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典例1 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
(1)$a^2 · a^4$；
(2)$2^2 × 2^3 × 2$；
(3)$(x-2y)^2(x-2y)^3$。
温馨提示 (1)不要忽略指数是1的因式，如$c · c^6 ≠ c^{0+6}$。
(2)底数可以是单项式，也可以是多项式，通常把底数看作一个整体，运用整体思想求解。
举一反三 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
(1)$x · x^5 + x^2 · x^4$；
(2)$(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3$；
(3)$(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6$。
(1)$a^2 · a^4$；
(2)$2^2 × 2^3 × 2$；
(3)$(x-2y)^2(x-2y)^3$。
温馨提示 (1)不要忽略指数是1的因式，如$c · c^6 ≠ c^{0+6}$。
(2)底数可以是单项式，也可以是多项式，通常把底数看作一个整体，运用整体思想求解。
举一反三 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
(1)$x · x^5 + x^2 · x^4$；
(2)$(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3$；
(3)$(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6$。
答案
(1) $a^2 · a^4 = a^{2+4} = a^6$。
(2) $2^2 × 2^3 × 2 = 2^{2+3+1} = 2^6$。
(3) $(x - 2y)^2 (x - 2y)^3 = (x - 2y)^{2+3} = (x - 2y)^5$。
举一反三 (1) $x · x^5 + x^2 · x^4 = x^{1+5} + x^{2+4} = x^6 + x^6 = 2x^6$。
(2) $(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2})^{1+2+3} = (-\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{2^6}$。
(3) $(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6 = (2m-n)^{4+3+6} = (2m-n)^{13}$。
(2) $2^2 × 2^3 × 2 = 2^{2+3+1} = 2^6$。
(3) $(x - 2y)^2 (x - 2y)^3 = (x - 2y)^{2+3} = (x - 2y)^5$。
举一反三 (1) $x · x^5 + x^2 · x^4 = x^{1+5} + x^{2+4} = x^6 + x^6 = 2x^6$。
(2) $(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2})^{1+2+3} = (-\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{2^6}$。
(3) $(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6 = (2m-n)^{4+3+6} = (2m-n)^{13}$。
解析
【分析】
本题考查同底数幂乘法的相关运算，解题核心是牢记同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。解题时需注意三点：①单独的数字或字母，指数默认为1，计算时不要遗漏；②当底数是多项式时，要把多项式看作一个整体参与运算；③若算式中含有加法运算，先计算同底数幂的乘法，再合并同类项即可。
【解析】
典例1
(1) 直接应用同底数幂的乘法法则计算：
$a^2 · a^4 = a^{2+4} = a^6$
(2) 注意最后一项$2$的指数为1，应用同底数幂乘法法则计算：
$2^2 × 2^3 × 2 = 2^{2+3+1} = 2^6$
(3) 将$(x-2y)$看作整体，应用同底数幂乘法法则计算：
$(x-2y)^2(x-2y)^3 = (x-2y)^{2+3} = (x-2y)^5$
举一反三
(1) 先分别计算两组同底数幂的乘法，再合并同类项：
$x · x^5 + x^2 · x^4 = x^{1+5} + x^{2+4} = x^6 + x^6 = 2x^6$
(2) 将$(-\frac{1}{2})$看作整体，注意第一项指数为1，应用法则计算：
$(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2})^{1+2+3} = (-\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{2^6}$
(3) 将$(2m-n)$看作整体，应用同底数幂乘法法则计算：
$(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6 = (2m-n)^{4+3+6} = (2m-n)^{13}$
【答案】
典例1：(1)$a^6$；(2)$2^6$；(3)$(x-2y)^5$
举一反三：(1)$2x^6$；(2)$\frac{1}{2^6}$（或$(-\frac{1}{2})^6$）；(3)$(2m-n)^{13}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 合并同类项
3. 整体思想
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察同底数幂乘法法则的灵活应用，易错点为遗漏指数为1的因式、未将多项式底数看作整体运算，只要熟练掌握运算法则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
本题考查同底数幂乘法的相关运算，解题核心是牢记同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。解题时需注意三点：①单独的数字或字母，指数默认为1，计算时不要遗漏；②当底数是多项式时，要把多项式看作一个整体参与运算；③若算式中含有加法运算，先计算同底数幂的乘法，再合并同类项即可。
【解析】
典例1
(1) 直接应用同底数幂的乘法法则计算：
$a^2 · a^4 = a^{2+4} = a^6$
(2) 注意最后一项$2$的指数为1，应用同底数幂乘法法则计算：
$2^2 × 2^3 × 2 = 2^{2+3+1} = 2^6$
(3) 将$(x-2y)$看作整体，应用同底数幂乘法法则计算：
$(x-2y)^2(x-2y)^3 = (x-2y)^{2+3} = (x-2y)^5$
举一反三
(1) 先分别计算两组同底数幂的乘法，再合并同类项：
$x · x^5 + x^2 · x^4 = x^{1+5} + x^{2+4} = x^6 + x^6 = 2x^6$
(2) 将$(-\frac{1}{2})$看作整体，注意第一项指数为1，应用法则计算：
