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学习任务三 一元一次方程
从具体到抽象
问题:仔细观察学习任务一中列出的方程①②,可以发现它们有共同特征:(1)只含有
知识梳理
一元一次方程:一般地,如果方程中只含有
从具体到抽象
问题:仔细观察学习任务一中列出的方程①②,可以发现它们有共同特征:(1)只含有
一个
未知数;(2)含有未知数的式子都是整式
;(3)未知数的次数都是1
.知识梳理
一元一次方程:一般地,如果方程中只含有
一个
未知数(元),且含有未知数的式子都是整式
,未知数的次数都是1
,这样的方程叫作一元一次方程.答案
问题:(1) 一个
(2) 整式
(3) 1
知识梳理
一个 整式 1
(2) 整式
(3) 1
知识梳理
一个 整式 1
解析
【分析】
我们可以从“一元一次方程”的名称入手拆解对应特征：①“一元”对应未知数的数量，意思是只含有1个未知数；②“一次”对应未知数的最高次数，意思是所有未知数的次数都是1；③还有一个基础要求：含有未知数的式子必须是整式，不能出现分母含未知数、根号下含未知数的情况。本题的问题和知识梳理都围绕这三个核心特征设空，直接对应填入即可。
【解析】
首先填问题部分的三个空：
(1) “一元”表示方程里只含有1个未知数，所以第一空填“一个”；
(2) 一元一次方程属于整式方程，所以含有未知数的式子都是整式，第二空填“整式”；
(3) “一次”表示未知数的最高次数为1，所以第三空填“1”。
知识梳理是一元一次方程的规范定义，和上述三个特征一一对应，依次填入“一个”“整式”“1”即可。
【答案】
问题：(1) 一个 (2) 整式 (3) 1
知识梳理：一个 整式 1
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.整式的概念
3.方程的次数
【点评】
本题是对一元一次方程基础概念的考察，核心是牢记一元一次方程的三个判断特征，是方程模块的入门基础内容，掌握概念后可轻松得分。
【难度系数】
0.9
我们可以从“一元一次方程”的名称入手拆解对应特征：①“一元”对应未知数的数量，意思是只含有1个未知数；②“一次”对应未知数的最高次数，意思是所有未知数的次数都是1；③还有一个基础要求：含有未知数的式子必须是整式，不能出现分母含未知数、根号下含未知数的情况。本题的问题和知识梳理都围绕这三个核心特征设空，直接对应填入即可。
【解析】
首先填问题部分的三个空：
(1) “一元”表示方程里只含有1个未知数，所以第一空填“一个”；
(2) 一元一次方程属于整式方程，所以含有未知数的式子都是整式，第二空填“整式”；
(3) “一次”表示未知数的最高次数为1，所以第三空填“1”。
知识梳理是一元一次方程的规范定义，和上述三个特征一一对应，依次填入“一个”“整式”“1”即可。
【答案】
问题：(1) 一个 (2) 整式 (3) 1
知识梳理：一个 整式 1
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.整式的概念
3.方程的次数
【点评】
本题是对一元一次方程基础概念的考察，核心是牢记一元一次方程的三个判断特征，是方程模块的入门基础内容，掌握概念后可轻松得分。
【难度系数】
0.9
【例1】下列各式哪些是方程？哪些是一元一次方程？
①$2x - 2025 = 1$；②$2025 + 4 = 2029$；
③$2y - 9$；④$4m - 5n = 7$；⑤$3x^2 - 2x = 7$；
⑥$x + 1 ＞ 3$；⑦$x + 3 ≠ 6$。
解：
【规律方法】
(1)方程必须满足的两个条件：
①式子中必须含有未知数；
②式子必须是等式。
(2)一元一次方程必须满足的三个条件：
①只含有一个未知数；
②含有未知数的式子都是整式；
③未知数的次数都是1。
①$2x - 2025 = 1$；②$2025 + 4 = 2029$；
③$2y - 9$；④$4m - 5n = 7$；⑤$3x^2 - 2x = 7$；
⑥$x + 1 ＞ 3$；⑦$x + 3 ≠ 6$。
解：
【规律方法】
(1)方程必须满足的两个条件：
①式子中必须含有未知数；
②式子必须是等式。
(2)一元一次方程必须满足的三个条件：
①只含有一个未知数；
②含有未知数的式子都是整式；
③未知数的次数都是1。
答案
根据方程的定义可知，①④⑤是方程.根据一元一次方程的定义可知，①是一元一次方程.
