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典例3 计算：
(1) $(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)$；
(2) $(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)$。
(1) $(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)$；
(2) $(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)$。
答案
典例3
解 (1)$(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)$
$= b^2 - 2ab + 4a^2 - 2ab$
$= b^2 -4ab +4a^2$。
(2)$(15x^2y^2 - 2xy^3 -4y^4) ÷ y^2 - (5x -2y)(3x +2y)$
$=15x^2 -2xy -4y^2 - (15x^2 +4xy -4y^2)$
$=15x^2 -2xy -4y^2 -15x^2 -4xy +4y^2$
$=-6xy$。
解 (1)$(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)$
$= b^2 - 2ab + 4a^2 - 2ab$
$= b^2 -4ab +4a^2$。
(2)$(15x^2y^2 - 2xy^3 -4y^4) ÷ y^2 - (5x -2y)(3x +2y)$
$=15x^2 -2xy -4y^2 - (15x^2 +4xy -4y^2)$
$=15x^2 -2xy -4y^2 -15x^2 -4xy +4y^2$
$=-6xy$。
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 第一步先分别计算多项式除以单项式、单项式乘多项式，得到展开后的整式，第二步合并同类项即可得到结果；
(2) 第一步先计算多项式除以单项式、多项式乘多项式，第二步去括号（注意括号前是负号时，括号内各项都要变号），第三步合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算除法和乘法：
$\begin{aligned}&(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)\\=&4ab^3÷4ab - 8a^2b^2÷4ab + 2a·2a - 2a·b\\=&b^2 - 2ab + 4a^2 - 2ab\\=&b^2 - 4ab + 4a^2\end{aligned}$
(2) 先分别计算除法和多项式乘法，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}&(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)\\=&15x^2y^2÷y^2 - 2xy^3÷y^2 - 4y^4÷y^2 - (15x^2 + 10xy - 6xy - 4y^2)\\=&15x^2 - 2xy - 4y^2 - (15x^2 + 4xy - 4y^2)\\=&15x^2 - 2xy - 4y^2 - 15x^2 - 4xy + 4y^2\\=&-6xy\end{aligned}$
【答案】
(1) $b^2 - 4ab + 4a^2$
(2) $-6xy$
【知识点】
多项式除以单项式；整式乘法运算；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握各类整式运算法则，尤其注意去括号时的符号变化，避免漏乘、错号等粗心错误。
【难度系数】
0.75
本题考查整式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 第一步先分别计算多项式除以单项式、单项式乘多项式，得到展开后的整式，第二步合并同类项即可得到结果；
(2) 第一步先计算多项式除以单项式、多项式乘多项式，第二步去括号（注意括号前是负号时，括号内各项都要变号），第三步合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算除法和乘法：
$\begin{aligned}&(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ 4ab + 2a(2a - b)\\=&4ab^3÷4ab - 8a^2b^2÷4ab + 2a·2a - 2a·b\\=&b^2 - 2ab + 4a^2 - 2ab\\=&b^2 - 4ab + 4a^2\end{aligned}$
