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1.利用配方法解一元二次方程，当二次项系数为1时，在方程两边同时加上
一次项系数一半的平方
，将方程左边配成一个完全平方式
。答案
1. 一次项系数一半的平方；完全平方式
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，我们用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，目标是把方程左边转化为完全平方的形式。对于方程左边形如$x^2+bx$的式子，对比完全平方公式，相当于已经有了$a^2$（即$x^2$）和$2ab$（即$bx$，其中$a=x$），可推出$b$对应的项是一次项系数的一半，因此需要添加的常数项就是一次项系数一半的平方，添加后方程左边就能构成完全平方式。
【解析】
对于二次项系数为1的一元二次方程，我们以$x^2+bx=c$为例：
根据完全平方公式的结构，$x^2+bx$要配成完全平方，需要添加的常数项为$(\frac{b}{2})^2$，也就是一次项系数一半的平方；
添加后左边变为$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=(x+\frac{b}{2})^2$，这是一个完全平方式。
【答案】
一次项系数一半的平方；完全平方式
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的核心原理，属于基础概念类题目，熟练掌握完全平方公式的结构是解答这类题的关键，也是后续用配方法求解一元二次方程、推导二次函数顶点式等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，我们用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，目标是把方程左边转化为完全平方的形式。对于方程左边形如$x^2+bx$的式子，对比完全平方公式，相当于已经有了$a^2$（即$x^2$）和$2ab$（即$bx$，其中$a=x$），可推出$b$对应的项是一次项系数的一半，因此需要添加的常数项就是一次项系数一半的平方，添加后方程左边就能构成完全平方式。
【解析】
对于二次项系数为1的一元二次方程，我们以$x^2+bx=c$为例：
根据完全平方公式的结构，$x^2+bx$要配成完全平方，需要添加的常数项为$(\frac{b}{2})^2$，也就是一次项系数一半的平方；
添加后左边变为$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=(x+\frac{b}{2})^2$，这是一个完全平方式。
【答案】
一次项系数一半的平方；完全平方式
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的核心原理，属于基础概念类题目，熟练掌握完全平方公式的结构是解答这类题的关键，也是后续用配方法求解一元二次方程、推导二次函数顶点式等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
2. 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤是：①
化二次项系数为1
；②配方
；③移项
；④开平方
；⑤求解。答案
2. ①化二次项系数为1 ②配方 ③移项 ④开平方
解析
【分析】
本题考查配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤，解题时需回忆完整操作逻辑：首先二次项系数不为1时无法直接配方，所以第一步要先把二次项系数化为1；之后要构造完全平方式，即进行配方操作；再将常数项移到方程右侧方便后续计算；接着对等式两边开平方实现降次，最后就是题目给出的求解步骤，据此对应填空即可。
【解析】
配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的完整步骤如下：
①化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数变为1；
②配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧配成完全平方式；
③移项：将所有常数项移到方程的右侧；
④开平方：根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，将二次方程降为一次方程；
⑤求解：解降次后得到的一次方程，得到原一元二次方程的根。
【答案】
①化二次项系数为1 ②配方 ③移项 ④开平方
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程求解步骤；完全平方公式
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对配方法解方程步骤的掌握，是求解一元二次方程的核心基础，需要熟练记忆各步骤的顺序和操作要求。
【难度系数】
0.9
本题考查配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤，解题时需回忆完整操作逻辑：首先二次项系数不为1时无法直接配方，所以第一步要先把二次项系数化为1；之后要构造完全平方式，即进行配方操作；再将常数项移到方程右侧方便后续计算；接着对等式两边开平方实现降次，最后就是题目给出的求解步骤，据此对应填空即可。
【解析】
配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的完整步骤如下：
①化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数变为1；
②配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧配成完全平方式；