解析
【分析】
解题时需紧扣定义分步判断：第一步先判断是否为方程，需同时满足两个条件：含有未知数、是等式，带着这两个条件逐一排查所有式子；第二步再从筛选出的方程中判断是否为一元一次方程，需同时满足三个条件：只含一个未知数、未知数的次数为1、等号两边都是整式，再次排查即可得到结果。
【解析】
首先根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）逐个判断：
①含有未知数x，是等式，满足方程条件，是方程；
②是等式但不含未知数，不满足方程条件，不是方程；
③不是等式，不满足方程条件，不是方程；
④含有未知数m、n，是等式，满足方程条件，是方程；
⑤含有未知数x，是等式，满足方程条件，是方程；
⑥是不等式，不是等式，不满足方程条件，不是方程；
⑦是不等式，不是等式，不满足方程条件，不是方程。
再根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程）对筛选出的方程逐一判断：
①只含未知数x，x的次数是1，等号两边都是整式，满足一元一次方程条件，是一元一次方程；
④含有两个未知数m、n，不满足一元一次方程条件，不是一元一次方程；
⑤未知数x的次数是2，不满足一元一次方程条件，不是一元一次方程。
【答案】
根据方程的定义可知，①④⑤是方程.根据一元一次方程的定义可知，①是一元一次方程.
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握方程和一元一次方程的判定条件，逐一核对每个式子即可，注意区分等式与不等式、含未知数和不含未知数的式子，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时需紧扣定义分步判断：第一步先判断是否为方程，需同时满足两个条件：含有未知数、是等式，带着这两个条件逐一排查所有式子；第二步再从筛选出的方程中判断是否为一元一次方程，需同时满足三个条件：只含一个未知数、未知数的次数为1、等号两边都是整式，再次排查即可得到结果。
【解析】
首先根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）逐个判断：
①含有未知数x，是等式，满足方程条件，是方程；
②是等式但不含未知数，不满足方程条件，不是方程；
③不是等式，不满足方程条件，不是方程；
④含有未知数m、n，是等式，满足方程条件，是方程；
⑤含有未知数x，是等式，满足方程条件，是方程；
⑥是不等式，不是等式，不满足方程条件，不是方程；
⑦是不等式，不是等式，不满足方程条件，不是方程。
再根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程）对筛选出的方程逐一判断：
①只含未知数x，x的次数是1，等号两边都是整式，满足一元一次方程条件，是一元一次方程；
④含有两个未知数m、n，不满足一元一次方程条件，不是一元一次方程；
⑤未知数x的次数是2，不满足一元一次方程条件，不是一元一次方程。
【答案】
根据方程的定义可知，①④⑤是方程.根据一元一次方程的定义可知，①是一元一次方程.
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握方程和一元一次方程的判定条件，逐一核对每个式子即可，注意区分等式与不等式、含未知数和不含未知数的式子，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
1.下列方程是一元一次方程的是（）
A.$x+5=y+4$
B.$\frac{2}{x-1}=2$
C.$x^2 -x=2$
D.$x=0$
A.$x+5=y+4$
B.$\frac{2}{x-1}=2$
C.$x^2 -x=2$
D.$x=0$
答案
D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元一次方程，首先要明确一元一次方程的3个核心判断标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式，即分母中不能含有未知数。解题时用这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
对各选项逐一分析：
选项A：方程中同时含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不是一元一次方程；
选项B：分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是一元一次方程；
选项C：未知数x的最高次数为2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，是一元二次方程，不是一元一次方程；
选项D：只含有未知数x，x的次数为1，且等号两边都是整式，完全符合一元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的判定；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对一元一次方程定义的掌握，解题时要紧扣三个判断条件，尤其要注意区分整式方程和分式方程，避免误选分母含未知数的选项。
【难度系数】
0.85
要判断一个方程是否为一元一次方程，首先要明确一元一次方程的3个核心判断标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式，即分母中不能含有未知数。解题时用这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
对各选项逐一分析：
选项A：方程中同时含有x、y两个未知数，不符合“只含1个未知数”的要求，不是一元一次方程；
选项B：分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不是一元一次方程；
选项C：未知数x的最高次数为2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，是一元二次方程，不是一元一次方程；
选项D：只含有未知数x，x的次数为1，且等号两边都是整式，完全符合一元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的判定；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对一元一次方程定义的掌握，解题时要紧扣三个判断条件，尤其要注意区分整式方程和分式方程，避免误选分母含未知数的选项。
【难度系数】
0.85
2.已知$(m+2)x^{|m|-1}-4=0$是关于$x$的一元一次方程，求$m$的值.
