.6
1. 求解瓶子容积：瓶子装满水时，水的体积等于瓶子容积。先通过总质量与瓶子质量的差值求出水的质量，再利用密度公式的变形公式$V=\frac{m}{\rho}$计算水的体积，即瓶子容积。
2. 求解金属颗粒体积：瓶子容积固定，装满金属颗粒后再加水，金属颗粒体积与加入水的体积之和等于瓶子容积。先算出再次加水的质量，再用密度公式求出加水的体积，最后用瓶子容积减去加水体积得到金属颗粒体积。
3. 求解金属颗粒密度：先通过装满金属颗粒的总质量与瓶子质量的差值得到金属颗粒质量，结合已求出的金属颗粒体积，利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算金属颗粒密度。
【解析】
(1) 求瓶子的容积
解：
计算装满水时水的质量：
已知$m_{瓶}=0.1\,\mathrm{kg}$，$m_{总1}=0.4\,\mathrm{kg}$，则$m_{水1}=m_{总1}-m_{瓶}=0.4\,\mathrm{kg}-0.1\,\mathrm{kg}=0.3\,\mathrm{kg}$。
根据密度公式求瓶子容积：
由$\rho=\frac{m}{V}$变形得$V=\frac{m}{\rho}$，因为瓶子装满水时$V_{瓶}=V_{水1}$，代入$\rho_{水}=1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$，可得：
$V_{瓶}=\frac{m_{水1}}{\rho_{水}}=\frac{0.3\,\mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}}=3×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
(2) 求金属颗粒的体积
解：
计算再次加入水的质量：
已知$m_{总2}=0.8\,\mathrm{kg}$，$m_{总3}=1\,\mathrm{kg}$，则$m_{水2}=m_{总3}-m_{总2}=1\,\mathrm{kg}-0.8\,\mathrm{kg}=0.2\,\mathrm{kg}$。
计算再次加入水的体积：
由$\rho=\frac{m}{V}$变形得$V=\frac{m}{\rho}$，代入数据可得：
$V_{水2}=\frac{m_{水2}}{\rho_{水}}=\frac{0.2\,\mathrm{kg}}{1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}}=2×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
计算金属颗粒的体积：
因为$V_{瓶}=V_{金}+V_{水2}$，所以$V_{金}=V_{瓶}-V_{水2}=3×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}-2×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}=1×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
(3) 求金属颗粒的密度
解：
计算金属颗粒的质量：
已知$m_{总2}=0.8\,\mathrm{kg}$，$m_{瓶}=0.1\,\mathrm{kg}$，则$m_{金}=m_{总2}-m_{瓶}=0.8\,\mathrm{kg}-0.1\,\mathrm{kg}=0.7\,\mathrm{kg}$。
根据密度公式计算金属颗粒的密度：
$\rho_{金}=\frac{m_{金}}{V_{金}}=\frac{0.7\,\mathrm{kg}}{1×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}=7×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}$；
(2) $\boldsymbol{1×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}$；
(3) $\boldsymbol{7×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}}$。
【知识点】
1. 密度公式的应用；
2. 体积间接计算；
3. 质量差值计算。
【点评】
本题是密度知识的综合应用题，核心是抓住瓶子容积不变的等量关系，通过质量差值法求出相关物质的质量，进而结合密度公式计算体积与密度，题型基础，能有效巩固密度相关基础知识。
【难度系数】
0.6
4. （2024·商洛洛南校级段考）人类在新材料探索的道路上一直进行着不懈努力，世界上密度最小的固体“气凝胶”就是新材料探索的重要成果，该物质的坚固耐用程度不亚于钢材，并且能承受 $ 1100 \, ° \mathrm{C} $ 的高温，而密度只有 $ 3 \, \mathrm{kg/m}^3 $。已知某大型飞机采用现在盛行的超高强度结构钢制造，耗钢 $ 126.4 \, \mathrm{t} $；若采用“气凝胶”代替钢材来制造一架同样大小的飞机，则：$ (\rho_{\mathrm{钢}} = 7.9 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3) $
- （1）该“气凝胶”飞机的体积是多少？
- （2）“气凝胶”飞机的质量比之前减小多少吨？
- （1）该“气凝胶”飞机的体积是多少？
- （2）“气凝胶”飞机的质量比之前减小多少吨？
答案
4．（1）根据题意，钢材的体积等于气凝胶的体积，由$\rho=\frac{m}{V}$得，“气凝胶”飞机的体积$V=V_{\mathrm{钢}}=\frac{m_{\mathrm{钢}}}{\rho_{\mathrm{钢}}}=\frac{126.4 × 1000\ \mathrm{kg}}{7.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=16\ \mathrm{m}^3$