③移项：将所有常数项移到方程的右侧；
④开平方：根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，将二次方程降为一次方程；
⑤求解：解降次后得到的一次方程，得到原一元二次方程的根。
【答案】
①化二次项系数为1 ②配方 ③移项 ④开平方
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程求解步骤；完全平方公式
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对配方法解方程步骤的掌握，是求解一元二次方程的核心基础，需要熟练记忆各步骤的顺序和操作要求。
【难度系数】
0.9
3.配方法的关键在于利用完全平方公式，将方程配成
$(x+m)^2=n(n≥0)$
的形式，进一步体会转化的数学思想。答案
3. $(x+m)^2=n(n≥0)$
解析
【分析】
我们可以从配方法的定义和核心目的出发思考：配方法是解一元二次方程的常用方法，核心是利用完全平方公式的结构特征，把方程中含未知数的项整理成完全平方式，让方程最终变成“左侧是含未知数的完全平方式、右侧是非负常数”的形式，后续可通过直接开平方求解，我们要填的就是这种形式的通用表达式。
【解析】
用配方法解一元二次方程时，先对一元二次方程移项，再对二次项、一次项配方，即加上一次项系数一半的平方，把含未知数的部分转化为完全平方式，整理后就能得到形如$(x+m)^2=n$的式子；由于开平方运算中被开方数必须非负才有实数解，因此要求$n\ge0$，所以配方法最终要将方程配成$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式。
【答案】
$(x+m)^2=n(n≥0)$
【知识点】
配方法；完全平方公式；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，聚焦配方法的核心原理和本质特征，能够帮助学生巩固配方法的相关概念，加深对转化数学思想的理解。
【难度系数】
0.9
我们可以从配方法的定义和核心目的出发思考：配方法是解一元二次方程的常用方法，核心是利用完全平方公式的结构特征，把方程中含未知数的项整理成完全平方式，让方程最终变成“左侧是含未知数的完全平方式、右侧是非负常数”的形式，后续可通过直接开平方求解，我们要填的就是这种形式的通用表达式。
【解析】
用配方法解一元二次方程时，先对一元二次方程移项，再对二次项、一次项配方，即加上一次项系数一半的平方，把含未知数的部分转化为完全平方式，整理后就能得到形如$(x+m)^2=n$的式子；由于开平方运算中被开方数必须非负才有实数解，因此要求$n\ge0$，所以配方法最终要将方程配成$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式。
【答案】
$(x+m)^2=n(n≥0)$
【知识点】
配方法；完全平方公式；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，聚焦配方法的核心原理和本质特征，能够帮助学生巩固配方法的相关概念，加深对转化数学思想的理解。
【难度系数】
0.9
1.用配方法解一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$时，此方程可变形为(
A.$2(x - 1)^2 = \dfrac{1}{2}$
B.$2(x - 1)^2 = \dfrac{3}{2}$
C.$(x - 1)^2 = \dfrac{1}{2}$
D.$(x - 1)^2 = \dfrac{3}{2}$
D
)。A.$2(x - 1)^2 = \dfrac{1}{2}$
B.$2(x - 1)^2 = \dfrac{3}{2}$
C.$(x - 1)^2 = \dfrac{1}{2}$
D.$(x - 1)^2 = \dfrac{3}{2}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查配方法对一元二次方程的变形，解题思路如下：首先明确配方法的操作步骤：第一步将常数项移到方程右侧，第二步把二次项系数化为1，第三步在方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式，最后整理结果对应选项判断即可。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$2x^2 - 4x = 1$
2. 方程两边同时除以二次项系数2，将二次项系数化为1：
$x^2 - 2x = \dfrac{1}{2}$
3. 配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方，本次项系数为$-2$，一半的平方为$(\dfrac{-2}{2})^2=1$：
$x^2 - 2x + 1 = \dfrac{1}{2} + 1$
4. 左侧整理为完全平方形式，右侧合并常数项：
$(x - 1)^2 = \dfrac{3}{2}$
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查配方法的规范操作，解题时需注意配方要保证等式两边同时加上相同的数，避免只给左侧加常数的错误，熟练掌握配方法是学习一元二次方程相关知识的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法对一元二次方程的变形，解题思路如下：首先明确配方法的操作步骤：第一步将常数项移到方程右侧，第二步把二次项系数化为1，第三步在方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式，最后整理结果对应选项判断即可。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$2x^2 - 4x = 1$
2. 方程两边同时除以二次项系数2，将二次项系数化为1：