答案
解：
∵ $(m+2)x^{|m|-1}-4=0$是关于$x$的一元一次方程，
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}|m| - 1 = 1 \\m + 2 ≠ 0\end{cases}$
由$|m| - 1 = 1$，得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$。
由$m + 2 ≠ 0$，得$m ≠ -2$。
∴ $m=2$。
∵ $(m+2)x^{|m|-1}-4=0$是关于$x$的一元一次方程，
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}|m| - 1 = 1 \\m + 2 ≠ 0\end{cases}$
由$|m| - 1 = 1$，得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$。
由$m + 2 ≠ 0$，得$m ≠ -2$。
∴ $m=2$。
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不为0的整式方程是一元一次方程。对应题干中的方程，我们需要满足两个要求：一是x的次数等于1，二是x的系数不能为0（否则方程不含x项，不符合一元一次方程的要求）。接下来分别求解两个限制条件，再取同时满足两个条件的m值即可。
【解析】
∵ $(m+2)x^{|m|-1}-4=0$是关于$x$的一元一次方程，
∴ 可得到联立的限制条件：
$\begin{cases}|m| - 1 = 1 \\m + 2 ≠ 0\end{cases}$
先求解$|m| - 1 = 1$，移项得$|m|=2$，根据绝对值的性质，可得$m=2$或$m=-2$。
再求解$m + 2 ≠ 0$，移项得$m ≠ -2$。
综上，同时满足两个条件的$m$只有2，因此$m=2$。
【答案】
$m=2$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题型，解题的关键是牢记一元一次方程需要同时满足“未知数次数为1”“一次项系数不为0”两个条件，避免遗漏系数不为0的限制导致多解错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不为0的整式方程是一元一次方程。对应题干中的方程，我们需要满足两个要求：一是x的次数等于1，二是x的系数不能为0（否则方程不含x项，不符合一元一次方程的要求）。接下来分别求解两个限制条件，再取同时满足两个条件的m值即可。
【解析】
∵ $(m+2)x^{|m|-1}-4=0$是关于$x$的一元一次方程，
∴ 可得到联立的限制条件：
$\begin{cases}|m| - 1 = 1 \\m + 2 ≠ 0\end{cases}$
先求解$|m| - 1 = 1$，移项得$|m|=2$，根据绝对值的性质，可得$m=2$或$m=-2$。
再求解$m + 2 ≠ 0$，移项得$m ≠ -2$。
综上，同时满足两个条件的$m$只有2，因此$m=2$。
【答案】
$m=2$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题型，解题的关键是牢记一元一次方程需要同时满足“未知数次数为1”“一次项系数不为0”两个条件，避免遗漏系数不为0的限制导致多解错误。
【难度系数】
0.7
【例2】请你判断下列给出的$x$的值中，哪些是方程$2x+1=7-x$的解.
(1)$x=1$； (2)$x=2$； (3)$x=-2$.
解:
(1)$x=1$； (2)$x=2$； (3)$x=-2$.
解:
答案
解：
(1) 当$x=1$时，
左边$=2×1+1=3$，
右边$=7-1=6$，
左边$≠$右边，
所以$x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解。
(2) 当$x=2$时，
左边$=2×2+1=5$，
右边$=7-2=5$，
左边$=$右边，
所以$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解。
(3) 当$x=-2$时，
左边$=2×(-2)+1=-3$，
右边$=7-(-2)=9$，
左边$≠$右边，
所以$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解。
综上，$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解。
(1) 当$x=1$时，
左边$=2×1+1=3$，
右边$=7-1=6$，
左边$≠$右边，
所以$x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解。
(2) 当$x=2$时，
左边$=2×2+1=5$，
右边$=7-2=5$，
左边$=$右边，
所以$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解。
(3) 当$x=-2$时，
左边$=2×(-2)+1=-3$，
右边$=7-(-2)=9$，
左边$≠$右边，
所以$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解。
综上，$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解。
解析
【分析】
要判断一个值是否为方程的解，核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题时按以下步骤进行：①将给定的x值分别代入方程的左边、右边；②分别计算左右两边的结果；③比较两边结果，若相等则该x是方程的解，若不相等则不是。我们按照这个思路逐个检验三个x的值即可。
【解析】
(1) 当$x=1$时，
左边$=2×1+1=3$，
右边$=7-1=6$，
左边$≠$右边，
所以$x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解。
