19. (本题满分 8 分)
如图，点 D 在 BC 上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，AD 平分∠BAC。试说明 AD 垂直平分 EF。

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴点D在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵AD=AD，DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF（两点确定一条直线）。

20. (本题满分 8 分)
如图，CD//AB，OA = AB = BC，∠BCD = 40°，求∠COD 的度数。

1. 首先，因为$CD// AB$：
根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle ABC=\angle BCD$。
已知$\angle BCD = 40^{\circ}$，所以$\angle ABC = 40^{\circ}$。
2. 然后，因为$AB = BC$：
根据等腰三角形的性质，$\angle BAC=\angle BCA$。
由三角形内角和定理$\angle BAC+\angle BCA+\angle ABC = 180^{\circ}$，设$\angle BAC=\angle BCA=x$，则$2x + 40^{\circ}=180^{\circ}$。
解方程$2x=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$，得$x = 70^{\circ}$，即$\angle BAC = 70^{\circ}$。
3. 接着，因为$\angle BAO+\angle BAC = 180^{\circ}$：
所以$\angle BAO = 180^{\circ}-\angle BAC=110^{\circ}$。
4. 最后，因为$OA = AB$：
根据等腰三角形的性质，$\angle AOB=\angle ABO$。
再由三角形内角和定理$\angle AOB+\angle ABO+\angle BAO = 180^{\circ}$，设$\angle AOB=\angle ABO = y$，则$2y+110^{\circ}=180^{\circ}$。
解方程$2y=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$，得$y = 35^{\circ}$，即$\angle COD = 35^{\circ}$。
综上，$\angle COD$的度数为$35^{\circ}$。

证明：
∵CD//AB，∠BCD=40°，
∴∠ABC=∠BCD=40°（两直线平行，内错角相等）。
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA（等边对等角）。
在△ABC中，∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
∴∠BAC=∠BCA=(180°-40°)/2=70°。
∵OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO（等边对等角）。
∵∠BAC是△AOB的外角，
∴∠BAC=∠AOB+∠ABO=2∠AOB，
∴∠AOB=∠BAC/2=70°/2=35°。
∵CD//AB，
∴∠COD=∠AOB=35°（两直线平行，同位角相等）。
答：∠COD的度数为35°。