$x^2 - 2x = \dfrac{1}{2}$
3. 配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方，本次项系数为$-2$，一半的平方为$(\dfrac{-2}{2})^2=1$：
$x^2 - 2x + 1 = \dfrac{1}{2} + 1$
4. 左侧整理为完全平方形式，右侧合并常数项：
$(x - 1)^2 = \dfrac{3}{2}$
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查配方法的规范操作，解题时需注意配方要保证等式两边同时加上相同的数，避免只给左侧加常数的错误，熟练掌握配方法是学习一元二次方程相关知识的基础。
【难度系数】
0.8
2.用配方法解下列方程，配方有错的是（
A.$x^2 - 2x -99=0$ 化为 $(x-1)^2=100$
B.$2x^2 -7x -4=0$ 化为 $(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$
C.$x^2 +8x +9=0$ 化为 $(x+4)^2=7$
D.$3x^2 +8x -3=0$ 化为 $3(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{9}$
D
）。A.$x^2 - 2x -99=0$ 化为 $(x-1)^2=100$
B.$2x^2 -7x -4=0$ 化为 $(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$
C.$x^2 +8x +9=0$ 化为 $(x+4)^2=7$
D.$3x^2 +8x -3=0$ 化为 $3(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{9}$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个选项配方错误，需先明确配方法解一元二次方程的步骤：①把二次项系数化为1；②移项，将常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧化为完全平方式。我们只需按上述步骤逐一验证每个选项的配方过程即可。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：$x^2 - 2x -99=0$
移项得：$x^2 -2x=99$
两边加一次项系数一半的平方$1^2=1$，得$x^2-2x+1=100$，即$(x-1)^2=100$，配方正确。
B选项：$2x^2 -7x -4=0$
先把二次项系数化为1，两边除以2得：$x^2-\frac{7}{2}x-2=0$
移项得：$x^2-\frac{7}{2}x=2$
两边加$(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，得$x^2-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$，配方正确。
C选项：$x^2 +8x +9=0$
移项得：$x^2+8x=-9$
两边加$4^2=16$，得$x^2+8x+16=7$，即$(x+4)^2=7$，配方正确。
D选项：$3x^2 +8x -3=0$
移项得：$3x^2+8x=3$
提取二次项系数得：$3(x^2+\frac{8}{3}x)=3$
配方，括号内加$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，得$3(x^2+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}-\frac{16}{9})=3$
整理得：$3(x+\frac{4}{3})^2 - \frac{16}{3}=3$，即$3(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{3}$，选项中右侧为$\frac{25}{9}$，配方错误。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的操作规范，解题时要注意当二次项系数不为1时，若提取二次项系数进行配方，不要漏乘新增的常数项，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项配方错误，需先明确配方法解一元二次方程的步骤：①把二次项系数化为1；②移项，将常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧化为完全平方式。我们只需按上述步骤逐一验证每个选项的配方过程即可。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：$x^2 - 2x -99=0$
移项得：$x^2 -2x=99$
两边加一次项系数一半的平方$1^2=1$，得$x^2-2x+1=100$，即$(x-1)^2=100$，配方正确。
B选项：$2x^2 -7x -4=0$
先把二次项系数化为1，两边除以2得：$x^2-\frac{7}{2}x-2=0$
移项得：$x^2-\frac{7}{2}x=2$
两边加$(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，得$x^2-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$，配方正确。
C选项：$x^2 +8x +9=0$
移项得：$x^2+8x=-9$
两边加$4^2=16$，得$x^2+8x+16=7$，即$(x+4)^2=7$，配方正确。
D选项：$3x^2 +8x -3=0$
移项得：$3x^2+8x=3$
提取二次项系数得：$3(x^2+\frac{8}{3}x)=3$
