登录
6. 如图52-G-5，正方形ABCD的边长为2，以AB所在直线为轴，将正方形ABCD绕轴旋转一周得到圆柱体，从前面看该圆柱体得到的平面图形的面积为（
A.8
B.4
C.$8π$
D.$4π$
A
）A.8
B.4
C.$8π$
D.$4π$
答案
6. A
解析
【分析】
解题时首先要明确旋转得到的几何体类型及对应参数，再确定从正面观察该几何体得到的平面图形形状，最后计算图形面积。第一步：正方形绕AB旋转一周得到圆柱，其中垂直于轴AB的边长AD=2是圆柱的底面半径，轴AB的长度是圆柱的高；第二步：圆柱的主视图（从前面看）是矩形，矩形的一边长等于圆柱底面的直径，另一边长等于圆柱的高；第三步：代入边长计算矩形面积即可。
【解析】
已知正方形ABCD边长为2，以AB为轴旋转一周得到圆柱：
1. 确定圆柱参数：圆柱底面半径$r = AD = 2$，圆柱的高$h = AB = 2$；
2. 从前面观察圆柱得到的平面图形是矩形，该矩形的长为圆柱底面直径$=2r=2×2=4$，宽为圆柱的高$2$；
3. 计算矩形面积：$S = 4×2 = 8$。
【答案】
A
【知识点】
面动成体，圆柱的三视图，矩形面积计算
【点评】
本题考查立体图形的旋转与三视图的结合应用，解题的核心是准确判断旋转后几何体的参数，以及主视图对应的形状和边长，易错点是误将底面半径作为主视图矩形的边长，或者错把视图当成曲面计算带π的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确旋转得到的几何体类型及对应参数，再确定从正面观察该几何体得到的平面图形形状，最后计算图形面积。第一步：正方形绕AB旋转一周得到圆柱，其中垂直于轴AB的边长AD=2是圆柱的底面半径，轴AB的长度是圆柱的高；第二步：圆柱的主视图（从前面看）是矩形，矩形的一边长等于圆柱底面的直径，另一边长等于圆柱的高；第三步：代入边长计算矩形面积即可。
【解析】
已知正方形ABCD边长为2，以AB为轴旋转一周得到圆柱：
1. 确定圆柱参数：圆柱底面半径$r = AD = 2$，圆柱的高$h = AB = 2$；
2. 从前面观察圆柱得到的平面图形是矩形，该矩形的长为圆柱底面直径$=2r=2×2=4$，宽为圆柱的高$2$；
3. 计算矩形面积：$S = 4×2 = 8$。
【答案】
A
【知识点】
面动成体，圆柱的三视图，矩形面积计算
【点评】
本题考查立体图形的旋转与三视图的结合应用，解题的核心是准确判断旋转后几何体的参数，以及主视图对应的形状和边长，易错点是误将底面半径作为主视图矩形的边长，或者错把视图当成曲面计算带π的结果。
【难度系数】
0.7
7. 现有一个长为5 cm，宽为4 cm的长方形，绕它的长所在的直线旋转一周，得到的圆柱体的体积为
80π cm³
；绕它的宽所在的直线旋转一周，得到的圆柱体的体积为100π cm³
。答案
7. 80π cm³ 100π cm³
解析
【分析】
解决本题首先要明确“面动成体”的原理：长方形绕任意一边所在直线旋转一周会得到圆柱体，其中被绕的这条边是圆柱体的高，长方形的另一条邻边是圆柱体底面的半径。接下来回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高=π×底面半径²×高，最后分两种旋转情况分别代入对应数值计算即可。
【解析】
1. 绕长所在的直线旋转一周：
此时圆柱的高等于长方形的长，即$h_1=5\ \mathrm{cm}$，底面半径等于长方形的宽，即$r_1=4\ \mathrm{cm}$。
根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，可得体积：
$V_1=π r_1^2 h_1=π×4^2×5=π×16×5=80π\ \mathrm{cm}^3$
2. 绕宽所在的直线旋转一周：
此时圆柱的高等于长方形的宽，即$h_2=4\ \mathrm{cm}$，底面半径等于长方形的长，即$r_2=5\ \mathrm{cm}$。
代入体积公式可得：
$V_2=π r_2^2 h_2=π×5^2×4=π×25×4=100π\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
$80π\ \mathrm{cm}^3$；$100π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
1. 面动成体
2. 圆柱体积计算
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的规律及圆柱体积公式的应用，解题核心是准确判断两种旋转场景下圆柱的底面半径和高分别对应长方形的哪条边长，避免混淆两种情况的半径和高导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确“面动成体”的原理：长方形绕任意一边所在直线旋转一周会得到圆柱体，其中被绕的这条边是圆柱体的高，长方形的另一条邻边是圆柱体底面的半径。接下来回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高=π×底面半径²×高，最后分两种旋转情况分别代入对应数值计算即可。
【解析】
1. 绕长所在的直线旋转一周：
此时圆柱的高等于长方形的长，即$h_1=5\ \mathrm{cm}$，底面半径等于长方形的宽，即$r_1=4\ \mathrm{cm}$。
根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，可得体积：
$V_1=π r_1^2 h_1=π×4^2×5=π×16×5=80π\ \mathrm{cm}^3$
2. 绕宽所在的直线旋转一周：
此时圆柱的高等于长方形的宽，即$h_2=4\ \mathrm{cm}$，底面半径等于长方形的长，即$r_2=5\ \mathrm{cm}$。
代入体积公式可得：
$V_2=π r_2^2 h_2=π×5^2×4=π×25×4=100π\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
$80π\ \mathrm{cm}^3$；$100π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
1. 面动成体
2. 圆柱体积计算
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的规律及圆柱体积公式的应用，解题核心是准确判断两种旋转场景下圆柱的底面半径和高分别对应长方形的哪条边长，避免混淆两种情况的半径和高导致计算错误。
【难度系数】
0.8
8. 如图52-G-6①所示几何体叫三棱柱，它有5个面，9条棱，6个顶点，如图②③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱.
