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例1 某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问：原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x套，则根据题意可得方程（）。
A.$\frac{160}{x}+\frac{400}{(1+20\%)x}=18$
B.$\frac{160}{x}+\frac{400-160}{(1+20\%)x}=18$
C.$\frac{160}{x}+\frac{400-160}{20\%x}=18$
D.$\frac{400}{x}+\frac{400-160}{(1+20\%)x}=18$
【思路导析】“新技术前的加工天数＋新技术后的加工天数＝18”。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
A.$\frac{160}{x}+\frac{400}{(1+20\%)x}=18$
B.$\frac{160}{x}+\frac{400-160}{(1+20\%)x}=18$
C.$\frac{160}{x}+\frac{400-160}{20\%x}=18$
D.$\frac{400}{x}+\frac{400-160}{(1+20\%)x}=18$
【思路导析】“新技术前的加工天数＋新技术后的加工天数＝18”。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
B
解析
【分析】
列方程解应用题首先要找准等量关系，本题的核心等量关系为：采用新技术前的加工天数 + 采用新技术后的加工天数 = 总天数18天。接下来根据“时间=工作量÷工作效率”分别计算两部分的时间：第一部分加工160套时用原效率每天x套，可直接算出对应时间；第二部分先求出剩余工作量，再结合效率提高20%得到新效率，算出对应时间，最后将两部分时间相加即可列出方程，再匹配选项。
【解析】
解：根据题意，等量关系为：新技术前加工天数 + 新技术后加工天数 = 18天。
1. 计算新技术前的加工天数：
前160套按原计划每天x套加工，由“时间=工作量÷工作效率”，得这部分时间为$\frac{160}{x}$天。
2. 计算新技术后的加工天数：
剩余工作量为$400-160$套，工作效率提高20%后为$(1+20\%)x$套/天，因此这部分时间为$\frac{400-160}{(1+20\%)x}$天。
3. 列方程：
两部分时间相加等于总天数18，可得方程：
$\frac{160}{x}+\frac{400-160}{(1+20\%)x}=18$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用，工程问题
【点评】
本题是工程类分式方程的基础题型，解题关键是明确分段的工作量与对应工作效率的匹配关系，易错点是容易误将新技术后的工作量当成总工作量400套，从而错选A。
【难度系数】
0.8
列方程解应用题首先要找准等量关系，本题的核心等量关系为：采用新技术前的加工天数 + 采用新技术后的加工天数 = 总天数18天。接下来根据“时间=工作量÷工作效率”分别计算两部分的时间：第一部分加工160套时用原效率每天x套，可直接算出对应时间；第二部分先求出剩余工作量，再结合效率提高20%得到新效率，算出对应时间，最后将两部分时间相加即可列出方程，再匹配选项。
【解析】
解：根据题意，等量关系为：新技术前加工天数 + 新技术后加工天数 = 18天。
1. 计算新技术前的加工天数：
前160套按原计划每天x套加工，由“时间=工作量÷工作效率”，得这部分时间为$\frac{160}{x}$天。
2. 计算新技术后的加工天数：
剩余工作量为$400-160$套，工作效率提高20%后为$(1+20\%)x$套/天，因此这部分时间为$\frac{400-160}{(1+20\%)x}$天。
3. 列方程：
两部分时间相加等于总天数18，可得方程：
$\frac{160}{x}+\frac{400-160}{(1+20\%)x}=18$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用，工程问题
【点评】
本题是工程类分式方程的基础题型，解题关键是明确分段的工作量与对应工作效率的匹配关系，易错点是容易误将新技术后的工作量当成总工作量400套，从而错选A。
【难度系数】
0.8
例2 某校枇杷基地的枇杷成熟了，准备请专业摘果队帮忙摘果.现有甲、乙两支专业摘果队，若由甲队单独摘果，预计6天才能完成.为了减少枇杷因气候变化等原因带来的损失，现决定由甲、乙两队同时摘果，则2天可以完成.请问：
(1)若单独由乙队摘果，则需要几天才能完成？
(2)有三种摘果方案.方案1:单独请甲队；方案2:同时请甲、乙两队；方案3:单独请乙队.甲队每摘果一天，需支付给甲队1 000元工资，乙队每摘果一天，需支付给乙队1 600元工资，你认为用哪种方案完成所有摘果任务需支付给摘果队的总工资最低？最低总工资是多少元？
【思路导析】(1)设单独由乙队摘果需x天才能完成任务，所以乙队的工作效率为$\frac{1}{x}$.因为甲队的工作效率为$\frac{1}{6}$，根据“甲、乙两队同时摘果，2天可以完成”列出方程，解方程即可.(2)算出三种方案需支付的工资，比较即得结论.
【示范解答】(1)设单独由乙队摘果，需要x天才能完成.
由题意，得$2(\frac{1}{6}+\frac{1}{x})=1$，解得$x=3$.
检验:当$x=3$时，$6x=18≠0$.所以原分式方程的解为$x=3$，且符合题意.
所以单独由乙队摘果，需要3天才能完成.
(2)方案1:单独请甲队需支付的工资为$1000×6=6000$(元).
