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1. (2025 烟台中考改编)如图,菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上,$OA = 3$,反比例函数$y = \frac{k}{x}$$(x＞0)$的图象过点 C 和菱形的对称中心 M,求 k 的值.
答案
2√2
解析
设点C坐标为(a,b)，∵菱形OABC中OA=3，∴OC=OA=3，即a²+b²=9。A(3,0)，菱形对称中心M为AC中点，∴M((a+3)/2,b/2)。∵C、M在y=k/x上，∴b=k/a，b/2=k/[(a+3)/2]。由b/2=2k/(a+3)得b(a+3)=4k，又k=ab，∴b(a+3)=4ab，∵b≠0，∴a+3=4a，解得a=1。代入a²+b²=9，得1+b²=9，b=2√2（b＞0）。∴k=ab=1×2√2=2√2。
2. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 在 x 轴的负半轴上,点 B 在第二象限内,反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过$△ OAB$的顶点 B 和边 AB 的中点 C. 若$△ OAB$的面积为 6,求 k 的值.
答案
-4
解析
设点$A(a,0)$（$a＜0$），点$B(m,n)$（$m＜0,n＞0$），则$k=mn$。
$C$为$AB$中点，坐标为$(\frac{a+m}{2},\frac{n}{2})$，代入$y=\frac{k}{x}$得$\frac{n}{2}=\frac{k}{\frac{a+m}{2}}$，化简得$n(a+m)=4k$。
$△ OAB$面积为6，$OA=-a$，高为$n$，则$\frac{1}{2}×(-a)× n=6$，即$-an=12$。
由$k=mn$代入$n(a+m)=4k$，得$n(a+m)=4mn$，$a+m=4m$（$n≠0$），故$a=3m$。
将$a=3m$代入$-an=12$，得$-3mn=12$，即$mn=-4$，所以$k=mn=-4$。
$C$为$AB$中点，坐标为$(\frac{a+m}{2},\frac{n}{2})$，代入$y=\frac{k}{x}$得$\frac{n}{2}=\frac{k}{\frac{a+m}{2}}$，化简得$n(a+m)=4k$。
$△ OAB$面积为6，$OA=-a$，高为$n$，则$\frac{1}{2}×(-a)× n=6$，即$-an=12$。
由$k=mn$代入$n(a+m)=4k$，得$n(a+m)=4mn$，$a+m=4m$（$n≠0$），故$a=3m$。
将$a=3m$代入$-an=12$，得$-3mn=12$，即$mn=-4$，所以$k=mn=-4$。
3. (2025 绥化中考改编)如图,反比例函数$y = \frac{k}{x}$经过 A,C 两点,过点 A 作$AB⊥y$轴于点 B,过点 C 作$CD⊥x$轴于点 D,连接 OA,OC,AC. 若$S_{△ ACO} = 4,CD:OB = 1:3$,求 k 的值.
答案
-3
解析
设点A坐标为$(x_A, y_A)$，点C坐标为$(x_C, y_C)$，因A、C在反比例函数$y = \frac{k}{x}$上，故$x_A y_A = k$，$x_C y_C = k$。
由$CD:OB = 1:3$，设$OB = 3m$，则$CD = m$（$m ＞ 0$）。
$AB⊥y$轴，$OB = |y_A| = 3m$；$CD⊥x$轴，$CD = |y_C| = m$。
因A、C在不同象限（面积关系及图形特征），设A在第二象限（$x_A ＜ 0$，$y_A = 3m$），C在第四象限（$x_C ＞ 0$，$y_C = -m$），则$x_A = \frac{k}{y_A} = \frac{k}{3m}$，$x_C = \frac{k}{y_C} = \frac{k}{-m}$。
$S_{△ ACO} = \frac{1}{2}|x_A y_C - x_C y_A| = 4$，代入得：
$\frac{1}{2}\left|\frac{k}{3m}(-m) - \frac{k}{-m}(3m)\right| = 4$，化简得$\frac{1}{2}\left|-\frac{k}{3} + 3k\right| = 4$，即$\frac{1}{2}\left|\frac{8k}{3}\right| = 4$，$|k| = 3$。
又A在第二象限，$x_A ＜ 0$，$y_A ＞ 0$，故$k = x_A y_A ＜ 0$，则$k = -3$。
由$CD:OB = 1:3$，设$OB = 3m$，则$CD = m$（$m ＞ 0$）。
$AB⊥y$轴，$OB = |y_A| = 3m$；$CD⊥x$轴，$CD = |y_C| = m$。
因A、C在不同象限（面积关系及图形特征），设A在第二象限（$x_A ＜ 0$，$y_A = 3m$），C在第四象限（$x_C ＞ 0$，$y_C = -m$），则$x_A = \frac{k}{y_A} = \frac{k}{3m}$，$x_C = \frac{k}{y_C} = \frac{k}{-m}$。
$S_{△ ACO} = \frac{1}{2}|x_A y_C - x_C y_A| = 4$，代入得：
$\frac{1}{2}\left|\frac{k}{3m}(-m) - \frac{k}{-m}(3m)\right| = 4$，化简得$\frac{1}{2}\left|-\frac{k}{3} + 3k\right| = 4$，即$\frac{1}{2}\left|\frac{8k}{3}\right| = 4$，$|k| = 3$。
又A在第二象限，$x_A ＜ 0$，$y_A ＞ 0$，故$k = x_A y_A ＜ 0$，则$k = -3$。
4. (2025 中山)如图,过反比例函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)$图象上的点 A,分别作 x 轴,y 轴的平行线交$y = -\frac{1}{x}$的图象于 B,D 两点,以 AB,AD 为邻边的矩形 ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4$,若$S_2 + S_3 + S_4 = \frac{5}{2}$,则 k 的值为
2
.答案
2
解析
设点$ A(a,\frac{k}{a})(a＞0) $。过$ A $作x轴平行线交$ y=-\frac{1}{x} $于$ B $，则$ B(-\frac{a}{k},\frac{k}{a}) $；作y轴平行线交$ y=-\frac{1}{x} $于$ D $，则$ D(a,-\frac{1}{a}) $。
坐标轴分割矩形$ ABCD $为四个小矩形：
$ S_2 $（第二象限）：长$ \frac{a}{k} $，宽$ \frac{k}{a} $，面积$ 1 $；
$ S_3 $（第三象限）：长$ \frac{a}{k} $，宽$ \frac{1}{a} $，面积$ \frac{1}{k} $；
$ S_4 $（第四象限）：长$ a $，宽$ \frac{1}{a} $，面积$ 1 $。
由$ S_2 + S_3 + S_4 = \frac{5}{2} $，得$ 1 + \frac{1}{k} + 1 = \frac{5}{2} $，解得$ k=2 $。
坐标轴分割矩形$ ABCD $为四个小矩形：
$ S_2 $（第二象限）：长$ \frac{a}{k} $，宽$ \frac{k}{a} $，面积$ 1 $；
$ S_3 $（第三象限）：长$ \frac{a}{k} $，宽$ \frac{1}{a} $，面积$ \frac{1}{k} $；
$ S_4 $（第四象限）：长$ a $，宽$ \frac{1}{a} $，面积$ 1 $。
由$ S_2 + S_3 + S_4 = \frac{5}{2} $，得$ 1 + \frac{1}{k} + 1 = \frac{5}{2} $，解得$ k=2 $。
