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19. 如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD是______。若$AB=8$，$\angle ABC=60^{\circ}$，则$AC=$______，$BD=$______。
答案
菱形，$8$，$8\sqrt{3}$
20. 如图，菱形ABCD中，$AB=2$，$\angle BAD=60^{\circ}$，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则$PE+PB$的最小值是______。
答案
$\sqrt{3}$
21. 如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去.
(1)记正方形ABCD的边长为$a_{1}=1$，按上述方法所作的正方形的边长依次为$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$，…，$a_{n}$，请求出$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$的值；
(2)根据以上规律写出$a_{n}$的表达式.
(1)记正方形ABCD的边长为$a_{1}=1$，按上述方法所作的正方形的边长依次为$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$，…，$a_{n}$，请求出$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$的值；
(2)根据以上规律写出$a_{n}$的表达式.
答案
【解析】：
(1)
因为四边形$ABCD$是边长为$1$的正方形，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$，$AB = BC = 1$，所以$a_{2}=AC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
对于正方形$ACEF$，$AE=\sqrt{AC^{2}+CE^{2}}$，$AC = CE=\sqrt{2}$，则$a_{3}=AE=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{4}=2 = (\sqrt{2})^{2}$。
对于正方形$AEGH$，$HE=\sqrt{AE^{2}+AH^{2}}$，$AE = AH = 2$，则$a_{4}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}=(\sqrt{2})^{3}$。
(2)
由(1)可得规律：$a_{1}=1 = (\sqrt{2})^{0}$，$a_{2}=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^{1}$，$a_{3}=(\sqrt{2})^{2}$，$a_{4}=(\sqrt{2})^{3}$，所以$a_{n}=(\sqrt{2})^{n - 1}$（$n$为正整数）。
【答案】：
(1)$a_{2}=\sqrt{2}$，$a_{3}=2$，$a_{4}=2\sqrt{2}$
(2)$a_{n}=(\sqrt{2})^{n - 1}$（$n$为正整数）
(1)
因为四边形$ABCD$是边长为$1$的正方形，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$，$AB = BC = 1$，所以$a_{2}=AC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
对于正方形$ACEF$，$AE=\sqrt{AC^{2}+CE^{2}}$，$AC = CE=\sqrt{2}$，则$a_{3}=AE=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{4}=2 = (\sqrt{2})^{2}$。
对于正方形$AEGH$，$HE=\sqrt{AE^{2}+AH^{2}}$，$AE = AH = 2$，则$a_{4}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}=(\sqrt{2})^{3}$。
(2)
由(1)可得规律：$a_{1}=1 = (\sqrt{2})^{0}$，$a_{2}=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^{1}$，$a_{3}=(\sqrt{2})^{2}$，$a_{4}=(\sqrt{2})^{3}$，所以$a_{n}=(\sqrt{2})^{n - 1}$（$n$为正整数）。
【答案】：
(1)$a_{2}=\sqrt{2}$，$a_{3}=2$，$a_{4}=2\sqrt{2}$
(2)$a_{n}=(\sqrt{2})^{n - 1}$（$n$为正整数）
22. 如图，$AC\perp BD$，$BC=CE$，$AC=DC$.
求证：$\angle B+\angle D=90^{\circ}$.
求证：$\angle B+\angle D=90^{\circ}$.
答案
【解析】：
因为$AC\perp BD$，所以$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，$\begin{cases}BC = CE\\\angle ACB = \angle DCE\\AC = DC\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABC\cong\triangle DEC$。
所以$\angle B=\angle DEC$。
因为$\angle DEC+\angle D = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余，$\triangle DCE$中$\angle DCE = 90^{\circ}$），又因为$\angle B=\angle DEC$，所以$\angle B+\angle D = 90^{\circ}$。
【答案】：
因为$AC\perp BD$，所以$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$。在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，$\begin{cases}BC = CE\\\angle ACB = \angle DCE\\AC = DC\end{cases}$，$\triangle ABC\cong\triangle DEC(SAS)$，则$\angle B=\angle DEC$。又因为$\angle DEC+\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle B+\angle D = 90^{\circ}$。
因为$AC\perp BD$，所以$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，$\begin{cases}BC = CE\\\angle ACB = \angle DCE\\AC = DC\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABC\cong\triangle DEC$。
所以$\angle B=\angle DEC$。
因为$\angle DEC+\angle D = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余，$\triangle DCE$中$\angle DCE = 90^{\circ}$），又因为$\angle B=\angle DEC$，所以$\angle B+\angle D = 90^{\circ}$。
【答案】：
因为$AC\perp BD$，所以$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$。在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，$\begin{cases}BC = CE\\\angle ACB = \angle DCE\\AC = DC\end{cases}$，$\triangle ABC\cong\triangle DEC(SAS)$，则$\angle B=\angle DEC$。又因为$\angle DEC+\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle B+\angle D = 90^{\circ}$。