配方，括号内加$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，得$3(x^2+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}-\frac{16}{9})=3$
整理得：$3(x+\frac{4}{3})^2 - \frac{16}{3}=3$，即$3(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{3}$，选项中右侧为$\frac{25}{9}$，配方错误。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的操作规范，解题时要注意当二次项系数不为1时，若提取二次项系数进行配方，不要漏乘新增的常数项，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
3. 填上适当的数,使下列等式成立:
(1)$2x^2 -12x +$
(2)$-m^2 +2\sqrt{3}m -$
(3)$3x^2 -12x +$
(4)$16x^2 +12x +$
(1)$2x^2 -12x +$
18
$=2(x -$ 3
$)^2$;(2)$-m^2 +2\sqrt{3}m -$
3
$=-(m -$ $\sqrt{3}$
$)^2$;(3)$3x^2 -12x +$
12
$=3(x -2)^2$;(4)$16x^2 +12x +$
$\dfrac{9}{4}$
$=16(x +$ $\dfrac{3}{8}$
$)^2$。答案
3.(1)18；3 (2)3；$\sqrt{3}$ (3)12 (4)$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{8}$
解析
【分析】
本题考查配方法的应用，解题思路如下：首先将等式左侧二次项系数提取到括号外，再根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构，给括号内的二次式加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，最后计算括号外对应的常数项即可完成填空。
【解析】
(1) 先提取二次项系数：$2x^2-12x=2(x^2-6x)$，括号内一次项系数为$-6$，一半是$-3$，平方为$9$，因此需要补充的常数为$2×9=18$，即$2x^2-12x+18=2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$，两空依次填18、3；
(2) 先提取负号：$-m^2+2\sqrt{3}m=-(m^2-2\sqrt{3}m)$，括号内一次项系数为$-2\sqrt{3}$，一半是$-\sqrt{3}$，平方为$3$，因此需要补充的常数为$-3$（即原式减3），即$-m^2+2\sqrt{3}m-3=-(m^2-2\sqrt{3}m+3)=-(m-\sqrt{3})^2$，两空依次填3、$\sqrt{3}$；
(3) 展开右侧式子：$3(x-2)^2=3(x^2-4x+4)=3x^2-12x+12$，因此左侧需要补充的常数为12；
(4) 先提取二次项系数：$16x^2+12x=16(x^2+\frac{3}{4}x)$，括号内一次项系数为$\frac{3}{4}$，一半是$\frac{3}{8}$，平方为$\frac{9}{64}$，因此需要补充的常数为$16×\frac{9}{64}=\frac{9}{4}$，即$16x^2+12x+\frac{9}{4}=16(x^2+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64})=16(x+\frac{3}{8})^2$，两空依次填$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{8}$。
【答案】
(1)18；3 (2)3；$\sqrt{3}$ (3)12 (4)$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{8}$
【知识点】
配方法，完全平方公式，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础训练题，熟练掌握完全平方公式的结构特征和配方法的操作步骤是解题的核心，这类题型是后续用配方法求解一元二次方程、求二次函数最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法的应用，解题思路如下：首先将等式左侧二次项系数提取到括号外，再根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构，给括号内的二次式加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，最后计算括号外对应的常数项即可完成填空。
【解析】
(1) 先提取二次项系数：$2x^2-12x=2(x^2-6x)$，括号内一次项系数为$-6$，一半是$-3$，平方为$9$，因此需要补充的常数为$2×9=18$，即$2x^2-12x+18=2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$，两空依次填18、3；
(2) 先提取负号：$-m^2+2\sqrt{3}m=-(m^2-2\sqrt{3}m)$，括号内一次项系数为$-2\sqrt{3}$，一半是$-\sqrt{3}$，平方为$3$，因此需要补充的常数为$-3$（即原式减3），即$-m^2+2\sqrt{3}m-3=-(m^2-2\sqrt{3}m+3)=-(m-\sqrt{3})^2$，两空依次填3、$\sqrt{3}$；
(3) 展开右侧式子：$3(x-2)^2=3(x^2-4x+4)=3x^2-12x+12$，因此左侧需要补充的常数为12；
