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1. (2024·南通)某村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的为 ()
A.$ 7200(1+x)^{2}=8450 $
B.$ 7200(1+2x)=8450 $
C.$ 8450(1-x)^{2}=7200 $
D.$ 8450(1-2x)=7200 $
A.$ 7200(1+x)^{2}=8450 $
B.$ 7200(1+2x)=8450 $
C.$ 8450(1-x)^{2}=7200 $
D.$ 8450(1-2x)=7200 $
答案
A
解析
设水稻每公顷产量的年平均增长率为$x$。
根据年平均增长率的定义，2022 年的产量将是$7200(1+x)$，2023 年的产量则是$7200(1+x)(1+x) = 7200(1+x)^{2}$。
题目给出 2023 年平均每公顷产 8450kg，因此可以列出方程$7200(1+x)^{2} = 8450$。
根据年平均增长率的定义，2022 年的产量将是$7200(1+x)$，2023 年的产量则是$7200(1+x)(1+x) = 7200(1+x)^{2}$。
题目给出 2023 年平均每公顷产 8450kg，因此可以列出方程$7200(1+x)^{2} = 8450$。
2. (2023·衢州)某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可列方程为 ()
A.$ x+(1+x)=36 $
B.$ 2(1+x)=36 $
C.$ 1+x+x(1+x)=36 $
D.$ 1+x+x^{2}=36 $
A.$ x+(1+x)=36 $
B.$ 2(1+x)=36 $
C.$ 1+x+x(1+x)=36 $
D.$ 1+x+x^{2}=36 $
答案
C
解析
设每轮传染中平均每人传染了$x$人，
第一轮传染后患流感的人数为：$1 + x$，
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了$x$人，所以第二轮新增的患病人数为：$x(1 + x)$，
因此，两轮传染后总患病人数为：
$1 + x + x(1 + x) = 36$，
这与选项C相匹配。
第一轮传染后患流感的人数为：$1 + x$，
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了$x$人，所以第二轮新增的患病人数为：$x(1 + x)$，
因此，两轮传染后总患病人数为：
$1 + x + x(1 + x) = 36$，
这与选项C相匹配。
3. (2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，可列方程为.
答案
$80(1 - x)^{2} = 60$（或写为方程形式的其他等价表述，但核心方程为此）。
解析
设年平均下降率为$x$，则第一年后的成本为$80(1 - x)$元，第二年后的成本为$80(1 - x)^{2}$元。
根据题意，现在生产1千克甲种药品的成本为60元，因此可以列出方程：
$80(1 - x)^{2} = 60$。
根据题意，现在生产1千克甲种药品的成本为60元，因此可以列出方程：
$80(1 - x)^{2} = 60$。
4. 一根长64cm的铁丝被剪成两段，每段均围成正方形.若两个正方形的面积和为160$ cm^{2} $，则这两个正方形的边长分别为.
答案
两个正方形边长分别为$12cm$和$4cm$（填写顺序不影响结果）。
解析
设其中一个正方形的边长为$x$cm，则另一个正方形的边长为$\frac{64 - 4x}{4} = (16 - x)$cm。
根据正方形面积公式，面积和为$x^{2} + (16 - x)^{2}$。
已知面积和为$160cm^{2}$，则可列方程：
$x^{2}+(16 - x)^{2}=160$
展开得$x^{2}+256 - 32x+x^{2}=160$
合并同类项得$2x^{2}-32x + 96 = 0$
两边同时除以$2$得$x^{2}-16x + 48 = 0$
因式分解得$(x - 8+4)(x - 8 - 4)=0$即$(x - 4)(x - 12)=0$
解得$x_1 = 12$，$x_2 = 4$。
当$x = 12$时，$16 - x = 4$；当$x = 4$时，$16 - x = 12$。
根据正方形面积公式，面积和为$x^{2} + (16 - x)^{2}$。
已知面积和为$160cm^{2}$，则可列方程：
$x^{2}+(16 - x)^{2}=160$
展开得$x^{2}+256 - 32x+x^{2}=160$
合并同类项得$2x^{2}-32x + 96 = 0$
两边同时除以$2$得$x^{2}-16x + 48 = 0$
因式分解得$(x - 8+4)(x - 8 - 4)=0$即$(x - 4)(x - 12)=0$
解得$x_1 = 12$，$x_2 = 4$。
当$x = 12$时，$16 - x = 4$；当$x = 4$时，$16 - x = 12$。
5. (新情境·生态环境)(2023·淮安)为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用18m长的篱笆围成.生态园的面积能否为40$ m^{2} $? 如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由.
答案
设AB的长为$x$米，则BC的长为$(18 - 2x)$米。
根据题意，得$x(18 - 2x) = 40$，
整理得$x^{2} - 9x + 20 = 0$，
解得$x_{1} = 4$，$x_{2} = 5$。
当$x = 4$时，$18 - 2x = 10$；
当$x = 5$时，$18 - 2x = 8$。
答：生态园的面积能为$40m^{2}$，AB的长为4m或5m。
根据题意，得$x(18 - 2x) = 40$，
整理得$x^{2} - 9x + 20 = 0$，
解得$x_{1} = 4$，$x_{2} = 5$。
当$x = 4$时，$18 - 2x = 10$；
当$x = 5$时，$18 - 2x = 8$。
答：生态园的面积能为$40m^{2}$，AB的长为4m或5m。
6. 如图，公园有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域(涂色部分)栽种鲜花，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18$ m^{2} $，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为 ()
A.$ x^{2}=18 $
B.$ (x-1)^{2}=18 $
C.$ (x-1)(x-2)=18 $
D.$ (x-2)^{2}=18 $
A.$ x^{2}=18 $
B.$ (x-1)^{2}=18 $
C.$ (x-1)(x-2)=18 $
D.$ (x-2)^{2}=18 $
答案
C
解析
设原正方形空地的边长为 $ x $ m。
根据题意，划出部分区域后，剩余空地的长和宽分别为 $ x-1 $ m 和 $ x-2 $ m。
剩余空地的面积为 $ 18 $ 平方米，因此可列方程为：
$ (x-1)(x-2) = 18 $。
根据题意，划出部分区域后，剩余空地的长和宽分别为 $ x-1 $ m 和 $ x-2 $ m。
剩余空地的面积为 $ 18 $ 平方米，因此可列方程为：
$ (x-1)(x-2) = 18 $。
7. (2024·青岛)如图，某小区要在长为16m、宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽度为m.
答案
2
解析
设小路的宽度为$x$米，则花坛的长为$(16 - 2x)$米，宽为$(12 - 2x)$米。
空地面积为$16×12 = 192$平方米，花坛面积为空地面积的一半，即$96$平方米。
依题意列方程：$(16 - 2x)(12 - 2x) = 96$
展开得：$192 - 56x + 4x² = 96$
化简为：$x² - 14x + 24 = 0$
因式分解：$(x - 2)(x - 12) = 0$
解得：$x₁ = 2$，$x₂ = 12$（$x₂ = 12$不合题意，舍去）
故小路的宽度为$2$米。
空地面积为$16×12 = 192$平方米，花坛面积为空地面积的一半，即$96$平方米。
依题意列方程：$(16 - 2x)(12 - 2x) = 96$
展开得：$192 - 56x + 4x² = 96$
化简为：$x² - 14x + 24 = 0$
因式分解：$(x - 2)(x - 12) = 0$
解得：$x₁ = 2$，$x₂ = 12$（$x₂ = 12$不合题意，舍去）
故小路的宽度为$2$米。