（2）“气凝胶”飞机的质量$m=\rho_{\mathrm{气凝胶}}V=3\ \mathrm{kg/m}^3 × 16\ \mathrm{m}^3=48\ \mathrm{kg}=0.048\ \mathrm{t}$，“气凝胶”飞机比之前减小的质量$\Delta m=m_{\mathrm{钢}}-m=126.4\ \mathrm{t}-0.048\ \mathrm{t}=126.352\ \mathrm{t}$
（2）“气凝胶”飞机的质量$m=\rho_{\mathrm{气凝胶}}V=3\ \mathrm{kg/m}^3 × 16\ \mathrm{m}^3=48\ \mathrm{kg}=0.048\ \mathrm{t}$，“气凝胶”飞机比之前减小的质量$\Delta m=m_{\mathrm{钢}}-m=126.4\ \mathrm{t}-0.048\ \mathrm{t}=126.352\ \mathrm{t}$
解析
【分析】
要解决这道题，关键抓住“同样大小的飞机”这一条件，即气凝胶的体积与钢材的体积相等。
（1）对于第一问，已知钢材的质量和密度，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$的变形公式$V=\frac{m}{\rho}$，先算出钢材的体积，这个体积就是气凝胶飞机的体积。
（2）对于第二问，先利用密度公式算出气凝胶的质量，再将其单位换算为吨，最后用钢材的质量减去气凝胶的质量，就能得到减小的质量。
【解析】
（1）已知钢材的质量$m_{\mathrm{钢}}=126.4\ \mathrm{t}=126.4×1000\ \mathrm{kg}=1.264×10^5\ \mathrm{kg}$，钢材的密度$\rho_{\mathrm{钢}}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
因为飞机大小相同，所以气凝胶的体积等于钢材的体积，由$\rho=\frac{m}{V}$变形得：
$V=V_{\mathrm{钢}}=\frac{m_{\mathrm{钢}}}{\rho_{\mathrm{钢}}}=\frac{1.264×10^5\ \mathrm{kg}}{7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=16\ \mathrm{m}^3$
（2）已知气凝胶的密度$\rho_{\mathrm{气凝胶}}=3\ \mathrm{kg/m}^3$，体积$V=16\ \mathrm{m}^3$，根据$\rho=\frac{m}{V}$得气凝胶的质量：
$m_{\mathrm{气凝胶}}=\rho_{\mathrm{气凝胶}}V=3\ \mathrm{kg/m}^3×16\ \mathrm{m}^3=48\ \mathrm{kg}=0.048\ \mathrm{t}$
则气凝胶飞机比之前减小的质量：
$\Delta m=m_{\mathrm{钢}}-m_{\mathrm{气凝胶}}=126.4\ \mathrm{t}-0.048\ \mathrm{t}=126.352\ \mathrm{t}$
【答案】
（1）$16\ \mathrm{m}^3$；（2）$126.352\ \mathrm{t}$
【知识点】
密度公式的应用、单位换算
【点评】
本题考查密度公式的灵活运用，解题的关键是理解“同样大小的飞机”意味着两种材料的体积相等，同时要注意单位的统一换算，属于基础型计算题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，关键抓住“同样大小的飞机”这一条件，即气凝胶的体积与钢材的体积相等。
（1）对于第一问，已知钢材的质量和密度，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$的变形公式$V=\frac{m}{\rho}$，先算出钢材的体积，这个体积就是气凝胶飞机的体积。
（2）对于第二问，先利用密度公式算出气凝胶的质量，再将其单位换算为吨，最后用钢材的质量减去气凝胶的质量，就能得到减小的质量。
【解析】
（1）已知钢材的质量$m_{\mathrm{钢}}=126.4\ \mathrm{t}=126.4×1000\ \mathrm{kg}=1.264×10^5\ \mathrm{kg}$，钢材的密度$\rho_{\mathrm{钢}}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
因为飞机大小相同，所以气凝胶的体积等于钢材的体积，由$\rho=\frac{m}{V}$变形得：
$V=V_{\mathrm{钢}}=\frac{m_{\mathrm{钢}}}{\rho_{\mathrm{钢}}}=\frac{1.264×10^5\ \mathrm{kg}}{7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=16\ \mathrm{m}^3$
（2）已知气凝胶的密度$\rho_{\mathrm{气凝胶}}=3\ \mathrm{kg/m}^3$，体积$V=16\ \mathrm{m}^3$，根据$\rho=\frac{m}{V}$得气凝胶的质量：
$m_{\mathrm{气凝胶}}=\rho_{\mathrm{气凝胶}}V=3\ \mathrm{kg/m}^3×16\ \mathrm{m}^3=48\ \mathrm{kg}=0.048\ \mathrm{t}$
则气凝胶飞机比之前减小的质量：
$\Delta m=m_{\mathrm{钢}}-m_{\mathrm{气凝胶}}=126.4\ \mathrm{t}-0.048\ \mathrm{t}=126.352\ \mathrm{t}$
【答案】
（1）$16\ \mathrm{m}^3$；（2）$126.352\ \mathrm{t}$
【知识点】
密度公式的应用、单位换算
【点评】
本题考查密度公式的灵活运用，解题的关键是理解“同样大小的飞机”意味着两种材料的体积相等，同时要注意单位的统一换算，属于基础型计算题。
【难度系数】
0.8