(4) 先提取二次项系数：$16x^2+12x=16(x^2+\frac{3}{4}x)$，括号内一次项系数为$\frac{3}{4}$，一半是$\frac{3}{8}$，平方为$\frac{9}{64}$，因此需要补充的常数为$16×\frac{9}{64}=\frac{9}{4}$，即$16x^2+12x+\frac{9}{4}=16(x^2+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64})=16(x+\frac{3}{8})^2$，两空依次填$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{8}$。
【答案】
(1)18；3 (2)3；$\sqrt{3}$ (3)12 (4)$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{8}$
【知识点】
配方法，完全平方公式，整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础训练题，熟练掌握完全平方公式的结构特征和配方法的操作步骤是解题的核心，这类题型是后续用配方法求解一元二次方程、求二次函数最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
4.当$a=$
-1
时，$a^2+2a+19$有最小
值，为18
。答案
4.-1；小；18
解析
【分析】
本题是求含参数的二次代数式的最值问题，解题思路如下：首先观察代数式的结构，是关于a的二次三项式，且二次项系数为正，因此存在最小值；接下来用配方法将二次项和一次项组合，配成完全平方的形式，再根据平方数的非负性，即可求出代数式的最值以及对应a的取值。
【解析】
对代数式$a^2 + 2a + 19$进行配方：
$\begin{aligned}a^2 + 2a + 19&=a^2 + 2a + 1 + 18\\&=(a+1)^2 + 18\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(a+1)^2 ≥ 0$，当且仅当$a+1=0$（即$a=-1$）时，$(a+1)^2$取得最小值0，
∴ 此时$(a+1)^2 + 18$取得最小值，最小值为$0 + 18 = 18$。
【答案】
-1；小；18
【知识点】
配方法的应用；平方的非负性；二次式最值求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的实操与非负数性质的结合运用，解题时需注意先通过二次项系数的正负判断代数式存在最大值还是最小值，再通过配方计算最值，熟练掌握配方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是求含参数的二次代数式的最值问题，解题思路如下：首先观察代数式的结构，是关于a的二次三项式，且二次项系数为正，因此存在最小值；接下来用配方法将二次项和一次项组合，配成完全平方的形式，再根据平方数的非负性，即可求出代数式的最值以及对应a的取值。
【解析】
对代数式$a^2 + 2a + 19$进行配方：
$\begin{aligned}a^2 + 2a + 19&=a^2 + 2a + 1 + 18\\&=(a+1)^2 + 18\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(a+1)^2 ≥ 0$，当且仅当$a+1=0$（即$a=-1$）时，$(a+1)^2$取得最小值0，
∴ 此时$(a+1)^2 + 18$取得最小值，最小值为$0 + 18 = 18$。
【答案】
-1；小；18
【知识点】
配方法的应用；平方的非负性；二次式最值求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的实操与非负数性质的结合运用，解题时需注意先通过二次项系数的正负判断代数式存在最大值还是最小值，再通过配方计算最值，熟练掌握配方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
5.如果$x^2 - 2(m+1)x +4$是一个完全平方式，那么$m=$
1或-3
。答案
5.1或-3
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含平方和、平方差两种形式。本题中给出的二次三项式首项是$x^2$，常数项是$4=2^2$，因此可确定对应公式里的$a=x$，$b=\pm2$，再根据中间项等于$\pm2ab$列等式求解$m$即可，注意不要遗漏两种完全平方式的情况。
【解析】
解：
∵ $x^2 - 2(m+1)x +4$是完全平方式，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
∴ 该式中首项$a=x$，常数项$b^2=4$，即$b=\pm2$
∴ 中间项$-2(m+1)x = \pm2× x×2$
约去$x$得：$-2(m+1)=\pm4$
分两种情况计算：
① 当$-2(m+1)=4$时，
两边同时除以$-2$得：$m+1=-2$
解得：$m=-3$
② 当$-2(m+1)=-4$时，
两边同时除以$-2$得：$m+1=2$
解得：$m=1$
综上，$m$的值为1或-3。
【答案】
1或-3
【知识点】
完全平方公式；完全平方式；解一元一次方程
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，易错点是容易只考虑其中一种完全平方形式导致漏解，解题时要牢记完全平方式包含和的平方、差的平方两种情况，再通过列方程求解参数即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含平方和、平方差两种形式。本题中给出的二次三项式首项是$x^2$，常数项是$4=2^2$，因此可确定对应公式里的$a=x$，$b=\pm2$，再根据中间项等于$\pm2ab$列等式求解$m$即可，注意不要遗漏两种完全平方式的情况。
【解析】
解：
