7. 某工厂要在规定期限内完成 2 160 个零件的任务,于是安排 15 名工人每人每天加工 $a$ 个零件($a$ 为整数)。开工若干天后,其中 3 人外出培训,若剩下的工人每人每天多加工 2 个零件,则不能按期完成这次任务。由此可知 $a$ 的值至少为()

A.10
B.9
C.8
D.7

B

设规定期限为$ t $天，原计划$ 15 $名工人$ t $天完成$ 2160 $个零件，则$ 15at = 2160 $，解得$ t = \frac{144}{a} $。
设开工$ k $天后$ 3 $人外出培训（$ k ＜ t $），实际完成零件数为：前$ k $天$ 15 $人每天加工$ a $个，后$ t - k $天$ 12 $人每天加工$ a + 2 $个，总零件数小于$ 2160 $，即：
$ 15ak + 12(a + 2)(t - k) ＜ 2160 $。
将$ t = \frac{144}{a} $代入，化简得：
$ 15ak + 12(a + 2)\left(\frac{144}{a} - k\right) ＜ 2160 $。
展开并整理：
$ 15ak + 12(a + 2)·\frac{144}{a} - 12(a + 2)k ＜ 2160 $
$ (15a - 12a - 24)k + \frac{12 × 144(a + 2)}{a} ＜ 2160 $
$ (3a - 24)k + \frac{1728(a + 2)}{a} ＜ 2160 $
$ 3(a - 8)k + 1728 + \frac{3456}{a} ＜ 2160 $
$ 3(a - 8)k ＜ 432 - \frac{3456}{a} $
$ (a - 8)k ＜ 144 - \frac{1152}{a} $。
当$ a = 8 $时，左式$ 0 ＜ 0 $不成立，刚好完成；
当$ a ＜ 8 $时，$ a - 8 ＜ 0 $，不等式变向得$ k ＞ t $，矛盾；
当$ a ＞ 8 $时，$ a - 8 ＞ 0 $，需$ k ＜ t $，不等式成立。
验证$ a = 9 $：$ t = \frac{144}{9} = 16 $，取$ k = 15 ＜ 16 $，实际完成量$ 15 × 9 × 15 + 12 × 11 × 1 = 2025 + 132 = 2157 ＜ 2160 $，满足“不能按期完成”。
故$ a $至少为$ 9 $。

8. 不等式组 $\begin{cases}x-a\geqslant 0, \\ x-a\leqslant 1\end{cases}$ 的解集中任何 $x$ 的值均在 $2\leqslant x\leqslant 5$ 的范围内,则 $a$ 的取值范围是()
A.$a\geqslant 2$
B.$2\leqslant a\leqslant 4$
C.$a\leqslant 4$
D.$a\geqslant 2$ 且 $a\neq 4$

B

解不等式组$\begin{cases}x - a \geq 0 \\ x - a \leq 1\end{cases}$，得$a \leq x \leq a + 1$。因为解集中任何$x$的值均在$2 \leq x \leq 5$范围内，所以$\begin{cases}a \geq 2 \\ a + 1 \leq 5\end{cases}$，解得$2 \leq a \leq 4$。

9. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“宏帆数”。如 $8=3^2-1^2,16=5^2-3^2$,所以 8,16 均为“宏帆数”。在不超过 800 的正整数中,所有的“宏帆数”之和为()

A.40 400
B.40 401
C.40 201
D.40 200

A

设两个连续奇数为$2n-1$和$2n+1$（$n$为正整数），则它们的平方差为：
$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = [(2n+1)-(2n-1)][(2n+1)+(2n-1)] = 2 × 4n = 8n$
故“宏帆数”为$8n$（$n$为正整数）。
由题意，$8n \leq 800$，解得$n \leq 100$，即$n=1,2,·s,100$。
这些“宏帆数”构成首项为$8$，末项为$800$，项数为$100$的等差数列，其和为：
$S = \frac{100 × (8 + 800)}{2} = 100 × 404 = 40400$

10. 某地推出“筑梦学子,共享未来”共享单车租赁服务计划,具体资费规则如下:

资费的补充说明:
①学生会员需缴纳月费 5 元,租赁时出示有效学生证即可享受优惠。
②包日畅骑仅限当日有效,不限使用次数。
出发前有 8 人请假,现只有 32 人参加此次活动。班级计划部分同学打车(每车 36 元,每辆车坐满 4 人),其余同学骑行包日畅骑。恰逢节假日,包日畅骑基础费用打 4 折。若总交通预算为 200 元,打车同学最多允许有()