(2) 先分别计算除法和多项式乘法，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}&(15x^2y^2 - 2xy^3 - 4y^4) ÷ y^2 - (5x - 2y)(3x + 2y)\\=&15x^2y^2÷y^2 - 2xy^3÷y^2 - 4y^4÷y^2 - (15x^2 + 10xy - 6xy - 4y^2)\\=&15x^2 - 2xy - 4y^2 - (15x^2 + 4xy - 4y^2)\\=&15x^2 - 2xy - 4y^2 - 15x^2 - 4xy + 4y^2\\=&-6xy\end{aligned}$
【答案】
(1) $b^2 - 4ab + 4a^2$
(2) $-6xy$
【知识点】
多项式除以单项式；整式乘法运算；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握各类整式运算法则，尤其注意去括号时的符号变化，避免漏乘、错号等粗心错误。
【难度系数】
0.75
典例4 先化简，再求值：
(1)$(x-2y)(x+2y)-(x-2y)^2$，其中$x=3,y=-1$；
(2)$(2m+1)(2m-1)-(m-1)^2+(2m)^3÷(-8m)$，其中$m^2+m-2=0$；
(3)$[(x+4y)(x-4y)-(x-3y)^2-3xy]÷(3y)$，其中$x=-\dfrac{1}{3}$，$y=-1$。
(1)$(x-2y)(x+2y)-(x-2y)^2$，其中$x=3,y=-1$；
(2)$(2m+1)(2m-1)-(m-1)^2+(2m)^3÷(-8m)$，其中$m^2+m-2=0$；
(3)$[(x+4y)(x-4y)-(x-3y)^2-3xy]÷(3y)$，其中$x=-\dfrac{1}{3}$，$y=-1$。
答案
典例4
解 (1)$(x -2y)(x +2y) - (x -2y)^2$
$=x^2 -4y^2 - (x^2 -4xy +4y^2)$
$=x^2 -4y^2 -x^2 +4xy -4y^2$
$=4xy -8y^2$。
当$x=3,y=-1$时，
原式$=4×3×(-1) -8×(-1)^2=-20$。
(2)$(2m +1)(2m -1) - (m -1)^2 + (2m)^3 ÷ (-8m)$
$=4m^2 -1 - (m^2 -2m +1) + (8m^3) ÷ (-8m)$
$=4m^2 -1 -m^2 +2m -1 -m^2$
$=2m^2 +2m -2$。
当$m^2 +m -2=0,$
即$m^2 +m=2$时，
原式$=2(m^2 +m) -2=2×2 -2=2$。
(3)$[(x +4y)(x -4y) - (x -3y)^2 -3xy] ÷ (3y)$
$=[x^2 -16y^2 - (x^2 -6xy +9y^2) -3xy] ÷ (3y)$
$=(x^2 -16y^2 -x^2 +6xy -9y^2 -3xy) ÷ (3y)$
$=(-25y^2 +3xy) ÷ (3y)$
$=-\dfrac{25}{3}y +x,$
当$x=-\dfrac{1}{3},y=-1$时，
原式$=-\dfrac{25}{3}×(-1) + (-\dfrac{1}{3})$
$=8$。
解 (1)$(x -2y)(x +2y) - (x -2y)^2$
$=x^2 -4y^2 - (x^2 -4xy +4y^2)$
$=x^2 -4y^2 -x^2 +4xy -4y^2$
$=4xy -8y^2$。
当$x=3,y=-1$时，
原式$=4×3×(-1) -8×(-1)^2=-20$。
(2)$(2m +1)(2m -1) - (m -1)^2 + (2m)^3 ÷ (-8m)$
$=4m^2 -1 - (m^2 -2m +1) + (8m^3) ÷ (-8m)$
$=4m^2 -1 -m^2 +2m -1 -m^2$
$=2m^2 +2m -2$。
当$m^2 +m -2=0,$
即$m^2 +m=2$时，
原式$=2(m^2 +m) -2=2×2 -2=2$。
(3)$[(x +4y)(x -4y) - (x -3y)^2 -3xy] ÷ (3y)$
$=[x^2 -16y^2 - (x^2 -6xy +9y^2) -3xy] ÷ (3y)$
$=(x^2 -16y^2 -x^2 +6xy -9y^2 -3xy) ÷ (3y)$
$=(-25y^2 +3xy) ÷ (3y)$
$=-\dfrac{25}{3}y +x,$
当$x=-\dfrac{1}{3},y=-1$时，
原式$=-\dfrac{25}{3}×(-1) + (-\dfrac{1}{3})$
$=8$。
解析
【分析】
这三道题均为整式化简求值类问题，解题遵循“先化简、再求值”的原则，可大幅降低计算量、减少错误。解题思路如下：①先根据平方差公式、完全平方公式计算整式乘法项，再按照整式乘除法则计算除法项；②去括号时注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；③合并同类项得到最简化简结果；④将已知数值或已知代数式的值代入最简式计算，其中第(2)题利用整体代入思想无需单独求解m的值，计算更简便。
【解析】
(1) 利用平方差公式和完全平方公式展开化简：
$\begin{aligned}&(x -2y)(x +2y) - (x -2y)^2\\=&x^2 -4y^2 - (x^2 -4xy +4y^2)\\=&x^2 -4y^2 -x^2 +4xy -4y^2\\=&4xy -8y^2\end{aligned}$