∵ $x^2 - 2(m+1)x +4$是完全平方式，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
∴ 该式中首项$a=x$，常数项$b^2=4$，即$b=\pm2$
∴ 中间项$-2(m+1)x = \pm2× x×2$
约去$x$得：$-2(m+1)=\pm4$
分两种情况计算：
① 当$-2(m+1)=4$时，
两边同时除以$-2$得：$m+1=-2$
解得：$m=-3$
② 当$-2(m+1)=-4$时，
两边同时除以$-2$得：$m+1=2$
解得：$m=1$
综上，$m$的值为1或-3。
【答案】
1或-3
【知识点】
完全平方公式；完全平方式；解一元一次方程
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，易错点是容易只考虑其中一种完全平方形式导致漏解，解题时要牢记完全平方式包含和的平方、差的平方两种情况，再通过列方程求解参数即可。
【难度系数】
0.7
6.已知代数式$x^2 - 2$比$2x + 1$小4，则$x=$
1
。答案
6.1
解析
【分析】
首先要把题目中的文字数量关系转化为数学等式：已知$x^2 - 2$比$2x + 1$小4，说明$x^2 - 2$等于$2x + 1$减去4，列出等式后整理为一元二次方程的标准形式，再利用完全平方公式因式分解即可求解。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$\begin{aligned}x^2 - 2 &= (2x + 1) - 4 \\x^2 - 2 &= 2x - 3 \\x^2 - 2x + 1 &= 0 \\(x - 1)^2 &= 0\end{aligned}$
解得$x_1=x_2=1$，即$x=1$。
【答案】
1
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解方程；完全平方公式
【点评】
本题是基础题型，重点考查文字关系转数学方程的转化能力，以及一元二次方程的基础求解能力，计算量小，掌握对应基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先要把题目中的文字数量关系转化为数学等式：已知$x^2 - 2$比$2x + 1$小4，说明$x^2 - 2$等于$2x + 1$减去4，列出等式后整理为一元二次方程的标准形式，再利用完全平方公式因式分解即可求解。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$\begin{aligned}x^2 - 2 &= (2x + 1) - 4 \\x^2 - 2 &= 2x - 3 \\x^2 - 2x + 1 &= 0 \\(x - 1)^2 &= 0\end{aligned}$
解得$x_1=x_2=1$，即$x=1$。
【答案】
1
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解方程；完全平方公式
【点评】
本题是基础题型，重点考查文字关系转数学方程的转化能力，以及一元二次方程的基础求解能力，计算量小，掌握对应基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.用配方法解下列方程：
(1)$-x^2 + 6x - 8 = 0$；
(2)$2x^2 + 4x - 3 = 0$；
(3)$3x^2 - 4x - 1 = 0$；
(4)$-3x^2 - 6x + 4 = 0$。
(1)$-x^2 + 6x - 8 = 0$；
(2)$2x^2 + 4x - 3 = 0$；
(3)$3x^2 - 4x - 1 = 0$；
(4)$-3x^2 - 6x + 4 = 0$。
答案
7.解:(1)$x_1=2,x_2=4$。
(2)$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$。
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
(4)$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$。
(2)$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$。
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
(4)$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$。
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过开平方求解。通用解题步骤为：①先将二次项系数化为1，若二次项系数为负，可先两边同乘$-1$简化计算；②移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；④若右侧常数非负，直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解方程$-x^2 + 6x - 8 = 0$
两边同乘$-1$得：$x^2 - 6x + 8 = 0$
移项得：$x^2 - 6x = -8$
配方，两边加$(-6÷2)^2=9$得：$x^2 -6x +9 = -8 +9$，即$(x-3)^2=1$
开平方得：$x-3=\pm1$
解得$x_1=4$，$x_2=2$
(2) 解方程$2x^2 + 4x - 3 = 0$
两边同除以2得：$x^2 + 2x - \frac{3}{2}=0$
移项得：$x^2 +2x = \frac{3}{2}$
配方，两边加$(2÷2)^2=1$得：$x^2 +2x +1 = \frac{3}{2}+1$，即$(x+1)^2=\frac{5}{2}$
开平方得：$x+1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$