A.8 人
B.12 人
C.16 人
D.20 人

B

设打车同学有$x$人，骑行包日畅骑同学有$(32 - x)$人。
打车费用：每车36元，坐4人，故打车费用为$\frac{36}{4}x = 9x$元。
骑行费用：包日畅骑原价10元，节假日4折，折后每人$10×0.4 = 4$元，故骑行费用为$4(32 - x)$元。
总费用不超过200元，得不等式：$9x + 4(32 - x) \leq 200$。
化简：$9x + 128 - 4x \leq 200$，$5x \leq 72$，$x \leq 14.4$。
$x$为整数且需每车坐满4人，最大整数为12（16人时总费用208元超预算）。

11. 关于 $x$ 的不等式 $(a-4)x^{|a-3|}+1＞0$ 是一元一次不等式,则 $a$ 的值为 。

由题意，要使$(a - 4)x^{|a - 3|}+1\gt0$是一元一次不等式，则需满足：
$\begin{cases}|a - 3| = 1\\a - 4\neq0\end{cases}$
由$\vert a - 3\vert=1$可得：
$a - 3 = 1$或$a - 3 = -1$
当$a - 3 = 1$时，$a = 4$；
当$a - 3 = -1$时，$a = 2$。
又因为$a - 4\neq0$，即$a\neq4$，所以$a = 2$。
故答案为$2$。

12. 关于 $x$ 的不等式 $m-\frac{x}{2}\leqslant 1$ 有正数解,则 $m$ 的值可以是 (写出一个即可)。

0

解不等式 $ m - \frac{x}{2} \leq 1 $：
移项得：$ -\frac{x}{2} \leq 1 - m $
两边同时乘以$-2$（不等号变向）：$ x \geq 2m - 2 $
因为不等式有正数解，所以 $ 2m - 2 ＜ 0 $（若$2m - 2 \geq 0$，则解集中最小的数非负，不一定有正数解；当$2m - 2 ＜ 0$，即$m ＜ 1$时，一定存在正数解）
取$m = 0$（满足$m ＜ 1$的任意数均可）

13. 线段 3,3,$m$ 能构成三角形,且使关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}x＞m-6, \\ -3x+8\geqslant 3m-4\end{cases}$ 有解的所有整数 $m$ 的和为 ______ 。

1. 三角形三边关系：由3,3,m构成三角形，得$3-3 ＜ m ＜ 3+3$，即$0 ＜ m ＜ 6$。
2. 解不等式组：
第二个不等式$-3x + 8 \geq 3m - 4$，移项得$-3x \geq 3m - 12$，两边除以$-3$（变号）得$x \leq -m + 4$。
第一个不等式$x ＞ m - 6$。
不等式组有解需$m - 6 ＜ -m + 4$，解得$m ＜ 5$。
3. 综合条件：$0 ＜ m ＜ 5$，整数m为1,2,3,4。
4. 和为$1+2+3+4=10$。
10

14. 研究表明,运动时将心率 $p$(单位:次)控制在最佳燃脂心率范围内,能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用。最佳燃脂心率最高值为 $(220-$ 年龄 $)× 0.8$,最低值为 $(220-$ 年龄 $)× 0.6$。30 岁的人最佳燃脂心率 $p$ 的范围为 (包括最高值和最低值)。

根据题意，当年龄为$30$岁时：
最高值计算：
$p_{ 最高值} = (220 - 30) × 0.8$
$p_{ 最高值} = 190 × 0.8$
$p_{ 最高值} = 152$
最低值计算：
$p_{ 最低值} = (220 - 30) × 0.6$
$p_{ 最低值} = 190 × 0.6$
$p_{ 最低值} = 114$
所以$p$的范围为：$114 \leq p \leq 152$。

15. 按如图所示程序进行运算,并规定,程序运行到“结果是否大于 33”为一次运算,且运算进行 2 次才停止。可输入的实数 $x$ 的取值范围是 。

$9 ＜ x \leq 17$

根据程序运算规则及“运算进行2次才停止”的条件，分析如下：
第一次运算（未停止）：
输入$x$，运算结果为$2x - 1$。由于第一次运算未停止，故结果不大于33，即：
$2x - 1 \leq 33$
解得：$2x \leq 34$，$x \leq 17$。
第二次运算（停止）：
将第一次运算结果$2x - 1$作为输入，第二次运算结果为$2(2x - 1) - 1 = 4x - 3$。由于第二次运算停止，故结果大于33，即：
$4x - 3 ＞ 33$
解得：$4x ＞ 36$，$x ＞ 9$。
综合两次运算条件：
$9 ＜ x \leq 17$。