(1)四棱柱有
(2)五棱柱有
(3)你能由此猜出六棱柱、七棱柱各有几个顶点，几条棱，几个面吗？
(4)n(n≥3且n为整数)棱柱有几个顶点，几条棱，几个面？
(1)四棱柱有
8
个顶点，12
条棱，6
个面；(2)五棱柱有
10
个顶点，15
条棱，7
个面；(3)你能由此猜出六棱柱、七棱柱各有几个顶点，几条棱，几个面吗？
(4)n(n≥3且n为整数)棱柱有几个顶点，几条棱，几个面？
答案
8. 解:(1)8 12 6
(2)10 15 7
(3)六棱柱有 12 个顶点,18 条棱,8 个面;七棱柱有 14 个顶点,21条棱,9个面.
(4)n 棱柱有 2n 个顶点,3n 条棱,(n+2)个面.
(2)10 15 7
(3)六棱柱有 12 个顶点,18 条棱,8 个面;七棱柱有 14 个顶点,21条棱,9个面.
(4)n 棱柱有 2n 个顶点,3n 条棱,(n+2)个面.
解析
【分析】
解题时先明确棱柱的结构特点：n棱柱有上下两个全等的n边形底面，侧面是n个平行四边形，共有n条侧棱。我们可以先结合题目给出的三棱柱的参数验证规律：三棱柱对应n=3，顶点数6=2×3，棱数9=3×3，面数5=3+2，规律成立。接下来将n对应为4、5、6、7，代入规律即可求解对应棱柱的顶点、棱、面的数量，最后推广到一般的n棱柱总结通用规律即可。
【解析】
我们先根据棱柱的结构推导通用规律：
对于n（n≥3且n为整数）棱柱：
①顶点：上下两个底面各有n个顶点，总顶点数为2n；
②棱：上下底面各有n条棱，加上n条侧棱，总棱数为n+n+n=3n；
③面：上下2个底面，加上n个侧面，总面数为n+2。
(1)四棱柱对应n=4：
顶点数：2×4=8，棱数：3×4=12，面数：4+2=6；
(2)五棱柱对应n=5：
顶点数：2×5=10，棱数：3×5=15，面数：5+2=7；
(3)六棱柱对应n=6：顶点数2×6=12，棱数3×6=18，面数6+2=8；
七棱柱对应n=7：顶点数2×7=14，棱数3×7=21，面数7+2=9；
(4)结合上述推导，n棱柱的顶点数为2n，棱数为3n，面数为n+2（n≥3且n为整数）。
【答案】
(1)8 12 6
(2)10 15 7
(3)六棱柱有12个顶点，18条棱，8个面；七棱柱有14个顶点，21条棱，9个面
(4)n棱柱有2n个顶点，3n条棱，(n+2)个面
【知识点】
棱柱的特征，图形规律探究，立体图形认识
【点评】
本题考查棱柱的基本结构特征，解题的关键是通过特殊棱柱的参数归纳出n棱柱的顶点、棱、面的数量规律，属于基础概念应用题，熟练掌握棱柱的构成就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确棱柱的结构特点：n棱柱有上下两个全等的n边形底面，侧面是n个平行四边形，共有n条侧棱。我们可以先结合题目给出的三棱柱的参数验证规律：三棱柱对应n=3，顶点数6=2×3，棱数9=3×3，面数5=3+2，规律成立。接下来将n对应为4、5、6、7，代入规律即可求解对应棱柱的顶点、棱、面的数量，最后推广到一般的n棱柱总结通用规律即可。
【解析】
我们先根据棱柱的结构推导通用规律：
对于n（n≥3且n为整数）棱柱：
①顶点：上下两个底面各有n个顶点，总顶点数为2n；
②棱：上下底面各有n条棱，加上n条侧棱，总棱数为n+n+n=3n；
③面：上下2个底面，加上n个侧面，总面数为n+2。
(1)四棱柱对应n=4：
顶点数：2×4=8，棱数：3×4=12，面数：4+2=6；
(2)五棱柱对应n=5：
顶点数：2×5=10，棱数：3×5=15，面数：5+2=7；
(3)六棱柱对应n=6：顶点数2×6=12，棱数3×6=18，面数6+2=8；
七棱柱对应n=7：顶点数2×7=14，棱数3×7=21，面数7+2=9；
(4)结合上述推导，n棱柱的顶点数为2n，棱数为3n，面数为n+2（n≥3且n为整数）。
【答案】
(1)8 12 6
(2)10 15 7
(3)六棱柱有12个顶点，18条棱，8个面；七棱柱有14个顶点，21条棱，9个面
(4)n棱柱有2n个顶点，3n条棱，(n+2)个面
【知识点】
棱柱的特征，图形规律探究，立体图形认识
【点评】
本题考查棱柱的基本结构特征，解题的关键是通过特殊棱柱的参数归纳出n棱柱的顶点、棱、面的数量规律，属于基础概念应用题，熟练掌握棱柱的构成就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