(2) 当$x=2$时，
左边$=2×2+1=5$，
右边$=7-2=5$，
左边$=$右边，
所以$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解。
(3) 当$x=-2$时，
左边$=2×(-2)+1=-3$，
右边$=7-(-2)=9$，
左边$≠$右边，
所以$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解。
综上，$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解。
【答案】
$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解
【知识点】
方程的解的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方程解的检验方法，掌握“代入求值→比较左右两边结果→判断是否为解”的固定步骤即可，该方法也常用于解方程后的结果验算，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要判断一个值是否为方程的解，核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题时按以下步骤进行：①将给定的x值分别代入方程的左边、右边；②分别计算左右两边的结果；③比较两边结果，若相等则该x是方程的解，若不相等则不是。我们按照这个思路逐个检验三个x的值即可。
【解析】
(1) 当$x=1$时，
左边$=2×1+1=3$，
右边$=7-1=6$，
左边$≠$右边，
所以$x=1$不是方程$2x+1=7-x$的解。
(2) 当$x=2$时，
左边$=2×2+1=5$，
右边$=7-2=5$，
左边$=$右边，
所以$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解。
(3) 当$x=-2$时，
左边$=2×(-2)+1=-3$，
右边$=7-(-2)=9$，
左边$≠$右边，
所以$x=-2$不是方程$2x+1=7-x$的解。
综上，$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解。
【答案】
$x=2$是方程$2x+1=7-x$的解
【知识点】
方程的解的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方程解的检验方法，掌握“代入求值→比较左右两边结果→判断是否为解”的固定步骤即可，该方法也常用于解方程后的结果验算，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
一题多变
（改变条件）把例2中的方程改为$5x - 4 = 2x + 2$，则所给$x$的值哪些是方程$5x - 4 = 2x + 2$的解？
（改变条件）把例2中的方程改为$5x - 4 = 2x + 2$，则所给$x$的值哪些是方程$5x - 4 = 2x + 2$的解？
答案
解：
移项，得 $5x - 2x = 2 + 4$
合并同类项，得 $3x = 6$
系数化为1，得 $x = 2$
检验：把$x=2$代入原方程，左边$=5×2 - 4=6$，右边$=2×2 + 2=6$，左边=右边。
所以$x=2$是方程$5x-4=2x+2$的解。
移项，得 $5x - 2x = 2 + 4$
合并同类项，得 $3x = 6$
系数化为1，得 $x = 2$
检验：把$x=2$代入原方程，左边$=5×2 - 4=6$，右边$=2×2 + 2=6$，左边=右边。
所以$x=2$是方程$5x-4=2x+2$的解。
解析
【分析】
要判断哪些x的值是方程的解，首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们可以先按一元一次方程的常规求解步骤算出方程的解，再对应判断即可。求解步骤为：先移项（注意移项要变号），将含x的项移到方程左边，常数项移到方程右边；再合并同类项化简方程；接着将未知数的系数化为1得到x的值；最后可代入原方程检验结果是否正确。
【解析】
解：移项，得 $5x - 2x = 2 + 4$
合并同类项，得 $3x = 6$
系数化为1，得 $x = 2$
检验：把$x=2$代入原方程，左边$=5×2 - 4=6$，右边$=2×2 + 2=6$，左边=右边。
所以$x=2$是方程$5x-4=2x+2$的解。
【答案】
$x=2$是方程$5x - 4 = 2x + 2$的解。
【知识点】
一元一次方程的解法；方程的解的判定
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查一元一次方程的求解规则，其中移项要变号是解题时的易错点，完成求解后代入原方程检验能快速排查计算错误。
【难度系数】
0.9
要判断哪些x的值是方程的解，首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们可以先按一元一次方程的常规求解步骤算出方程的解，再对应判断即可。求解步骤为：先移项（注意移项要变号），将含x的项移到方程左边，常数项移到方程右边；再合并同类项化简方程；接着将未知数的系数化为1得到x的值；最后可代入原方程检验结果是否正确。
【解析】
解：移项，得 $5x - 2x = 2 + 4$
合并同类项，得 $3x = 6$
系数化为1，得 $x = 2$
检验：把$x=2$代入原方程，左边$=5×2 - 4=6$，右边$=2×2 + 2=6$，左边=右边。
所以$x=2$是方程$5x-4=2x+2$的解。
【答案】
$x=2$是方程$5x - 4 = 2x + 2$的解。
【知识点】
一元一次方程的解法；方程的解的判定
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查一元一次方程的求解规则，其中移项要变号是解题时的易错点，完成求解后代入原方程检验能快速排查计算错误。
【难度系数】
0.9