方案2:同时请甲、乙两队需支付的工资为$(1000+1600)×2=5200$(元).
方案3:单独请乙队需支付的工资为$1600×3=4800$(元).
因为$4800＜5200＜6000$，
所以方案3需支付给摘果队的总工资最低，最低总工资是4800元.
变式探究
某小区为响应市政府提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵来美化小区环境，购买银杏树用了12 000元，购买玉兰树用了9 000元.已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
(1)若单独由乙队摘果，则需要几天才能完成？
(2)有三种摘果方案.方案1:单独请甲队；方案2:同时请甲、乙两队；方案3:单独请乙队.甲队每摘果一天，需支付给甲队1 000元工资，乙队每摘果一天，需支付给乙队1 600元工资，你认为用哪种方案完成所有摘果任务需支付给摘果队的总工资最低？最低总工资是多少元？
【思路导析】(1)设单独由乙队摘果需x天才能完成任务，所以乙队的工作效率为$\frac{1}{x}$.因为甲队的工作效率为$\frac{1}{6}$，根据“甲、乙两队同时摘果，2天可以完成”列出方程，解方程即可.(2)算出三种方案需支付的工资，比较即得结论.
【示范解答】(1)设单独由乙队摘果，需要x天才能完成.
由题意，得$2(\frac{1}{6}+\frac{1}{x})=1$，解得$x=3$.
检验:当$x=3$时，$6x=18≠0$.所以原分式方程的解为$x=3$，且符合题意.
所以单独由乙队摘果，需要3天才能完成.
(2)方案1:单独请甲队需支付的工资为$1000×6=6000$(元).
方案2:同时请甲、乙两队需支付的工资为$(1000+1600)×2=5200$(元).
方案3:单独请乙队需支付的工资为$1600×3=4800$(元).
因为$4800＜5200＜6000$，
所以方案3需支付给摘果队的总工资最低，最低总工资是4800元.
变式探究
某小区为响应市政府提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵来美化小区环境，购买银杏树用了12 000元，购买玉兰树用了9 000元.已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
答案
解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元。
由题意，得
$\frac{12000}{x} + \frac{9000}{1.5x} = 150$
化简得：$\frac{12000}{x} + \frac{6000}{x} = 150$，即$\frac{18000}{x}=150$
解得$x=120$。
检验：当$x=120$时，$1.5x=180≠0$，所以原分式方程的解为$x=120$，且符合题意。
则玉兰树的单价为$1.5×120=180$（元）。
答：银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元。
由题意，得
$\frac{12000}{x} + \frac{9000}{1.5x} = 150$
化简得：$\frac{12000}{x} + \frac{6000}{x} = 150$，即$\frac{18000}{x}=150$
解得$x=120$。
检验：当$x=120$时，$1.5x=180≠0$，所以原分式方程的解为$x=120$，且符合题意。
则玉兰树的单价为$1.5×120=180$（元）。
答：银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元。
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先设银杏树的单价为x元，根据玉兰树和银杏树单价的倍数关系，表示出玉兰树的单价为1.5x元；再依据“数量=总价÷单价”分别求出两种树的购买数量，结合两种树总棵数为150棵的条件列出分式方程；求解后注意检验解是否满足分式方程要求、是否符合实际意义，最后算出玉兰树的单价即可。
【解析】
解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元。
由题意得：
$\frac{12000}{x} + \frac{9000}{1.5x} = 150$
化简得：$\frac{12000}{x} + \frac{6000}{x} = 150$，即$\frac{18000}{x}=150$
解得$x=120$。
检验：当$x=120$时，$1.5x=180≠0$，所以原分式方程的解为$x=120$，且符合题意。
则玉兰树的单价为$1.5×120=180$（元）。
【答案】
银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元。
【知识点】
分式方程应用；分式方程检验；单价数量总价关系
【点评】
本题是分式方程的常规应用题型，解题关键是抓住总棵数的等量关系列方程，需注意分式方程求解后要做双重检验，既要验证是否为方程的根，也要验证是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先设银杏树的单价为x元，根据玉兰树和银杏树单价的倍数关系，表示出玉兰树的单价为1.5x元；再依据“数量=总价÷单价”分别求出两种树的购买数量，结合两种树总棵数为150棵的条件列出分式方程；求解后注意检验解是否满足分式方程要求、是否符合实际意义，最后算出玉兰树的单价即可。
【解析】
解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元。
由题意得：
$\frac{12000}{x} + \frac{9000}{1.5x} = 150$
化简得：$\frac{12000}{x} + \frac{6000}{x} = 150$，即$\frac{18000}{x}=150$
解得$x=120$。
检验：当$x=120$时，$1.5x=180≠0$，所以原分式方程的解为$x=120$，且符合题意。
则玉兰树的单价为$1.5×120=180$（元）。
【答案】
银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元。
【知识点】
分式方程应用；分式方程检验；单价数量总价关系
【点评】
本题是分式方程的常规应用题型，解题关键是抓住总棵数的等量关系列方程，需注意分式方程求解后要做双重检验，既要验证是否为方程的根，也要验证是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