$(-\frac{1}{2}) × (-\frac{1}{2})^2 × (-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2})^{1+2+3} = (-\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{2^6}$
(3) 将$(2m-n)$看作整体，应用同底数幂乘法法则计算：
$(2m-n)^4 · (2m-n)^3 · (2m-n)^6 = (2m-n)^{4+3+6} = (2m-n)^{13}$
【答案】
典例1：(1)$a^6$；(2)$2^6$；(3)$(x-2y)^5$
举一反三：(1)$2x^6$；(2)$\frac{1}{2^6}$（或$(-\frac{1}{2})^6$）；(3)$(2m-n)^{13}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 合并同类项
3. 整体思想
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察同底数幂乘法法则的灵活应用，易错点为遗漏指数为1的因式、未将多项式底数看作整体运算，只要熟练掌握运算法则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
典例2 已知$x^m=5$，$x^n=7$，求$x^{2m+n}$的值。
答案
解
∵$x^m = 5$，$x^n = 7$，
∴$x^{2m+n} = x^m · x^m · x^n$
$=5×5×7$
$=175$。
∵$x^m = 5$，$x^n = 7$，
∴$x^{2m+n} = x^m · x^m · x^n$
$=5×5×7$
$=175$。
解析
【分析】
解题时先观察所求式子的指数特征，指数2m+n可拆分为m+m+n，根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的性质，可逆用该性质将$x^{2m+n}$转化为$x^m·x^m·x^n$的形式，再代入已知的$x^m=5$、$x^n=7$计算即可。也可以先将2m看作整体，先逆用同底数幂乘法得到$x^{2m}·x^n$，再逆用幂的乘方得到$(x^m)^2·x^n$，代入后计算结果一致。
【解析】
解：
∵$x^m = 5$，$x^n = 7$，
∴$x^{2m+n} = x^m · x^m · x^n$
$=5×5×7$
$=175$
【答案】
175
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是灵活逆用幂的运算性质，将待求式变形为含有已知条件的形式后代入求值，熟练掌握幂的运算法则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求式子的指数特征，指数2m+n可拆分为m+m+n，根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的性质，可逆用该性质将$x^{2m+n}$转化为$x^m·x^m·x^n$的形式，再代入已知的$x^m=5$、$x^n=7$计算即可。也可以先将2m看作整体，先逆用同底数幂乘法得到$x^{2m}·x^n$，再逆用幂的乘方得到$(x^m)^2·x^n$，代入后计算结果一致。
【解析】
解：
∵$x^m = 5$，$x^n = 7$，
∴$x^{2m+n} = x^m · x^m · x^n$
$=5×5×7$
$=175$
【答案】
175
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是灵活逆用幂的运算性质，将待求式变形为含有已知条件的形式后代入求值，熟练掌握幂的运算法则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
举一反三 已知 $a^m = 4$，$a^n = 16$，求 $a^{m+n}$ 的值。
典例解析
典例1
解 (1)$a^2 · a^4 = a^{2+4} = a^6$。
(2)$2^2 × 2^3 × 2 = 2^{2+3+1} = 2^6$。
(3)$(x - 2y)^2 (x - 2y)^3 = (x - 2y)^{2+3} = (x - 2y)^5$。
典例2
解 ∵$x^m = 5$，$x^n = 7$，
∴$x^{2m+n} = x^m · x^m · x^n$
$=5×5×7$
$=175$。
典例解析
典例1
解 (1)$a^2 · a^4 = a^{2+4} = a^6$。
(2)$2^2 × 2^3 × 2 = 2^{2+3+1} = 2^6$。
(3)$(x - 2y)^2 (x - 2y)^3 = (x - 2y)^{2+3} = (x - 2y)^5$。
典例2
解 ∵$x^m = 5$，$x^n = 7$，
∴$x^{2m+n} = x^m · x^m · x^n$
$=5×5×7$
$=175$。
答案
解
∵$a^m=4,a^n=16$，
∴$a^{m+n}=a^m · a^n=4×16=64$。
∵$a^m=4,a^n=16$，
∴$a^{m+n}=a^m · a^n=4×16=64$。
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子$a^{m+n}$的指数为$m+n$，是两个指数相加的形式，可联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^x· a^y=a^{x+y}$。我们可以逆用这个法则，将$a^{m+n}$变形为$a^m· a^n$，刚好能直接代入题目给出的$a^m$、$a^n$的数值计算，即可求出结果。
【解析】
解：$\because a^m=4$，$a^n=16$，
$\therefore$ 逆用同底数幂的乘法法则可得：
$a^{m+n}=a^m· a^n=4×16=64$。
【答案】
$64$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法法则
2. 同底数幂乘法的逆运算
【点评】
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，能根据所求式的指数特征灵活变形，代入已知数值计算即可，是幂的运算章节的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察所求式子$a^{m+n}$的指数为$m+n$，是两个指数相加的形式，可联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^x· a^y=a^{x+y}$。我们可以逆用这个法则，将$a^{m+n}$变形为$a^m· a^n$，刚好能直接代入题目给出的$a^m$、$a^n$的数值计算，即可求出结果。
【解析】
解：$\because a^m=4$，$a^n=16$，
$\therefore$ 逆用同底数幂的乘法法则可得：
$a^{m+n}=a^m· a^n=4×16=64$。
【答案】
$64$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法法则
2. 同底数幂乘法的逆运算
【点评】
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，能根据所求式的指数特征灵活变形，代入已知数值计算即可，是幂的运算章节的基础题型。
【难度系数】
0.9