将$x=3,y=-1$代入最简式：
原式$=4×3×(-1) -8×(-1)^2=-12-8=-20$
(2) 利用平方差公式、完全平方公式及整式乘除法则化简：
$\begin{aligned}&(2m +1)(2m -1) - (m -1)^2 + (2m)^3 ÷ (-8m)\\=&4m^2 -1 - (m^2 -2m +1) + 8m^3 ÷ (-8m)\\=&4m^2 -1 -m^2 +2m -1 -m^2\\=&2m^2 +2m -2\end{aligned}$
由$m^2 +m -2=0$可得$m^2 +m=2$，整体代入最简式：
原式$=2(m^2 +m) -2=2×2 -2=2$
(3) 先化简中括号内的式子，再计算除法：
$\begin{aligned}&[(x +4y)(x -4y) - (x -3y)^2 -3xy] ÷ (3y)\\=&[x^2 -16y^2 - (x^2 -6xy +9y^2) -3xy] ÷ 3y\\=&(x^2 -16y^2 -x^2 +6xy -9y^2 -3xy) ÷ 3y\\=&(-25y^2 +3xy) ÷ 3y\\=&-\dfrac{25}{3}y +x\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{3},y=-1$代入最简式：
原式$=-\dfrac{25}{3}×(-1) + (-\dfrac{1}{3})=\dfrac{25}{3}-\dfrac{1}{3}=8$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-20}$；(2)$\boldsymbol{2}$；(3)$\boldsymbol{8}$
【知识点】
整式混合运算，乘法公式应用，化简求值
【点评】
本题重点考查整式运算法则和乘法公式的掌握程度，去括号时需注意符号变化，灵活运用整体代入思想可简化计算，是整式运算板块的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
这三道题均为整式化简求值类问题，解题遵循“先化简、再求值”的原则，可大幅降低计算量、减少错误。解题思路如下：①先根据平方差公式、完全平方公式计算整式乘法项，再按照整式乘除法则计算除法项；②去括号时注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；③合并同类项得到最简化简结果；④将已知数值或已知代数式的值代入最简式计算，其中第(2)题利用整体代入思想无需单独求解m的值，计算更简便。
【解析】
(1) 利用平方差公式和完全平方公式展开化简：
$\begin{aligned}&(x -2y)(x +2y) - (x -2y)^2\\=&x^2 -4y^2 - (x^2 -4xy +4y^2)\\=&x^2 -4y^2 -x^2 +4xy -4y^2\\=&4xy -8y^2\end{aligned}$
将$x=3,y=-1$代入最简式：
原式$=4×3×(-1) -8×(-1)^2=-12-8=-20$
(2) 利用平方差公式、完全平方公式及整式乘除法则化简：
$\begin{aligned}&(2m +1)(2m -1) - (m -1)^2 + (2m)^3 ÷ (-8m)\\=&4m^2 -1 - (m^2 -2m +1) + 8m^3 ÷ (-8m)\\=&4m^2 -1 -m^2 +2m -1 -m^2\\=&2m^2 +2m -2\end{aligned}$
由$m^2 +m -2=0$可得$m^2 +m=2$，整体代入最简式：
原式$=2(m^2 +m) -2=2×2 -2=2$
(3) 先化简中括号内的式子，再计算除法：
$\begin{aligned}&[(x +4y)(x -4y) - (x -3y)^2 -3xy] ÷ (3y)\\=&[x^2 -16y^2 - (x^2 -6xy +9y^2) -3xy] ÷ 3y\\=&(x^2 -16y^2 -x^2 +6xy -9y^2 -3xy) ÷ 3y\\=&(-25y^2 +3xy) ÷ 3y\\=&-\dfrac{25}{3}y +x\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{3},y=-1$代入最简式：
原式$=-\dfrac{25}{3}×(-1) + (-\dfrac{1}{3})=\dfrac{25}{3}-\dfrac{1}{3}=8$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-20}$；(2)$\boldsymbol{2}$；(3)$\boldsymbol{8}$
【知识点】
整式混合运算，乘法公式应用，化简求值
【点评】
本题重点考查整式运算法则和乘法公式的掌握程度，去括号时需注意符号变化，灵活运用整体代入思想可简化计算，是整式运算板块的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