解得$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$
(3) 解方程$3x^2 - 4x - 1 = 0$
两边同除以3得：$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}=0$
移项得：$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{1}{3}$
配方，两边加$(-\frac{4}{3}÷2)^2=\frac{4}{9}$得：$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = \frac{1}{3}+\frac{4}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{7}{9}$
开平方得：$x-\frac{2}{3}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}$
解得$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(4) 解方程$-3x^2 - 6x + 4 = 0$
两边同乘$-1$再除以3得：$x^2 + 2x - \frac{4}{3}=0$
移项得：$x^2 +2x = \frac{4}{3}$
配方，两边加$(2÷2)^2=1$得：$x^2 +2x +1 = \frac{4}{3}+1$，即$(x+1)^2=\frac{7}{3}$
开平方得：$x+1=\pm\frac{\sqrt{21}}{3}$
解得$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=4$
(2)$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(4)$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的常规训练题，重点考查配方法的步骤应用，解题时要注意先将二次项系数化为1，配方时等式两边要同时添加一次项系数一半的平方，避免出现漏加、符号错误等问题，熟练掌握步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过开平方求解。通用解题步骤为：①先将二次项系数化为1，若二次项系数为负，可先两边同乘$-1$简化计算；②移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；④若右侧常数非负，直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解方程$-x^2 + 6x - 8 = 0$
两边同乘$-1$得：$x^2 - 6x + 8 = 0$
移项得：$x^2 - 6x = -8$
配方，两边加$(-6÷2)^2=9$得：$x^2 -6x +9 = -8 +9$，即$(x-3)^2=1$
开平方得：$x-3=\pm1$
解得$x_1=4$，$x_2=2$
(2) 解方程$2x^2 + 4x - 3 = 0$
两边同除以2得：$x^2 + 2x - \frac{3}{2}=0$
移项得：$x^2 +2x = \frac{3}{2}$
配方，两边加$(2÷2)^2=1$得：$x^2 +2x +1 = \frac{3}{2}+1$，即$(x+1)^2=\frac{5}{2}$
开平方得：$x+1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$
解得$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$
(3) 解方程$3x^2 - 4x - 1 = 0$
两边同除以3得：$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}=0$
移项得：$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{1}{3}$
配方，两边加$(-\frac{4}{3}÷2)^2=\frac{4}{9}$得：$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = \frac{1}{3}+\frac{4}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{7}{9}$
开平方得：$x-\frac{2}{3}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}$
解得$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(4) 解方程$-3x^2 - 6x + 4 = 0$
两边同乘$-1$再除以3得：$x^2 + 2x - \frac{4}{3}=0$
移项得：$x^2 +2x = \frac{4}{3}$
配方，两边加$(2÷2)^2=1$得：$x^2 +2x +1 = \frac{4}{3}+1$，即$(x+1)^2=\frac{7}{3}$
开平方得：$x+1=\pm\frac{\sqrt{21}}{3}$
解得$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=4$
(2)$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(4)$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的常规训练题，重点考查配方法的步骤应用，解题时要注意先将二次项系数化为1，配方时等式两边要同时添加一次项系数一半的平方，避免出现漏加、符号错误等问题，熟练掌握步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.7
